2017-2018学年福建省福州市福清市八年级(下)期中数学试卷(解析版)

一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卡的相应位置）分 1．下列式子中，最简二次根式的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ）

A．

B．﹣

C．2

D．﹣2

3．如图△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝8，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为（ ）

A．3 B．2.5 C．4 D．5

4．下列运算正确的是（ ） A．C．

﹣﹣

＝＝

B．D．

＝2

＝2﹣，

，

；可作直角三角形三

5．在下列各组数中①1，2，3；②5，12，13；③6，7，9；④边长的有（ ） A．4组 6．当x＝A．

B．3组

C．2组

D．1组

+1时，式子x2﹣2x+2的值为（ ）

B．5

C．4

D．3

7．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．如图菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，E为边AD上任意一点，则△BCE的面积为（ ）

A．8 B．12 C．24 D．无法确定

9．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，小敏行走的路线为B﹣A﹣G﹣E，小聪行走的路线为A﹣D﹣E﹣F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（ ）

A．大于3100 m B．3100 m C．小于3100 m D．无法确定

10．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（ ）

A．6 B．6π C．10π D．12

二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答） 11．若二次根式

在实数范围内有意义，则x的取值范围是

12．命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 ．

13．如图所示，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件 ． （只需填一个你认为正确的条件即可）

14．已知直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（2，0），则点D的坐标是

15．如图△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，则BC的长为 ．

16．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（10，6），点P为BC边上的动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标为

三.解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答） 17．（8分）计算： （1）（2）（

﹣

+

+2）

﹣2）（

18．（8分）如图，受台风影响，一棵大树在高于地面3米的A处折断，顶部B落在距离大树底部C处4米的地面上，问这棵大树原来有多高？

19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF．请你只用无

刻度的直尺画出线段EF的中点O，并说明这样画的理由．

20．（8分）已知AD是△ABC的中线，且满足AD＝BC，探究AB2+AC2和BC2的数量关系，并说明理由．（要求根据已知画出图形并证明）

21．（10分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．

22．（10分）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长． 23．（10分）如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）． （1）求线段AB的长；

（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；

（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式

﹣

的最大值．

24．（12分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH都是边长为4的正方形，

（1）如图1，当点A、E重合、且∠DAH为锐角时，求证：MB＝MH； （2）如图2，在（1）的条件下，当∠DAH＝30°时，求出图中阴影部分面积；

（3）如图3，当点E为线段AC中点时，设CM＝x，△MEN的面积为y，试用含x的代数式表示y．

25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为对角线BD的中点． （1）如图1，连接AE，求AE的长；

（2）如图2，点F在BC边上，且CF＝1，连接EF，求证∠BFE＝45°；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM∥EF交BD于点M点，G为CM上的动点，过点G作GH⊥BC，垂足为H，连接GE，求GE+GH的最小值．

2017-2018学年福建省福州市福清市八年级（下）期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卡的相应位置）分 1．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、B、C、D、

＝

，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；

不能化简，符合最简二次根式的定义，故本选项符合题意； ＝2

，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；

＝2，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了最简二次根式：满足①被开方数中不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）的二次根式叫最简二次根式．

2．【分析】根据图形特点，求出斜边的长，即得OA的长，可求出x的值． 【解答】解：由图中可知直角三角形的两直角边为：1，1， 那么斜边长为：在原点的左边，则x＝﹣故选：B．

【点评】本题需注意：确定点A的符号后，点A所表示的数的大小是距离原点的距离． 3．【分析】根据三角形的中位线定理即可解决问题； 【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC， ∴DE＝BC＝4， 故选：C．

【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，解题的关键是记住三角形的中位线定理． 4．【分析】根据二次根式的加减法对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、

与

不是同类项，不能合并，故本选项错误； ＝．

，那么0到A的距离为

，

B、C、D、

＝﹣

＝2

，故本选项错误； ﹣＝

＝

，故本选项正确；

﹣2，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．

5．【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．

【解答】解：①∵1+2＝3，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故错误； ②∵52+122＝132，∴三条线段能组成直角三角形， ③∵62+72≠92，∴三条线段不能组成直角三角形，故错误； ④∵（

）2+（

）2＝（

）2，∴三条线段能组成直角三角形；

故选：C．

【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算． 6．【分析】根据完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：当x＝∴x﹣1＝

，

+1时，

∴原式＝x2﹣2x+1+1 ＝（x﹣1）2+1 ＝3+1 ＝4 故选：C．

【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

7．【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．

【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°

∴AB＝10cm，

∵AE＝6cm（折叠的性质）， ∴BE＝4cm， 设CD＝x， 则在Rt△DEB中， 42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3cm． ∴CD＝3cm， 故选：A．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．

8．【分析】由题意S△BCE＝•S菱形ABCD，求出菱形的面积即可解决问题； 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AD∥BC，

∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24， ∴S△BCE＝•S菱形ABCD＝12， 故选：B．

【点评】本题考查菱形的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9．【分析】作GH⊥AD于H，证明△AHG≌△FGE，根据全等三角形的性质得到AG＝EF，得到答案．

【解答】解：作GH⊥AD于H， 四边形HGED为矩形，

∵DB平分∠ADC，GH⊥AD，GE⊥CD， ∴GH＝GE，

∴矩形HGED为正方形，AH＝GF， ∴ED＝EH，

在△AHG和△FGE中，

，

∴△AHG≌△FGE（SAS） ∴AG＝EF，

∴小聪行走的路程＝小敏行走的路程＝3100m， 故选：B．

【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定和性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

10．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝

＝5，

×（）2+

﹣×π×（）2＝6，

所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．

二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答） 11．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2018≥0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x﹣2018≥0， 解得：x≥2018， 故答案为：≥2018．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等， 故答案为：菱形的四条边相等．

【点评】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

13．【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可． 【解答】解：根据平行四边形的判定方法，知

需要增加的条件是AD＝BC或AB∥CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D． 故答案为AD＝BC（或AB∥CD）．

【点评】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．

两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

14．【分析】根据菱形的性质，画出图形即可解决问题；

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（2，0）， ∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝4， ∴D（0，4）．

故答案为（0，4）．

【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是正确画出图形，属于中考基础题．

15．【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和AD，根据勾股定理求出BD，即可得出答案．

【解答】解：

过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴CD＝AC＝由勾股定理得：AD＝11，

∴BC＝BD+CD＝11+5＝16， 故答案为：16．

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、含30°角的直角三角形性质等知识点，能够正确作出辅助线并求出CD和BD的长度是解此题的关键．

16．【分析】当PA＝PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP＝OA＝10时，由勾股定理求出CP即可；当AP＝AO＝10时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标． 【解答】解：当PA＝PO时，P在OA的垂直平分线上， P的坐标是（5，6）；

当OP＝OA＝10时，由勾股定理得：CP＝P的坐标是（8，6）；

当AP＝AO＝10时，同理BP＝8，CP＝10﹣8＝2， P的坐标是（2，6）．

故答案为：（2，6），（5，6），（8，6）．

【点评】本题主要考查对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握，能求出所有符合条件的P的坐标是解此题的关键． 三.解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答） 17．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝3

﹣2

+

＝8，

＝5，

＝

＝5

，BD＝

＝

＝

＝；

（2）原式＝3﹣4 ＝﹣1．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

18．【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高，继而即可求出折断前的树高． 【解答】解：在Rt△ABC中∠ACB＝90°， ∴由勾股定理可得：∴AC+AB＝3+5＝8， ∴大树原来高8米．

【点评】考查了利用勾股定理解应用题，关键在于把折断部分、大树原来部分和地面看作一个直角三角形，利用勾股定理列出方程求解．

19．【分析】连接AC交EF与点O，连接AF，CE．根据AE＝CF，AE∥CF可知四边形AECF是平行四边形，据此可得出结论．

【解答】解：如图：连接AC交EF与点O，点O即为所求．

，

理由：连接AF，CE，AC． ∵ABCD为平行四边形， ∴AE∥FC． 又∵AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形， ∴OE＝OF，

∴点O是线段EF的中点．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键．

20．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠DCA＝∠A，根据三角形的内角和得到∠CAB＝90°，推出△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：如图，AB2+AC2＝BC2；

理由：∵AD是△ABC的中线，且AD＝BC， ∴DA＝DB＝DC，

∴∠DAB＝∠B，∠DCA＝∠DAC， ∵∠DAB+∠B+∠DCA+∠A＝180°， ∴∠DAB+∠DCA＝180°×＝90°， 即∠CAB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴AB2+AC2＝BC2．

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

21．【分析】（1）由题意可得四边形ABEF是平行四边形，由AE平分∠BAD，可得AB＝BE，则结论可得

（2）：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O．由题意可得AB＝4，∠AOB＝90°，∠BAE＝30°，可得AO的长即可求AE的长． 【解答】（1）证明：∵▱ABCD ∴BC∥AD，即 BE∥AF ∵EF∥AB

∴四边形ABEF为平行四边形 ∵AE平分∠BAF ∴∠EAB＝∠EAF ∵BC∥AD ∴∠BEA＝∠EAF ∴∠BEA＝∠BAE ∴AB＝BE

∴四边形ABEF是菱形

（2）解：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O

∵BA＝BE，∠EBA＝120° ∴∠BEA＝∠BAE＝30° ∵菱形ABEF的周长为16 ∴AB＝4

在Rt△ABO中∠BAO＝30° ∴

由勾股定理可得：AO＝∴AE＝

【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，关键是利用这些性质和判定解决问题．

22．【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，证出AH＝CF，在Rt△AEH和Rt△CFG中，由勾股定理求出EH＝FG，同理：EF＝HG，即可得出四边形EFGH为平行四边形；

（2）在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，设AE＝x，则BE＝x+1，在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，得出BE＝BF，求出DH＝BE＝x+1，得出AH＝AD+DH＝x+2，在Rt△AEH中，由三角函数得出方程，解方程即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∵BF＝DH， ∴AH＝CF， 在Rt△AEH中，EH＝在Rt△CFG中，FG＝

， ，

∵AE＝CG， ∴EH＝FG， 同理：EF＝HG，

∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝1， 设AE＝x，则BE＝x+1， 在Rt△BEF中，∠BEF＝45°， ∴BE＝BF， ∵BF＝DH， ∴DH＝BE＝x+1， ∴AH＝AD+DH＝x+2， 在Rtt△AEH中， tan∠AEH＝2， ∴AH＝2AE， ∴2+x＝2x， 解得：x＝2， ∴AE＝2．

【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键． 23．【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长；

（2）根据两点间的距离公式可求线段AC，BC的值，再相加即可求解； （3）由代数式可得

﹣

的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间的距离，根

据两点间的距离公式即可求解． 【解答】解：（1）（2）AC+BC ＝＝

+

；

＝+； ﹣＝5．

的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间的距离，

（3）代数式可得最大值为

【点评】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键．

24．【分析】（1）根据HL证明Rt△AMH≌Rt△AMB，可得结论；

（2）如图2，先根据Rt△AMH≌Rt△AMB，得∠HAM＝∠MAB＝30°，计算积差可得结论；

（3）如图3，连接EB先证明△ECM≌△EBN，得NB＝CM＝x，MB＝4﹣x，可得四边形ENBM面积＝S△EBC＝S正方形ABCD，根据面积差可得y与x的关系式．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与四边形EFGH都是边长为4的正方形， ∴AB＝AH，∠H＝∠B＝90°， 在Rt△AMH和Rt△AMB中， ∵

，

，根据面

∴Rt△AMH≌Rt△AMB（HL），…………………（3分） ∴MB＝MH；…………………………………… （2）解：由（1）得：Rt△AMH≌Rt△AMB，

∴∠HAM＝∠MAB，………………………………………（5分） 又∠DAB＝90°， 当∠DAH＝30°时， ∴∠HAM＝∠MAB＝30°， ∴Rt△AMH中，AM＝2HM，

∵AB＝AH＝4，………………………………（6分） 由勾股定理得：HM2+AH2＝AM2， ∴HM2+42＝4HM2， 解得，∴

阴

影

，………（7分） 部

分

面

积

S

＝

＝

；……………………（8分）

（3）解：如图3，连接EB， ∵E是AC的中点，∠ABC＝90°， ∴EC＝EB，∠CEB＝90°， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝90°， ∴∠CEM＝∠BEN， 在△ECM和△EBN中， ∵

，

∴△ECM≌△EBN，…………………………（9分） ∴NB＝CM＝x，MB＝4﹣x，

∴四边形ENBM面积＝S△EBC＝S正方形ABCD＝4， ∴S△MNB＝∴

，

．…………………………（12分）

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理， 注意第（3）根据三角形全等，从而利用割补法将四边形面积转化为三角形面积，从而解决问题．25．【分析】（1）先根据勾股定理计算BD的长，最后利用直角三角形斜边中线的性质得AE的长； （2）如图2，取BC中点Q，连接EQ，则EQ为Rt△BCD的中位线，证明△FQE是等腰直角三角形，可得∠BFE＝45°；

（3）如图3，过点E作EN⊥DC于N，交CM于点G，此时EG+GH的值最小，就是EN的长，根据三角形中位线定理可得结论．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝2，AD＝4， ∴BD＝

＝2

，…………………………（2分）

∵AE为斜边BD边上中线 ∴

（2）证明：如图2，取BC中点Q，连接EQ，则EQ为Rt△BCD的中位线， ∴EQ∥DC，且

∴∠FQE+∠C＝180°， 又∠C＝90°， ∴∠FQE＝90°， ∵

，且FC＝1，

，…………………………（5分）

…………………………

∴QF＝QE＝1，

∴△FQE是等腰直角三角形，……………………………………（7分） ∴∠BFE＝45°；…………………………………………………（8分）

（3）解：如图3，过点E作EN⊥DC于N，交CM于点G，……………………（9分） ∵E是BD的中点，EN∥BC， ∴DN＝CN，

∴EN＝BC＝2，…………………………………（10分） ∵CM∥EF，

∴∠MCB＝∠EFB＝45°， 又∠BCD＝90°， ∴CM平分∠BCD，

∴GN＝GH，………………………………………………………（11分） ∴EG+GH最小值＝EG+GN＝EN＝2．……………………………（12分）

【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定、勾股定理，角平分线的性质，难度适中，第（3）确定GE+GH的最小值时点G的位置是难点：根据角平分线的性质和垂线段最短．