D--汕头市2007年普通高校招生模拟考试2(理)

汕头市2007年普通高校招生模拟考试

理 科 数 学

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A∪B）= P（A）+ P（B）

如果事件A、B相互，那么P（A∩B）= P（A）· P（B）

圆锥的侧面积公式 S=rl 其中r、l分别表示圆锥的底面半径和母线 球的表面积公式 S=4R 其中R表示球的半径

考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟；

2．第13题、14题、15题为选答题，考生选答其中两题，三题都答的只计算前两题得分。

2第I卷（选择题，共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个。用系统抽样法从中抽取容量为20的样本.则每个个体被抽取到的概率是（ ） A．

1 24 B．

1 36C．

1 60 D．

1 62．下列关系式中，使存在的关系式是（ ） A．sincos5 3

B.cossincossin2

C．1cos22cos

D.1cos2log122

3．在ABC中，A60，AC16，面积为2203，那么BC的长度为（ ）

A．25 B．51 C．493 D．49

x2y24．若双曲线221(a0,b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离

ab心率为 （ ） A．2

B．3

C．5

D．2

- 1 -

5． 设复数z1i（i为虚数单位），则（ ） 1i0134567C8C8zC82z2C8z3C8z4C8z5C8z6C8z7 （ ）

A．16 B．15 C．16i D．16i 6．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍,则圆锥侧面积与球面积之比是（ ） A．

3211 B． C． D． 23237．函数 y(sinxa)21，当sinxa时有最小值，当sinx1时有最大值，则a的取值范围是（ ）

A．[1,0] B．[1,1] C．(,0] D．[0,1] 8.已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x[0,1]时，f(x)x，那么在区间[1,3]内，关于x的方程f(x)kxk1（kR且k1）有4个不同的根，则k的取值范围是（ ） A．(111,0) B．(1,0) C．(,0) D．(,0) 423第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题每小题5分，共30分. 把答案填在答题卷中的横线上.

9．将一张坐标纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)重合，则与点(4,1)重合的点的坐标是_________ ．

4916,4,8, 的一个通项公式是an___________________. 510171111S=0 11. 利用计算机计算S, 12233499100K=1 10. 数列1,2某同学编写的右边程序语句中，(①)处应填________.

12．给出以下五个命题：①nN,(n5n5)1．

*2212x0②当x,y满足不等式组xy时，目标函数k3x2y的最大值为5． 2xy1DO S=S+1/(K*(K+1)) K=K+1 LOOP UNTIL (①) PRINT”S=”;S END ③设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A3,4,B3,6，则CU(AB){1,2,3,5,6}． ④定义在R上的函数yf(x)在区间(1,2)上存在唯一零点的充要条件是f(1)f(2)0．

- 2 -

⑤已知ABC所在平面内一点P(P与A,B,C都不重合)满足PAPBPCBC，

则ACP与BCP的面积之比为2． 其中正确命题的序号是___________．

▲ 选做题：在下面三道小题中选做两题，三道小题都选的只计算第13、14小题的得分。 13．在极坐标系中，圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的位置关系是 ． 14．函数y3x246x的最大值是 ． 15．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC， 圆心O到AC的距离为22，AB3，则切线AD的长为 ____________.

CBOAD （第15小题） 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

设f(x)=ax+b，a≠0，Snf(1)f(2)f(3)f(n)，若f(3)5，且

f(1),f(2),f(5)成等比数列，求Sn．

17．（本小题满分12分）

电视台《同一首歌》大型演唱会即将于4月25日在汕头市举行，甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选． （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 18．（本小题满分14分）

如图，在边长为10的菱形ABCD中，

对角线AC与BD交于点O，

AMA3． 4现沿对角线BD把ABD折起，使

B9ADC的余弦值为．

25（Ⅰ）求证：平面ABD平面CBD； （Ⅱ）若M是AB的中点，求AC与平 面MCD所成角的一个三角函数值． tanDAC

- 3 -

ODBODCC 19．（本小题满分14分）

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3700x45x210x3（单

位：万元），成本函数为C(x)460x5000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的

边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)。

（Ⅰ）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值成本） （Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（Ⅲ）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

20．（本小题满分14分）

设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C:y2px(p0)上相异两2y P 点，且OPOQ0，直线PQ与x轴相交于E．

（Ⅰ）若P,Q到x轴的距离的积为4，求p的值；

T O Q R E F x （Ⅱ）若p为已知常数，在x轴上，是否存在异于E的一点F，使得直线PF与抛物线的另一交点为R，而直线RQ与x轴相交于T，且有TR3TQ，若存在，求出F点的坐标（用p表示），若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

定义F(x,y)(1x)，x,y(0,)，

（Ⅰ）令函数f(x)F(1,log2(x4x9))的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n>0)，设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；

（Ⅱ）令函数g(x)F(1,log2(xaxbx1))的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲

322y - 4 -

线C2在x0(4x01)处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围； （Ⅲ）当x,yN* 且xy时，证明F(x,y)F(y,x)．

参：

一、选择题

1．D． 每个个体被抽到的概率是

201． 12062．C．Ａ选项中，sincos52sin()2，故不成立；

432，故不

Ｂ选项中，cossincossincos2sin2cos21成立；

Ｄ选项中，由1cos2log12312 ，得cos21，故不成立；

22C选项中．1cos22cos2，当cos0时，1cos22cos． 3． D．SABC1ABACsin6043AB2203,得AB55，再由余弦定理， 2222有BC165521655cos602401，得BC49．

c2b24．C．焦点到渐近线的距离等于实轴长，故b2a，e2125所以e5．

aa25．B．化简式子得(1z)z(1i)i15。

8888S锥r2rrlRRl3226．B．,l2R,,R3r,．

RlR3rS球4r22法二：R=3rtan30°=3r, l=23r，得比值．

7．A．∵函数 y = ( sinx - a )2 + 1 当 sinx = a 时有最小值, ∴-1≤a≤1,

∵当sinx = 1 时有最大值, ∴a≤0, ∴-1≤a≤0。

1 -1 0 1 2 3 x y 8．D．由题意可得右边f(x)的图像；

当k0时，有3个根；当k1时，也有3个根， 3 - 5 -

所以当k(,0)时，有4个根． 二、填空题：

139．(4,3)．点(2,0)与(2,4)的垂直平分线为y=2 , 即为对称轴，故与点(4,1)重合的

点是(4,3)．

n-110．an=(-1)

2n1n22 ． n111．k99 ．(或a>=100)

12． ②、⑤．①中，n=5时不成立；②画出可行域可知正确；③CU(AB){1,2,5}；

④零点不唯一；⑤PAPBPCBCPCPB 所以PA2PB， 则ΔACP与ΔBCP的面积之比为2．

13． 相切．如图 ． 14．10．

y3x246x3242(x2)(6x)10．

当且仅当

86x26x 即x时等号成立． 25342CBOD15．15；BC=298=2，AC=3+2=5，ADABAC15，AD=15． 三、解答题：

16．解：∵f(3)=5 , f(1)、f(2)、f(5)成等差数列， ∴A3ab5(ab)(5ab)(2ab)2， ……………………３分

解得a2，（舍去a=0）， ……………………５分

b1∴f(x)=2x-1， ……………………６分 ∴f(n+1)-f(n)=2(n+1)-1- (2n -1)=2，８分

∴{ f(n)}是等差数列，f(1)=1，f(n)= 2n -1， ……………………10分 ∴Sn=

17．解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则

n(12n1)n2 ． ……………………12分

2 - 6 -

123C6C4C413， P(0)3， P(1)3C1030C1010213C6C4C611， ， ……………………4分 P(2)P(3)33C102C106其分布列如下：

ξ P 0 1 2 3 1330 10 12 16 甲答对试题数ξ的数学期望 Eξ=013119123． …………………6分 3010265（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

21313C6C4C6C82C2C860202565614P(A)==， P(B)= ．………8分 33120312015C10C10因为事件A、B相互，

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 PABPAPB1∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P1PAB1答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

2141， 131545144． 4544． …………………12分 452111421444． 315315314答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．

45PPABPABPAB

318．（Ⅰ）证明：菱形ABCD中， tan∠DAC=,AD=10，

4 ∴OA=8,OD=6 …………1分 翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，

MzAACADCD2ADCDcosADC , ……3分 91001002101012825在△AOC中，OAOC128AC， ………4分

222222BoDyCx

- 7 -

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O， ∴AO⊥平面BCD, 又AO平面ABD, ∴平面ABD⊥平面CBD． ………6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA,OC,OD两两互相垂直，分别以OA,OC,OD所在直线为坐标轴建系，则A(0,0,8), B(0,-6,0), C(8,0,0) D(0,6,0) M(0,-3,4)，……7分

MC(8,3,4),DC(8,6,0),AC(8,0,8)，……8分

设平面MCD的一个法向量为n(x,y,z)，则由

8x3y4z0nMC0 ， 得 ， ……………………10分 8x6y0nDC0令y=4，有n(3,4,9)， ……………………11分 设AC与平面MCD所成角为θ,

cos|cosAC,n||24723|53， ……………………13分 53106128353， ……………………14分 53∴AC与平面MCD所成角的余弦值为

19．解：（Ⅰ）P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000,(xN*,且1x20); 2分

MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275,(xN*,且1x19). …………… 4

分

（Ⅱ）P(x)30x90x324030(x12)(x9).

＇＇当 012时P(x)0 .

2x12，P(x)有最大值.

即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大． ……………………8分

x1)3305, ……………………11分 （Ⅲ）MP(x)30x60x3275=30(所以，当x1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为1,19，且xN. …………12

22分

MP(x)是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少．14

分

→→

20.解： （Ⅰ）∵ OP·OQ＝0，则x1x2＋y1y2＝0， ……………………1分

- 8 -

又P、Q在抛物线上， ∴y12＝2px1，y22＝2px2，

y12y22 ∴ · ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2， 2p2p

∴ |y1y2|＝4p2， ……………………3分 又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1． ……………………4分 （Ⅱ）设E(a,0），直线PQ方程为x＝my＋a ,

x＝my＋a联立方程组 2 , ……………………5分

y＝2px

消去x得y2－2pmy－2pa＝0 , ……………………6分 ∴ y1y2＝－2pa , ① ……………………7分 设F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：

y1y3＝－2pb , ② ……………………8分 由①、②可得

y3b

＝ , ③ ……………………9分 y2a

→→

若 TR＝3TQ，设T(c,0)，则有

(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0),

y3

∴ y3＝3y2 即 ＝3, ④ ……………………10分

y2

将④代入③，得 b＝3a． ……………………11分 →→又由（Ⅰ）知，OP·OQ＝0 ,

∴ y1y2＝－4p2，代入①， 得－2pa＝－4 p2 ∴ a＝2p, ……………………13分 ∴ b＝6p,

→→

故，在x轴上，存在异于E的一点F(6p,0)，使得 TR＝3TQ． ………………14分 注：若设直线PQ的方程为y＝kx＋b，不影响解答结果．

21. 解：（Ⅰ）∵F(x,y)(1x)

∴f(x)F(1,log2(x4x9))22log2(x24x9)yx24x9，

故A(0，9)， …………1分 又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t) (n>0) ，

f(x)=2x-4．

2tn4n9∴t，

2n4n

解得B( 3，6 ) ， …………2分

- 9 -

x32∴S(x4x92x)dx(3x9x)0332309． …………4分

（Ⅱ）g(x)F(1,log2(x3ax2bx1))x3ax2bx1，

设曲线C2在x0(4x01)处有斜率为-8的切线， 又由题设log2(x3+ax2+bx+1)>0 , g(x)=3x2+2ax+b,

3x022ax0b8∴存在实数b使得4x01x3ax2bx00002(1)(2)有解， …………6分

(3)2由（1）得b83x02ax0，代入（3）得2x0ax080，……7分

2x02ax080∴由有解，

4x01得2×(-4)+a×(-4)+8>0或2×(-1)+a×(-1)+8>0, ∴a<10或a10，

∴a10． …………9分

2

2

xln(1x)ln(1x)1x,x1，由h(x)（Ⅲ）令h(x)， …………10分 2xxxln(1x),x0， 又令p(x)1x∴p(x)11x0， 22(1x)1x(1x)∵p(x)在[0,)连续 ∴p(x)在[0,)单调递减， …………12分 ∴当x0时有，p(x)p(0)0， ∴当x1时有，h(x)0，

∴h(x)在[1,)单调递减， …………13分

∴1xy时，有

ln(1x)ln(1y)， xy∴yln(1+x)>xln(1+y), ∴(1x)(1y)，

*∴当x,yN 且xy时，F(x,y)F(y,x) ． …………14分

yx - 10 -

- 11 -