九年级上图形旋转综合题

1. 如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。

A

BBFPCAPC2. 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。 DPCAB

3.设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持∠EAF=450， AP⊥EF于点P

（1） 求证：AP=AB，（2）若AB=5，求ΔECF的周长。

4.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点． （1）若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF．

（2）若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？

（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数． DFC E AB

图17

5．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE的度数；

⑵当AB=4，AD∶DC=1∶3时，求DE的长.

6. (1)如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ,连结PQ．若PA+PB=PC，证明∠PQC=90°．

(2) 如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连结PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明理由.

7.阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．

(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC中，∠CAB=90°，

222

AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF=BE+FC ．

B

Q

C

B

Q 第6题图②

C

P P A A

2

2

2

第6题图①

8. （1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，为

了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．

解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2=DE2； 理由：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABD=∠ACE=45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB， ∴∠ABF=∠ACE=45°，FB=CE

∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°， 故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°， 易证△AFD≌△AED，故FD=DE，

在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2=DF2； 即：BD2+CE2=DE2．

（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB， 故BF=CE，△AFD≌△AED，故FD=DE， ∵∠ADE=45°，

∴∠ADF=45°，故∠BDF=90°，

在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2=BD2+DF2， ∴CE2=BD2+DE2．

9.操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．

（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

解：（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE． 理由如下：

连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点， ∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°． ∴∠ACP=∠B=45°．

又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE， ∴∠DPC=∠BPE． ∴△PCD≌△PBE． ∴PD=PE．

（2）△PBE是等腰三角形，

①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；

②当PB=BE时，1）E在线段BC上， ，2）E在CB的延长线上， ； ③当PE=BE时，CE=1．

∠A45，∠D30，10.把两个三角形按如图1放置，其中∠ACB∠DEC90，且AB6，

DC7．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．

（1）求∠ACD1的度数；

（2）求线段AD1的长；

（3）若把△D1CE1绕点C顺时针再旋转30°得到△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？请说明理由．

A O F B

图2

E1

D1

11．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.

（1）FG与DC的位置关系是 ,FG与DC的数量关系是 ；

（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.

D

B

E G

C

B

C

F

A

C A

解：（1）FG⊥CD ，FG=

1CD. 2（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM.∴四边形 BCMD是矩形. ∴CM=BD. 又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.∴ED=BD=CM.∵∠E=∠A=45º∴△AEM是等腰直角三角形.又F是AE的中点.∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º.∴△EFD≌△MFC.∴FD=FC，∠EFD=∠MFC.又∠EFD＋∠DFM=90º∴∠MFC＋∠DFM=90º即△CDF是等腰直角三角形.又G是CD的中点.∴FG=

1CD，FG⊥CD. 212.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

（1）探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．

图②

（1）解：BM＋CN＝MN

证明：如图，延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1 由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABD＝∠ACD＝90° ∵BD＝CD

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1 ∴∠MDB＝∠M1DC DM＝DM1 ∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120° 又∵∠MDN＝60°

∴∠M1DN＝∠MDN＝60° ∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB （2） CN－BM＝MN

证明：如图，在CN上截取，使CM1＝BM，连结DM1 ∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠DBM＝∠DCM1＝90°∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DC DM＝DM1 ∵∠BDM＋∠BDN＝60°∴∠CDM1＋∠BDN＝60°∴∠NDM1＝∠BDC－（∠M1DC＋∠BDN）＝120°－60°＝60°

∴∠M1DN＝∠MDN ∵AD＝AD∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC－CM1＝NC－MB

ANMCBM1第26D题NAM1BCMD附加题