2012-2013学年湖北省武汉市青山区八年级(上)期中数学试卷

2012-2013学年湖北省武汉市青山区八年级（上）

期中数学试卷

一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）下列个体均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑． 1．（3分）

的值是（ ）

±3 ±9 3 9 A．B． C． D． 2．（3分）（2012•宜昌）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ） A．B． C． D． 3．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=40°，则∠BAD=（ ）

100° 80° 50° 40° A．B． C． D． 4．（3分）若点A （m，﹣4）与点B（3，n）关于x轴对称，则（ ） A．m=﹣3，n=﹣4 B． m=3，n=4 C． m=﹣4，n=﹣3 D． m=4，n=3 5．（3分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）

SSS SAS AAS ASA A．B． C． D． 6．（3分）（2012•义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A．2与3之间 B． 3与4之间 C． 4与5之间 D． 5与6之间 7．（3分）等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其它两边长分别为（ ） A．4cm，10cm B． 7cm，7cm 4cm，10cm或7cm，7cm C．D． 无法确定 8．（3分）如图所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，则∠EDC的度数为（ ）

10° 15° 20° 30° A．B． C． D． 9．（3分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，FD=4，AF=2，则线段BC的长度为（ ）

6 8 10 A．B． C． D．1 2 10．（3分）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，则图2、图3中以格点为顶点的等腰直角三角形分别有（ ）

A．8个和16个 B． 8个和24个 C． 10个和24个 D． 10个和28个 11．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若S四边形面积=9，则AB的长为（ ）

3 6 9 18 A．B． C． D． 12．（3分）如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④

=1．其中正确的是（ ）

①②③ ①②④ ①③④ ①②③④ A．B． C． D． 二、填一填（每题3分，共12分） 13．（3分）请你写出一个比小的无理数，这个无理数可为： _________ ． 14．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是 _________ ．（不添加辅助线）

15．（3分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．若DE=acm，BD=bcm（a＞b），则CD= _________ cm．

16．（3分）（2012•丽水）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 _________ ．

三、解下列各题（本大题有9小题，共72分） 17．（6分）计算：|﹣

|﹣（

）

18．（6分）（2012•北京）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD． 求证：BC=ED．

19．（6分）如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：△COD是等腰三角形．

20．（7分）如果a的平方等于9（a＜0），试求

﹣

的值．

21．（7分）（2012•乐山）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应） （2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．

22．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=∠ACB． （1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若D为AB的中点，P为CD上的点，Q为PC的中点，且PE⊥AC于点E，QF⊥BC于点F，试求方根．

的立

23．（10分）在等边△ABC中，点E在线段AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC． （1）当点E为线段AB的中点时，试求（2）当点E不是线段AB的中点时，

的值；

的值是否发生变化？为什么？

24．（10分）（2012•岳阳）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．

（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究：

Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．

Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

25．（12分）如图：平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标为A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a，b，c满足

．点D为线段OA上一动点，连接CD．

（1）判断△ABC的形状并说明理由；

（2）如图，过点D作CD的垂线，过点B作BC的垂线，两垂线交于点G，作GH⊥AB于H，求证：

；

（3）如图，若点D到CA、CO的距离相等，E为AO的中点，且EF∥CD交y轴于点F，交CA于M．求的值．

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参与试题解析

一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）下列个体均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑． 1．（3分）

的值是（ ）

±9 D． ±3 3 9 A．B． C． 考点： 算术平方根． 分析： 2由于表示为3的算术平方根，根据平方根的定义即可得到答案． 解答： 解：∵∴表示为3的算术平方根， =3． 2故选A． 点评： 本题考查了算术平方根：若一个正数的平方等于a，那么这个数叫a的算术平方根，记作（a≥0）． 2．（3分）（2012•宜昌）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ） A．B． C． D． 考点： 轴对称图形． 分析： 据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 解答： 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 点评： 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=40°，则∠BAD=（ ）

100° 80° A．B． 考点： 等腰三角形的性质． 50° C． 40° D．

分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答． 解答： 解：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠B=40°， ∴∠BAD=90°﹣40°=50°． 故选C． 点评： 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4．（3分）若点A （m，﹣4）与点B（3，n）关于x轴对称，则（ ） A．m=﹣3，n=﹣4 B． m=3，n=4 C． m=﹣4，n=﹣3 D． m=4，n=3 考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标． 分析： 根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 解答： 解：∵点A （m，﹣4）与点B（3，n）关于x轴对称， ∴m=3，n=﹣（﹣4）， 即m=3，n=4． 故选B． 点评： 本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟记关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 5．（3分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）

SSS SAS AAS ASA A．B． C． D． 考点： 全等三角形的应用． 分析： 根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 解答： 解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选D． 点评： 本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 6．（3分）（2012•义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A．2与3之间 B． 3与4之间 C． 4与5之间 D． 5与6之间 考点： 估算无理数的大小；算术平方根． 专题： 探究型． 分析： 先根据正方形的面积是15计算出其边长，在估算出该数的大小即可． 解答： 解：∵一个正方形的面积是15， ∴该正方形的边长为， ∵9＜15＜16， ∴3＜＜4． 故选B． 点评： 本题考查的是估算无理数的大小及正方形的性质，根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键． 7．（3分）等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其它两边长分别为（ ）

A．4cm，10cm B． 7cm，7cm 4cm，10cm或7cm，7cm C．D． 无法确定 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析： 由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 解答： 解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4=10， ∵4+4=8＜10， ∴这样的三边不能构成三角形． 当底为4时，腰为（18﹣4）÷2=7， ∵0＜7＜7+4=11， ∴以4，7，7为边能构成三角形． 故选B． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 8．（3分）如图所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，则∠EDC的度数为（ ）

10° 15° 20° A．B． C． D．3 0° 考点： 等腰三角形的性质． 专题： 探究型． 分析： 先根据△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC求出∠B、∠DAE的度数，再根据AD=AE可得出∠AED的度数，由三角形内角和定理求出∠ADC的度数，进而可得出结论． 解答： 解：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C==45°， ∵△ABD中，∠B=45°，∠BAD=30°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°， ∵∠BAC=90°，∠BAD=30°， ∴∠DAC=90°﹣30°=60°， ∵AD=AE， ∴∠DAE=∠DEA=60°， ∴∠ADE=180°﹣∠DAE﹣∠DEA=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣60°=15°． 故选B． 点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时要注意三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识的具体运用． 9．（3分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，FD=4，AF=2，则线段BC的长度为（ ）

6 A．

8 B．

10 C．

12 D．

考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 根据高利用角的关系求出∠DBF=∠DAC，根据∠ABC=45°，AD是三角形的高求出∠BAD=45°，然后根据等角对等边的性质得到AD=BD，然后利用角边角证明△ACD与△BFD全等，根据全等三角形对应边相等求出CD的长度，再求出AD的长度，然后即可得解． 解答： 解：∵AD、BE是三角形的高， ∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴∠DBF=∠DAC， ∵∠ABC=45°，AD是三角形是高， ∴∠BAD=45°， ∴∠ABC=∠BAD， ∴AD=BD． 在△ACD与△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴CD=FD， ∵FD=4，AF=2， ∴CD=4， BD=AD=FD+AF=4+2=6， ∴BC=6+4=10． 故选C． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用好直角的关系找出相等的角，从而得到三角形全等的条件是解题的关键． 10．（3分）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，则图2、图3中以格点为顶点的等腰直角三角形分别有（ ）

A．8个和16个 B． 8个和24个 C． 10个和24个 D． 10个和28个 考点： 规律型：图形的变化类；等腰直角三角形． 分析： 先根据图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，再找出图2中等腰直角三角形的个数与图1中等腰直角三角形个数的关系，最后根据图3中等腰直角三角形的个数与图2中等腰直角三角形个数的关系，即可求出答案． 解答： 解：图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个， ∵图2中每个正方形都有4个边长为1的等腰直角三角形，还有2个直角边长为斜边为2的等腰直角三角形， ∴图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有4×2+2=10个； ∵图3中每个小正方形都有4个边长为1的等腰直角三角形，是4×4个等腰直角三角形，而相邻的两个小正方形都有2个直角边为的等腰直角三角形是2×4个等腰直角三角形，再加上4个直角边长为2的等腰直角三角形， ∴图3中以格点为顶点的等腰直角三角形4×4+2×4+4=28个； 故选D．

点评： 此题考查了图形的变化类，关键是能利用前边图形的结论找到后边图形中以格点为顶点的等腰直角三角形的个数． 11．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若S四边形面积=9，则AB的长为（ ）

3 6 9 18 A．B． C． D． 考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质． 分析： 首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，所以四边形的面积是三角形ABC的一半，利用三角形的面积公式即可求出AB的长． 解答： 解：连接BD， ∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点， ∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， ∴∠ABD=∠C， 又∵DE丄DF， ∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF， ∴∠FDC=∠EDB， 在△EDB与△FDC中， ∵， ∴△EDB≌△FDC（ASA）， ∴S四边形面积=S△BDC=S△ABC=9， ∴AB=18， ∴AB=6， 故选B． 2 点评： 此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，证明四边形的面积是大三角形的面积一半． 12．（3分）如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④

=1．其中正确的是（ ）

①②③ ①②④ ①③④ ①②③④ A．B． C． D． 考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 分析： ①根据：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°，从而得证结论正确； ②根据CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论； ③根据∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性质和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出结论； ④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=CM=AC=BC，从而得出CN=BN．然后即可得出结论． 解答： 解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°， ∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°， ∴∠ECA=165°∴①正确； ②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证）， ∴∠BAE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=BC，∴②正确； ③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC， ∴∠CAB=∠ACB=45° ∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBE=30°， ∴∠ABF=45+30=75°， ∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°， ∴AD⊥BE． ④证明：如图， 过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N． ∵∠CAD=30°，且DM=AC， ∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°， ∴∠NCD=90°﹣∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°， ∴△CMD≌△CND， ∴CN=CM=AC=BC， ∴CN=BN． ∵DN⊥BC， ∴BD=CD．∴④正确． 所以4个结论都正确． 故选D．

点评： 此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题． 二、填一填（每题3分，共12分） 13．（3分）请你写出一个比小的无理数，这个无理数可为： （答案不唯一） ． 考点： 实数大小比较． 专题： 开放型． 分析： 估算出的取值范围，在其取值范围内写出符合条件的无理数即可． 解答： 解：∵≈1.73，≈1.41， ∴符合条件的无理数可以． 故答案为：（答案不唯一）． 点评： 本题考查的是实数的大小比较，先估算出的取值是解答此题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是 DF=DE ．（不添加辅助线）

考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 由已知可证BD=CD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）； 解答： 解：添加的条件是：DF=DE（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）． 理由如下： ∵点D是BC的中点， ∴BD=CD． 在△BDF和△CDE中， ∵， ∴△BDF≌△CDE（SAS）． 故答案可以是：DF=DE． 点评： 考查了三角形全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么

条件，再去证什么条件． 15．（3分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．若DE=acm，BD=bcm（a＞b），则CD= a﹣b cm．

考点： 含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析： 在DE上截取DF=CD，先求出∠DAB=∠DBA=30°，根据等角对等边的性质可得AD=BD，再利用“边角边”证明△ACD和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACD=∠BCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CDE=60°，从而判定出△CDF是等边三角形，再求出∠ECF=∠ACD=45°，利用“边角边”证明△ACD和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=EF，然后求解即可． 解答： 解：如图，在DE上截取DF=CD， ∵∠CAD=∠CBD=15°，等腰直角△ABC中AC=BC， ∴∠DAB=∠DBA=45°﹣15°=30°， ∴AD=BD， 在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（SAS）， ∴∠ACD=∠BCD=×90°=45°， ∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴∠ECF=180°﹣15°×2﹣45°﹣60°=45°， ∴∠ECF=∠ACD， 在△ACD和△ECF中，∴△ACD≌△ECF（SAS）， ∴EF=AD， ∵DE=acm，BD=bcm， ∴CD=DF=DE﹣AD=a﹣b． 故答案为：a﹣b． ， ， 点评： 本题考查了等角对等边的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，难度较大，作辅助线构造出等边三角形与全等三角形是解题的关键． 16．（3分）（2012•丽水）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 50° ．

考点： 翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC=40°，以及∠OBC=∠OCB=40°，再利用翻折变换的性质得出EO=EC，∠CEF=∠FEO，进而求出即可． 解答： 解：连接BO， ∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O， ∴∠OAB=∠ABO=25°， ∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∴∠OBC=65°﹣25°=40°， ∵， ∴△ABO≌△ACO， ∴BO=CO， ∴∠OBC=∠OCB=40°， ∵点C沿EF折叠后与点O重合， ∴EO=EC，∠CEF=∠FEO， ∴∠CEF=∠FEO=故答案为：50°． =50°， 点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键． 三、解下列各题（本大题有9小题，共72分） 17．（6分）计算：|﹣

|﹣（

）

考点： 实数的运算． 专题： 计算题． 分析： 先去括号、去绝对值符号，再合并同类项即可． 解答： 解：原式=﹣+ =． 点评： 本题考查的是二次根式的加减，熟知二次根式的加减法则是解答此题的关键．

18．（6分）（2012•北京）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD． 求证：BC=ED．

考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再有条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED． 解答： 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ECD， 在△BAC和△ECD中， ∴△BAC≌△ECD（SAS）， ∴CB=ED． 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 19．（6分）如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：△COD是等腰三角形．

考点： 等腰三角形的判定． 专题： 证明题． 分析： 根据OA=OB得，△OAB是等腰三角形；根据AB∥DC，得出对应角相等，求得△COD是等腰三角形，证明最后结果． 解答： 证明：∵OA=OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∴∠A=∠B， 又∵AB∥DC， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠C=∠D， ∴△COD是等腰三角形． 点评： 本题主要考查了等腰三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 20．（7分）如果a的平方等于9（a＜0），试求 考点： 实数的运算． 专题： 计算题． ﹣的值．

分析： 先根据a的平方等于9（a＜0）求出a的值，再把a的值代入所求代数式进行计算即可． 解答： 解：∵a的平方等于9（a＜0）， ∴a=﹣3， ∴原式=﹣=﹣3﹣2=-5． 点评： 本题考查的是实数的运算，熟知实数的运算法则是解答此题的关键． 21．（7分）（2012•乐山）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应） （2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．

考点： 作图-轴对称变换． 专题： 压轴题． 分析： （1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．做BM⊥直线l于点M，并延长到B1，使B1M=BM，同法得到A，C的对应点A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形； （2）由图得四边形BB1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可． 解答： 解（1）如图，△A1B1C1 是△ABC关于直线l的对称图形． （2）由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4． ∴S四边形BB1C1C===12． ， 点评： 此题主要考查了作轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：

①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 22．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=∠ACB． （1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若D为AB的中点，P为CD上的点，Q为PC的中点，且PE⊥AC于点E，QF⊥BC于点F，试求方根．

的立

考点： 等边三角形的判定与性质；立方根；含30度角的直角三角形． 分析： （1）根据等边对等角的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据三个角相等的三角形是等边三角形证明即可； （2）先求出∠ACD=∠BCD=30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出PE、QF，然后根据点Q是PC的中点求出可得PC=2CQ，求出解答： （1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠A=∠ACB， ∴∠A=∠ACB=∠ABC， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：∵D为AB的中点， ∴∠ACD=∠BCD=×60°=30°， ∵PE⊥AC，QF⊥BC， ∴PE=PC，QF=CQ， ∵Q为PC的中点， ∴CQ=PC， ∴PE=2QF， ∴∴==8， 的值，再利用立方根的定答即可． 的立方根是2． 点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，立方根的定义，比较简单，熟记性质与定义是解题的关键． 23．（10分）在等边△ABC中，点E在线段AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC． （1）当点E为线段AB的中点时，试求

的值；

（2）当点E不是线段AB的中点时，

的值是否发生变化？为什么？

考点： 等边三角形的性质；算术平方根；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形． 分析： （1）过点E作EF⊥BC于F，设等边三角形的边长为2a，根据等边三角形的性质求出AE，BE的长，再求出∠D=∠BED，根据等角对等边的性质可得BD=BE，然后代入求解，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）过点E作EF⊥BC于F，设BD=x，等边三角形的边长为2a，再根据等腰三角形三线合一的性质表示出CF，然后求出BF，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE的长度，从而得到AE的长度，然后代入求解，再根据算术平方根的定答即可． 解答： 解：（1）过点E作EF⊥BC于F，设等边三角形的边长为2a， ∵点E为线段AB的中点， ∴AE=BE=×2a=a，∠BCE=30°， ∵ED=EC， ∴∠D=∠BCE=30°， ∴∠BED=∠ABC﹣∠D=60°﹣30°=30°， ∴BD=BE=a， ==； （2）不变．理由如下： 过点E作EF⊥BC于F，设BD=x，等边三角形的边长为2a， ∵ED=EC， ∴CF=CD=（2a+x）， ∴BF=BC﹣CF=2a﹣（2a+x）=a﹣x， 在Rt△BEF中，BE=2BF=2a﹣x， ∴AE=AB﹣BE=2a﹣（2a﹣x）=x， ∴==． 点评： 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，算术平方根的定义，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并准确识图，作出辅助线是解题的关键． 24．（10分）（2012•岳阳）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．

（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究：

Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．

Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD； （2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD； （3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB； Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′． 解答： 解：（1）AF=BD； 证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知）， ∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）； 同理知，DC=CF，∠DCF=60°； ∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣∠DCA，即∠BCD=∠ACF； 在△BCD和△ACF中， ， ∴△BCD≌△ACF（SAS）， ∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）； （2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立； （3）Ⅰ．AF+BF′=AB； 证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF； 同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD， ∴AF+BF′=BD+AD=AB； Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′； 证明如下：在△BCF′和△ACD中，

， ∴△BCF′≌△ACD（SAS）， ∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）； 又由（2）知，AF=BD； ∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60°． 25．（12分）如图：平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标为A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a，b，c满足

．点D为线段OA上一动点，连接CD．

（1）判断△ABC的形状并说明理由；

（2）如图，过点D作CD的垂线，过点B作BC的垂线，两垂线交于点G，作GH⊥AB于H，求证：

；

（3）如图，若点D到CA、CO的距离相等，E为AO的中点，且EF∥CD交y轴于点F，交CA于M．求的值．

考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；角平分线的性质；等腰直角三角形． 分析： （1）根据非负数的性质建立一个方程组，求出其解就可以得出A、B、C的坐标，从而可以求出OA、OB、OC的值，由勾股定理的逆定理就可以求出△ABC的形状． （2）由条件可以得出∠DCO=∠GDH，就有tan∠DCO=tan∠GDH，设OD=b，BH=a，则HO=2﹣a，根据，就可以求出a、b的关系从而得出OC=DH，最后根据三角形的面积公式就可以求出结论． （3）过点D作DG⊥AC于G，设DO=x，在Rt△AGD中由勾股定理可以得出x=2AD、ED的值，再由相似三角形的性质就可以得出CF、AM的值，从而可以求出解答： 解：（1）∵

﹣2，进而可以求出的值． ，

∴， ∴． ∵A（a，0），B（b，0），C（0，c）， ∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）， ∴AO=2，BO=2，CO=2， ∴AB=4， ∴AB=16 在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理可以得出 22AC=8，BC=8， 22∴AC=BC，AC+BC=16， 222∴AB=AC+BC， ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）∵GD⊥CD，GB⊥BC，GH⊥AB， ∴∠CDG=∠CBG=∠GHD=90°． ∴∠CDO+∠GDO=∠CDO+∠DCO=90°， ∴∠DCO=∠GDH， ∴tan∠DCO=tan∠GDH． 设OD=b，BH=a，则HO=2﹣a， ∵tan∠DCO=，tan∠GDH=∴=22． ， ∴b+（2﹣a）b﹣2a=0 ∴（b﹣a）（b+2）=0， ∴b=a，b=﹣2 ∵b＞0 ∴b=﹣2（不符合题意，舍去）， ∴b=a， ∴DH=2﹣a+a=2， ∴DH=CO． ∵S△CAD=，S△GHD=， ∴， ∴∵DH=CO， ，

∴； （3）如图2，过点D作DG⊥AC于G， ∴∠AGD=90°， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠GAD=45°， ∴∠ADG=45°， ∴∠GAD=∠ADG， ∴AG=GD． ∵DG=DO， ∴OD=GD=AG． 设DO=x，AD=2﹣x，在Rt△AGD中，由勾股定理，得 222AD=AG+GD， 222（2﹣x）=x+x， x=2﹣2． ∴DO=2﹣2 ∵E为AO的中点， ∴AE=EO=1， ∴ED=3﹣2，AD=4﹣2． ∵DC∥EF， ∴，， ∴∴FC=∴，﹣1，AM==+1， =． ， 答：的值是． 点评： 本题考查了非负数的性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正切值的判定及运用，平行线分线段成比例定理的运用，解答本题时注意三个问题是递进关系，必须逐一解决，利用全等三角形的性质是解答第二问的关键，利用平行线分线段成比例定理是求出线段长短的关键．