福建省福州市福清市2018-2019学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)

2018-2019学年福建省福州市福清市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）以5、12、13为三边长的三角形是（ ） A．直角三角形 2．（4分）函数A．x≠﹣1

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

中自变量x的取值范围是（ ） B．x＞﹣1

C．x≠1

D．x≠0

3．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是（ ） A．y＝﹣2x

B．y＝﹣2x+1

C．y＝x﹣2

D．y＝﹣x﹣2

4．（4分）矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则BC的长是（ ） A．2

B．4

C．2

D．4

5．（4分）父亲节，学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，那么下面与上述诗意大致相吻合的图象是（ ）

A． B．

C． D．

6．（4分）下列命题正确的是（ ）

A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．邻边相等的四边形是正方形

7．（4分）下列不是轴对称图形的是（ ） A．等腰三角形

B．平行四边形

C．矩形

D．菱形

8．（4分）如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：

1

对于甲、乙两人的作法，可判断（ ） A．甲正确，乙错误 C．甲、乙均正确

B．甲错误，乙正确 D．甲、乙均错误

9．（4分）商场销售甲种服装每件的利润为40元，乙种服装每件的利润为30元．计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，不超过75件．在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜10）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，则商场进货（ ）件甲种服装能获得最大利润． A．65

B．70

C．75

D．100

10．（4分）如图，直线a、b、c分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C，且互相平行，若直线a、b的距离为2，直线b、c的距离为4，则正方形ABCD的边长为（ ）

A．4

B．

C．

D．6

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）如图所示，字母B所代表的正方形的面积是 ．

12．（4分）已知等腰三角形的周长为20厘米，其中一腰长为x厘米，底边长为y厘米，则y与x的函数关系式是 （不要求写自变量的取值范围）．

13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，DB平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于 ．

2

14．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．

15．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝8，∠B＝90°，将△ABC折叠，使得点A与BC边的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长为 ．

16．（4分）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且BN＝3，AN＝4，MN＝1，则AC的长是 ．

三、解答题．（共9小题，共86分）

17．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，∠ACD＝30°，AB＝4．求AC的长（结果保留根号）．

18．（8分）如图，在4×3长方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB、CD的端点都在格点上． （1）请在网格中画出线段EF，使得EF的长为

；

3

（2）请问由三条线段AB、CD、EF能否组成直角三角形，并说明理由．

19．（8分）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝ 求证：四边形ABCD是 四边形． （1）填空，补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ．

20．（8分）在平面直角坐标系中，直线AB经过A（﹣1，5），P（a，0），B（3，﹣3）． （1）求直线AB的函数解析式； （2）求△AOP的面积．

21．（8分）在△ABC中，AB＝AC，E点是AC的中点，且BC＝10，CD＝8，BD＝6． （1）求证：∠CDB＝90°； （2）求DE的长．

22．（10分）某市对居民用水采用分段阶梯收费，月用水量不超过10吨，每吨按3元收费，月用水量超过10吨的

4

收费方法为：其中的10吨按每吨3元收费，超过10吨的部分按每吨4元收费，设某户居民本月用水量为x吨，应交水费y元，

（1）请求出y与x的函数解析式；

（2）某户居民本月交水费50元，求他本月用水多少吨？ 23．（10分）已知函数y＝x+与x的几组对应值： x …

3

2

1

2

3

4

…

（x＞0），它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数（的一支）．下表是y

y … 4

2

2 3 4

…

请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究． （1）如图，在平面直角坐标系xOy中，已描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点， 画出该函数的图象；

（2）请根据图象写出该函数的一条性质： ． （3）当a＜x≤4时，y的取值范围为2≤y≤4

，则a的取值范围为 ．

，BC＝2，点D、E分别是AB、AC的中点，

24．（12分）已知．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2分别延长DE、BC到点G，F，使得DG＝BF，连接FG． （1）求证：四边形DBFG是矩形． （2）如图2，连接CG，若CA平分∠BCG． ①求BF的长．

②如图3，连接DF，分别交AC、CG于点M、N．求证：△MCN是等腰三角形．

5

25．（14分）在平面直角坐标系中，若要把一条直线平移到某个位置，经常可通过方式一：上（下）平移，或者方式二：左（右）平移的其中一种达到目的．现有直线l1：y＝﹣单位长度得到直线l2，直线l2交y轴于点D．

（1）求直线l2的解析式，并说明直线l1若按方式一是如何平移到直线l2的位置． （2）若直线l1上的一点B（a，b），点B按方式一平移后在直线l2上的对应点记为点C， ①若点P在直线l1上，且PB＝PC，求点P的坐标（用含a的式子表示）． ②当b＝0时，试证明直线l3：y＝（m﹣1）x+（m+

）（m≠1）必将四边形ABCD的面积二等分．

x﹣1交y轴于点A，若把直线l1向右平移8个

6

2018-2019学年福建省福州市福清市八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．【解答】解：∵52+122＝132，

∴以5、12、13为三边长的三角形是直角三角形， 故选：A．

2．【解答】解：根据题意得：x+1≠0， 解得：x≠﹣1． 故选：A．

3．【解答】解：A、k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，所以A选项错误； B、k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，所以B选项错误； C、k＝1＞0，y随x的增大而增大，所以C选项正确； D、k＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，所以D选项错误． 故选：C．

4．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AC＝BD＝2AO＝4， 则BC＝＝

＝2

，

故选：C．

5．【解答】解：同辞家门赴车站，父亲和孩子的函数图象在一开始的时候应该一样，

7

别时叮咛语千万，时间在加长，路程不变， 学子满载信心去，学子离家越来越远， 老父怀抱希望还，父亲回家离家越来越近， 故选：B．

6．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； D、领边相等的矩形是正方形，故错误， 故选：A．

7．【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，故本选项错误； B、平行四边形不是轴对称图形，故本选项正确； C、矩形是轴对称图形，故本选项错误； D、菱形是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B．

8．【解答】解：甲的作法正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC，

8

∴四边形AECF是菱形；

乙的作法正确； ∵AD∥BC，

∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，

∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD， ∴∠2＝∠3，∠5＝∠6， ∴∠1＝∠3，∠5＝∠7， ∴AB＝AF，AB＝BE， ∴AF＝BE

∵AF∥BE，且AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF，

∴平行四边形ABEF是菱形； 故选：C．

9．【解答】解：设甲种服装购进x件，总利润为w元，根据题意得 65≤x≤75，

w＝（40﹣a）x+30（100﹣x）＝（10﹣a）x+3000， ∵0＜a＜10，

∴10﹣a＞0，w随x的增大而增大，

∴当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件．故选：C．

9

10．【解答】解：如图，过点A作AE⊥b于E，过点C作CF⊥b于F，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°， ∴∠CDF＝∠DAE，且AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°， ∴△ADE≌△CDF（AAS） ∴DE＝AE＝2，CF＝DE＝4， ∴AD＝＝＝2，

故选：C．

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．【解答】解：根据勾股定理我们可以得出：字母B所代表的正方形的面积是＝225﹣81＝144．故答案为：144．

12．【解答】解：由题意得：2x+y＝20， 即可得：y＝20﹣2x， 故答案为：y＝20﹣2x．

13．【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC， ∴∠EDA＝∠DEC， 又∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC＝∠ADE， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴CD＝CE＝AB＝6， 即BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2． 故答案为：2．

10

14．【解答】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2， 故答案为：x＝﹣2．

15．【解答】解：∵AB＝BC＝8，D是BC的中点， ∴BD＝CD＝4， 由折叠知DF＝AF， ∴设BF＝x，则AF＝8﹣x， 在Rt△DBF中，DF2＝BD2+BF2， ∴（8﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3． 即BF＝3．

故答案为：3．www.czsx.com.cn 16．【解答】解：延长BN交AC于D， ∵AN平分∠BAC， ∴∠NAB＝∠NAD， ∵BN⊥AN， ∴∠ANB＝90°， 在△ANB和△AND中，

，

∴△ANB≌△AND（ASA）， ∴AD＝AB＝5，BN＝ND， ∵M是△ABC的边BC的中点， ∴DC＝2MN＝2， ∴AC＝AD+CD＝2+5＝7； 故答案为：7．

11

三、解答题．（共9小题，共86分） 17．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝4，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△DOC中，∠ACD＝30°， ∴DO＝

，

在Rt△DOC中，∠DOC＝90°， ∴OC2+OD2＝CD2， ∴OC＝＝，

∴AC＝2OC＝

．

18．【解答】解：如图所示，

（1）线段EF即为所求；

（2）三条线段AB、CD、EF不能组成直角三角形， 理由如下：

由勾股定理可计算得： AB＝

，CD＝

，EF＝

，

∴CD2+EF2＝10+5＝15 AB2＝13

∴CD2+EF2≠AB2，

根据勾股定理的逆定理可知： 这个三角形不是直角三角形．

12

19．【解答】解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD 求证：四边形ABCD是平行四边形．

（2）证明：连接BD， 在△ABD和△CDB中，

，

∴△ABD≌△CDB（SSS），

∴∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD，AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．

20．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，k≠0， 依题意得：A（﹣1，5），B（3，﹣3）在直线AB上， ∴， 解得：

，

∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+3； （2）依题意得：点P（a，0）在直线AB上， ∴﹣2a+3＝0， ∴a＝，

∴

．

21．【解答】（1）证明：∵CD2+BD2＝82+62＝100， BC2＝102＝100，

13

∴CD2+BD2＝BC2，

∴△BDC为直角三角形，∠CDB＝90°；

（2）解：由（1）得：∠CDB＝90° ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，AE＝CE， ∴DE＝

，

设AC＝x，则AB＝x，DE＝

，AD＝x﹣6，

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2 （x﹣6）2+82＝x2， 解得：， ∴DE＝

．

22．【解答】解：（1）当0≤x≤10时，y＝3x； 当x＞10时，y＝3×10+4（x﹣10）， ∴y＝4x﹣10；

（2）由（1）得：当x＝10时，y＝30， ∵50＞30，

∴当y＝50时，4x﹣10＝50， ∴x＝15．

∴该居民本月用水量为15吨． 23．【解答】解：（1）如图所示：

14

（2）当0＜x≤1时，y随x的增大而减小； 或写成：当x＝1时，函数有最小值为2．

故答案为：当0＜x≤1时，y随x的增大而减小（答案不唯一，写单调性或最值中的一种都可以）；

（3）当a≤x≤4时，y的取值范围为2≤y≤4，则a的取值范围为：

．

故答案为：

．

24．【解答】证明：（1）如图1，∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC， ∴DG∥BF， ∵DG＝BF，

∴四边形DBFG是平行四边形， ∴∠B＝90°， ∴▱DBFG是矩形；

（2）①如图2，过C作CH⊥DG于H，

∴∠ADE＝∠DHC＝90°，

15

∵AE＝CE，∠AED＝∠CEH， ∴△ADE≌△CHE（AAS）， ∴CH＝AD＝

，EH＝DE＝1，

设CF＝x，则BF＝2+x，GH＝CF＝x，EG＝x+1， ∵AC平分∠BCG， ∴∠BCA＝∠ACG， ∵DG∥BF， ∴∠GEC＝∠BCA， ∴∠GEC＝∠ACG， ∴EG＝CG＝x+1，

Rt△CGF中，由勾股定理得：CG2＝CF2+GF2， （x+1）2＝x2+（）2，

x＝3，

∴BF＝2+3＝5； ②∵DE∥CF， ∴△DEM∽△FCM， ∴

，

由勾股定理得：AC＝＝4

，

DF＝＝4，

CG＝

＝4，

∵E是AC的中点， ∴EC＝AC＝2，

∴MC＝

EC＝

＝， 同理得：DM＝＝

，FM＝3

，

∵DG∥CG，

16

∴＝，

∴FN＝DF＝＝， ∴MN＝4

﹣

﹣

＝

，

∴MN＝CM，

∴△MCN是等腰三角形． 25．【解答】解：（1）y＝﹣x﹣1，

当y＝0时，﹣

x﹣1＝0，x＝﹣2，

∴直线l1与x轴交点坐标为（﹣2，0），

按方式二平移后的对应点为（6，0），且在直线l2上， 设直线l2的解析式为y＝﹣x+b，

∴﹣

×6+b＝0，b＝3，

∴直线l2的解析式为：y＝﹣x+3， ∴3﹣（﹣1）＝4，

∴直线l1若按方式一向上平移4个单位得到直线l2； （2）①如图1，∵点B（a，b）在直线l1：y＝﹣

x﹣1上， 17

∴b＝﹣

a﹣1，

∴点B（a，﹣

a﹣1），

由（1）得，点C（a，﹣a+3），且BC∥y轴， ∴BC的中点坐标为（a，﹣a+1），

∵PB＝PC，

∴点P在BC的垂直平分线上， 又∵BC⊥x轴， ∴点P的纵坐标为﹣

a+1，

设点P的横坐标为xp， ∴﹣

a+1＝﹣

﹣1，

∴xp＝a﹣4，

∴点P的坐标为（a﹣4，﹣

a+1）；

②如图2，根据题意得：B（﹣2，0），D（0，3），由平移可知BC∥AD，BC＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形，

18

连接BD、AC，交点记为点E，则E是BD的中点， ∴E（﹣1，

），且过点E的直线把平行四边形ABCD的面积二等分，

把x＝﹣1代入y＝（m﹣1）x+（m+）中，得y＝

，

即当m≠1时，直线l3必过E点， 直线l3：y＝（m﹣1）x+（m+

）（m≠1）必将四边形ABCD的面积二等分．

19