人教课标版高中数学必修1《集合的基本运算(第2课时)》教学设计

一、教学目标 （一）核心素养

通过这节课的学习，理解全集与补集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，

会求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的运算，体会直观想象对理解抽象概念的作用，培养学生的应用意识与创新意识． （二）学习目标

1．理解集合全集的概念．

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 3．能使用Venn图表达集合的关系及运算．

（三）学习重点

1．全集与补集的概念．

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义．

（四）学习难点

1．会求给定子集的补集．

2．对Venn图表达集合的关系及运算的正确使用．

二、教学设计 （一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第10页至第11页． （2）练一练：

全集的定义：

如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看成一个全集，全集通常用符号U表示．

补集的三种语言：

① 文字语言：设U是一个集合，A是U的一个子集(即A⊆U)，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集．

② 符号语言：CUA＝{x|x∈U，且x∉A}． ③ 图形语言：

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A U 2．预习自测

（1）设U={1，2，3}，A={2，3}，求CUA＝（ ）

A．{1} B．{2} C．{2，3} D．{1，2，3} 【答案】A．

（2）设U={1，2，3，4}，A={2，3}，B={3，4，5}，求CU(AB)＝（ ）

A．{1，2，3} 【答案】C．

（3）设U={1，2，3，4，5}，A={2，3}，B={3，4，5}，求CU(AB)＝（ ）

A．{1，2}

【答案】C．

B．{4，5}

C．{1}

D．{4，5}，

B．{4，5}

C．{1，2，4}

D．{1，4，5}，

(二)课堂设计 1．知识回顾

（1）元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如

果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA．

（2）集合间的基本关系：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这

两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB； 若集合A与集合B的元素是一样的，称集合A与集合B相等；

若集合A是集合B的子集，且集合A不等于集合B，则集合A是集合B的真子集； 把不含任何元素的集合叫做空集．

（3）由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记为A

∪B；

由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记为A∩B．

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2．问题探究

探究一 明确研究范围，认识全集★ ●活动① 通过练习例题，回顾所学旧知

之前，我们已经学过集合的交集、并集运算．我们来看下面的例题： A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4} C．{1，2，4} 【答案】A．

D．{2，3，5}

（1）已知A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B＝（ ）

（2）已知集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝（ ）

A．{x|－3＜x＜2}

B．{x|－5＜x＜2}

C．{x|－3＜x＜3} D．{x|－5＜x＜3} 【答案】A．

（3）设集合M＝{1，2，4，8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝（ ）

A．{2，4} C．{2，4，8} 【答案】C．

注意在求集合并集时注意集合中元素的互异性，并集对应着“或”，交集对应着“且”． 【设计意图】通过实际例题，考查学生对已学知识点的掌握情况，为认识全集与学习集合间的补集运算打下基础．

●活动② 明确研究范围，认识全集

在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．

B．{1，2，4} D．{1，2，8}

例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数．在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充．在不同范围内研究同一个问题可能有不同的结果．

考查方程x2x230在下面范围内的解集． （1）有理数范围； （2）实数范围．

学生自行求解这个问题，发现在有理数范围内只有一个解，即

xQx2x302；

2 在实数范围内有三个解，即

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xRx2x302,23,3

x的不同取值范围对方程的解集结果有什么影响？（抢答） 范围不同，同一个问题所解得的最后的结果也不同． 教师根据学生的回答，适时引入全集的概念．

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．

如何理解全集的相对性？

全集具有相对性，是相对于我们研究的问题而言的一个概念．如：小学数学研究的问题常在有理数集内，则有理数集是全集．初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集．

【设计意图】通过研究方程在不同范围内解的不同，引出集合全集的概念，为后面学习补集的定义打下基础．

探究二 探究集合的补集运算★▲ ●活动① 通过实例、探究补集概念★

考查下面的问题，集合A，B与集合U之间有什么关系？

A={1，3，5}，B={2，4，6}，U={1，2，3，4，5，6}；

一般地，对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合A的补集，记

作：CUA

根据补集的定义，能否像并集和交集运算一样用数学语言及图形语言（Venn图）表示出来？ 数学语言表示： CUA=﹛x|x∈U，且xA}． 图形语言（Venn图）表示：

A U 给定集合A，它的补集唯一吗？为什么？（抢答）

补集是相对于全集的概念，全集若不同，则相应的补集也不一样．

通过刚才的实例探究，同学们发现A，CUA，U有着什么关系？（抢答）

全集U是由集合A与补集CUA中所有的元素组成的，且AU，CUAU．

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如何理解CUA？

① A是U的一个子集，即A⊆U，A可以是，也可以是U. ② CUA表示一个集合，且CUA⊆U. ③ CUA与A之间没有公共元素．

④ U中的元素各自分布在CUA和A中，非此即彼，互不相容．

【设计意图】通过实例，引出集合补集的概念，并通过提问抢答的方式，理解补集与全集的关系以及在给定集合中一个子集的补集的含义，并复习之前所学的集合间的基本关系． ●活动② 根据补集概念，探究补集的性质

集合A为任意一个给定的集合，可将集合A作为特殊的全集U，空集以及补集CUA，可得补集的三条性质：

（1）CU＝U；（2）CUU；（3）CUCUAA． 【设计意图】探究补集性质，加深对补集概念的理解．

●活动③ 通过实例，会求一个子集的补集▲

（1）设U＝{x| x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求CUA、CUB． 解：根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8 }，所以 CUA＝{4，5，6，7，8}， CUB＝{1，2，7，8}．

（2）将（1）中的U＝{x| x是小于9的正整数}改成U＝{x| x是小于10的非负整数}，求CUA、

CUB．

解：根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以 CUA={0，4，5，6，7，8，9}， CUB={0，1，2，7，8，9}．

【设计意图】通过实例，加深理解在给定集合中一个子集的补集的含义，并会求所给集合的补集．

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探究三 使用Venn图表达集合的关系及运算▲

●活动① 应用Venn图探究集合的运算（反演律） （1）CUABCUACUB；

（2）CUABCUACUB．

教师给出反演律后，可有学生自主画出Venn理解并给予证明，培养学生的动手能力． 【设计意图】通过Venn图探究集合交并补三种运算之间的关系，体会直观想象对理解抽象概念的作用．

●活动② 巩固基础，检查反馈

例1 (1)设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，则CUA＝________．

(2)已知U＝{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x| x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，

4}，则CUA＝________， CUB＝________．

【知识点】补集及其运算，Venn图表达集合的关系及运算． 【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】(1)用数轴表示集合A为图中阴影部分，故CUA＝{x| x≤2或x >5}．

（2）可用Venn图表示，如下图．

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则CUA＝{－5，－4，3，4}，CUB＝{－5，－4，5}． 【思路点拨】求集合补集处理技巧：

① 当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．

②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 【答案】 (1) CUA＝{x| x≤2或x >5}．

(2) CUA＝{－5，－4，3，4},CUB＝{－5，－4，5}．

同类训练

(1)设全集U＝{x∈N| x≥2}，集合A＝{ x∈N| x2≥5}，则CUA＝（ ） A． B．{2} C．{5}

D．{2，5}

(2)已知U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若CUA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________．

【知识点】补集及其运算． 【数学思想】

【解题过程】(1)由题意知集合A＝{x∈N| x≥5}，则CUA＝{2}.

(2)∵A∪CUA＝U，且A∩CUA，∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2．

【思路点拨】当已知集合较复杂时应化简后再求补集，正确运用补集的性质． 【答案】(1) B；(2) 2．

例2 设U＝R，已知集合A＝{x|－5＜x＜5}，B＝{ x |0≤x＜7}，求： (1) A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(CUB)；(4)B∩(CUA)；(5)(CUA)∩(CUB)．

【知识点】交、并、补集的混合运算，Venn图表达集合的关系及运算，子集与交集、并集

运算的转换．

【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】作出数轴表示两个集合：

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(1) 根据图形知：A∩B＝{x|0≤x＜5}； (2) 根据图形知：A∪B＝{x|－5＜x＜7}．

(3)

CUB＝{x|x＜0或x≥7}，A∪(CUB)＝{x|x＜5或x≥7}．

(4)

CUA＝{x|x≤－5或x≥5}，B∩(CUA)＝{x|5≤x＜7}．

(5)CUACUBCUAB＝{x|x≤－5或x≥7}．

【思路点拨】数轴法要注意各个端点的画法；注意A决定端点的去向．

CUAU，ACUA，从而

【答案】(1) {x|0≤x＜5}；(2) {x|－5＜x＜7}；(3) {x|x＜5或x≥7}；(4) {x|5≤x＜7}；(5) {x|x≤

－5或x≥7}．

同类训练 已知集合A＝{x|－1＜x≤4}，M＝{x|－3≤x≤7}，S＝{x|－1≤x≤8}，则CMA＝________，

CSA＝_______，M∩(CRA)＝________；A∪(CRA)＝________．

【知识点】交、并、补集的混合运算，子集与交集、并集运算的转换． 【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】在数轴上分别画出集合A、M、S，认清全集与所给子集，根据补集的定义求

出所给子集的补集．

【思路点拨】会求给定集合中一个子集的补集，注意运用数轴法时端点处的取值． 【答案】{x|－3≤x≤－1或4＜x≤7}；{x|x＝－1或4＜x≤8}；{x|－3≤x≤－1或4＜x≤7}；{x|x＜－1或－1＜x≤4或x＞8}．

【设计意图】巩固检查集合的全集与补集的概念，熟练应用数轴法与Venn图求集合交、

并、补集的混合运算．

●活动③ 强化提升、灵活应用

例3 已知全集U，M，N是U的非空子集，且CUMN，则必有（ ）

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A．M ⊆CUN B．MCUN C．CUM＝CUN D．M＝N

【知识点】Venn图表达集合的关系及运算．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】由图可知M ⊆CUN.要注意：由已知有可能出现M=CUN.因此有可能M=CUN.

【思路点拨】这里M与N是两个抽象的集合，因此经过补集运算后，它们之间的关系就

更加抽象了，而这时用韦恩图法，则使问题变得形象、直观起来．

【答案】A．

同类训练 设全集U≠，已知集合M，P，S之间满足关系，M＝CUP，P＝CUS，则集合M与S之间的正确关系是( )

A．M＝CUS B．M＝S C．S ⊆M 【知识点】Venn图表达集合的关系及运算．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】画出满足M＝CUP，P＝CUS的Venn图，由图观察集合M与S之间的关系． 【思路点拨】研究抽象集合的关系问题，可以利用集合的韦恩图去分析，在作图的时候要

D．SM

设法将所有可能的情况都考虑进去，以防因思虑不全面和由局部图形的先入为主而导致解题的失误．

【答案】B．

【设计意图】提高学生运用Venn图表达集合的关系及运算的能力，培养学生数形结合的

思想． 3. 课堂总结

知识梳理 （1）全集的概念．

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．

全集具有相对性，是相对于我们研究的问题而言的一个概念．如：小学数学研究的问题常

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在有理数集内，则有理数集是全集．初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集．通常也把给定集合的集合叫做全集． （2）补集的概念．

一般地，对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合A的补集，记作：CUA，即

CUA＝{x|x∈U，且xA }．

可用Venn图来表示：

补集是相对于全集的概念，全集若不同，则相应的补集也不一样． （3）补集的性质．

①

U A U ＝U；②

UUU＝；③

U(

UA)＝A．

U④反演律：

重难点归纳

(A∪B)＝(CUA)∩(CUB)；(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)．

（1）理解全集与补集的概念，理解全集具有相对性，补集是相对于全集的概念，全集若

不同，则相应的补集也不一样，理解在给定集合中一个子集补集的含义，且A

CUAU．

（2）会应用数轴法求交、并、补集的混合运算，并进行补集与交集、并集运算的转换，

注意运用数轴法时端点处的取值．

（3）学会应用Venn图表达集合的关系与运算，在作图的时候要设法将所有可能的情况都考虑进去，避免先入为主的观念．

（三）课后作业 基础型 自主突破

1．已知U＝{1，3}，A＝{1，3}，则A．{1，3}

UA＝（ ）

B．{1}

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C．{3}

【知识点】补集及其运算．

【数学思想】

【解题过程】集合A＝U，因此

UD．

U＝．

【思路点拨】根据集合补集的概念进行判断． 【答案】D．

2．设全集U＝{x∈N*| x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} 【知识点】交、并、补集的混合运算．

U(A∪B)＝（ ）

D．{2，5}

【数学思想】

【解题过程】先算出A∪B，在根据补集的定义，求出【思路点拨】根据集合并集与补集的概念进行判断． 【答案】C．

3．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，4，5}，则(

UU(A∪B)．

A)∪(

UB)

＝（ ）

A．{1，2，3，4，5} B．{3} C．{1，2，4，5} D．{1，5} 【知识点】交、并、补集的混合运算．

【数学思想】

【解题过程】U(A∩B)＝(

UA)∪(

UB)，故先算出A∩B，在根据补集的定义，求出

U(A∩

B)．

【思路点拨】先运用反演律化简，再根据集合并集与补集的概念进行判断． 【答案】C．

4．若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{ x | x＜1}，则A∩(

RB)＝（ ） D．{ x |1≤x≤2}

A．{ x | x＞1} B．{ x | x≥1} C．{ x |1＜x≤2}

【知识点】交、并、补集的混合运算． 【数学思想】数形结合思想

【解题过程】在数轴上分别表示出集合A，【思路点拨】将符号语言转化为图形语言．

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RB，由图形语言解决问题．

【答案】D．

5．设P＝{x︱x＜4}，Q＝{ x︱x2＜4}，则（ ） A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆【知识点】补集及其运算．

RQ D．Q⊆

RP

【数学思想】数形结合思想

【解题过程】在数轴上分别表示出集合P，Q，

RQ，

RP，由图形语言解决问题．

【思路点拨】将符号语言转化为图形语言，根据集合补集的概念进行判断． 【答案】B．

6．设全集U＝{2，3，5}，A＝{2，|a－5|}，

UA＝{5}，则a的值为（ ）

A．2 B．8 C．2或8 D．－2或8

【知识点】补集及其运算． 【数学思想】 【解题过程】

UA＝{5}包含两层意义，①5∉ A；②U中除5以外的元素都在A中．∴|a－

5|＝3，解得a＝2或8.

能力型 师生共研

7．设A＝{x|| x |＜2}，B＝{ x | x＞a}，全集U＝R，若A⊆A．a＝0 B．a≤2 C．a≥2 D．a＜2

【知识点】补集及其运算． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】A＝{x|－2＜x＜2}，

RR【思路点拨】根据集合补集的概念进行判断． 【答案】C．

B，则有（ ）

B＝{x| x≤a}，在数轴上把A，B表示出来．

【思路点拨】将集合化简后再进行运算． 【答案】C．

8．集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B

有________个元素．

【知识点】Venn图表达集合的关系及运算，交、并、补集的混合运算．

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【数学思想】数形结合思想

【解题过程】由A∩B含有3个元素知，仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集

合的元素个数为10＋8－3＝15，或直接利用Venn图得出结果．

【思路点拨】利用集合交、并、补集的概念及Venn图得出结果． 【答案】15．

探究型 突破

9．全集U＝{2，0，3－a2}，P＝{2，a 2－a－2}且【知识点】补集及其运算． 【数学思想】

【解题过程】∵U＝{2，0，3－a2}，P＝{2，a 2－a－2}，

23a1∴2，解得a＝2. aa20UP＝{－1}，求实数a．

UP＝{－1}，

【思路点拨】集合补集的概念构造不等式组，并进行求解． 【答案】2．

10．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都

不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

【知识点】Venn图表达集合的关系及运算． 【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】画出满足上述条件的Venn图，由补集的定义可得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人． 自助餐

1．已知全集U＝{0，1，2}且

U【思路点拨】借助Venn图表达集合的关系及运算． 【答案】12．

A＝{2}，则集合A的真子集的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6 【知识点】补集及其运算．

【数学思想】

【解题过程】A＝{0，1}，∴真子集的个数为22－1＝3．

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【思路点拨】根据集合补集的概念求得A＝{0，1}，再由真子集的概念得最后结果． 【答案】B．

2．如果U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，4}，B＝{2，4，5}，那么(A． B．{1，3} C．{4} D．{2，5}

UA)∩(

UB)等于（ ）

【知识点】交、并、补集的混合运算． 【数学思想】 【解题过程】

UA＝{2，5}，

UB＝{1，3}，(

UA)∩(

UB)＝．

【思路点拨】正确理解集合交、并、补集的概念．

【答案】A．

3．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，则P∩(

UQ)等于（ ）

B．{3，4，5} D．{1，2，3，4，5}

A．{1，2} C．{1，2，6，7}

【知识点】交、并、补集的混合运算． 【数学思想】 【解题过程】

UQ＝{1，2}，∴P∩(

UQ)＝{1，2}．

【思路点拨】正确理解集合交、并、补集的概念． 【答案】A．

4．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5}，则正确的

是（ ）

A．U＝A∪B C．U＝A∪(

UB．U＝(D．U＝(

UA)∪B A)∪(

UB)

UB)

【知识点】子集与交集、并集运算的转化． 【数学思想】 【解题过程】

UB＝{1，2，4，6，7}，A∪(

UB)＝{1，2，3，4，5，6，7}．

【思路点拨】正确集合交、并、补集的概念． 【答案】C．

5．如果U＝{x∈N|x＜6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，那么(

UA)∪(

UB)＝________．

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【知识点】交、并、补集的混合运算．

【数学思想】

【解题过程】U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，∴

UUA＝{0，4，5}，

UB＝{0，1，

3}．(

A)∪(

UB)＝{0，1，3，4，5}．

U【思路点拨】先将集合化简，求出【答案】{0，1，3，4，5}．

A，

UB，再求出两集合的并集．

6．设集合U＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈U| x2－5x＋m＝0}，若【知识点】补集及其运算． 【数学思想】 【解题过程】 ∵

UUA＝{2，3}，求m的值．

A＝{2，3}，U＝{1，2，3，4}，∴A＝{1，4}，

即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，故m＝1×4＝4．

数学视野

为数学而疯的康托尔

康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者，是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一．他对数学的贡献是集合论和超穷数理论．

年轻的康托尔在27岁的时候，就在数学上表现出优秀的数学天赋，他用有理数列构造实数R，在数学发展历史上，这是“前无古人”的创意．

无穷理论的研究，在当时一直是一个世界性的难题，由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．从1874年开始，康托尔向神秘的“无穷”宣战，他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1 厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”．后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．

【思路点拨】根据集合补集的定义求出m的值． 【答案】4．

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然而，康托尔在学术上的成就，在最开始，并没有得到同行的认可，尤其是当时欧洲最杰出的数学家之一，也是他的老师——克罗内克，早已流露过不满．1877年，康托尔将发现“所有连续的直线、平面或曲面都是相同等级的无穷”的论文，又投给了《克列尔杂志》．本来，杂志编辑同意发表，但克罗内克一再阻止，导致发表的时间拖到了第二年．

这个敏感而卑微的年轻人，面对权威的批评毫无回击之力，加上年轻的康托尔自己过激冲动的情绪．39岁的康托尔，经历了人生第一次精神崩溃，使康托尔曾一度患精神症，被送进精神病诊所．由于生性容易激动，这不仅加剧了他的病情，也让他失去了不少朋友． 在康托尔的余生中，多次遭受不同程度的精神崩溃．他不得不一次次出入精神病院．然而，这位伟大的数学家并没有因为自己患病而放弃对数学的探索，在精神状态好的时候，他完成了关于无穷理论的最好的那部分工作．

都说，真金不怕火炼，是金子总会发光的，在17 年举行的第一次国际数学家会议上，康托尔的思想终于大放光彩，他的成就得到承认．伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”．希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”．在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首．当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔（1881.2.27－1966.12.2）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”．

康托尔在数学上的功绩，以及敢于向无穷大冒险迈进的精神，不仅在当时影响引起巨大的反响，为如今数学理论的发展，做出了不朽的贡献．

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