高一数学必修2同步练习-第二章章末检测

章末检测

一、选择题

1．下列推理错误的是

( )

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈l，l⊂α⇒A∈α

2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于 A．30°

B．45°

C．60°

3．下列命题正确的是

( ) ( )

D．90°

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则

( )

A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上 C．P一定在直线AC或BD上

D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上 5．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 A．①和②

( )

B．②和③

C．③和④

D．②和④

( )

6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 A．AB∥m

B．AC⊥m

C．AB∥β

D．AC⊥β

7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有

( )

A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面

8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( ) A．AC

B．BD

C．A1D

D．A1D1

8题图 9题图 60°，那么这个二面角大小是 A．90°

9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝

( ) ( )

B．60°

C．45°

D．30°

10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是

A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1所成的角为60°

10题图 11题图

15 C.

5

11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D

所成角的正弦值为

626A. B. 35与平面BED的距离为 A．2 二、填空题

13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，

β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.

14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则

a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α. 其中正确命题的序号是________．

15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________

时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．

B.3

10 D. 5

( )

12．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1

( )

C.2

D．1

15题图 16题图

16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，

使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________． 三、解答题

17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平

面A1BC1的位置关系，为什么？

18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面

BCE.

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已

知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求： (1)三角形PCD的面积；

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．

20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面

ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

(1)求证：PA∥面BDE； (2)求证：平面PAC⊥平面BDE；

(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，

AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC. (1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

答案

1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D 13．9 14．④

15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 16．a>6

17．解 直线MN∥平面A1BC1，M为AB的中点，证明如下：

∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1. ∴MN⊄平面A1BC1.

如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.

11

∵NO1綊D1C1，MB綊D1C1，

22∴NO1綊MB.

∴四边形NO1BM为平行四边形． ∴MN∥BO1.

又∵BO1⊂平面A1BC1， ∴MN∥平面A1BC1.

18．证明 如图所示，连接AN，延长交BE的延长线于P，连接CP.

∵BE∥AF， FNAN∴＝， NBNP

由AC＝BF，AM＝FN得MC＝NB. FNAM∴＝. NBMCAMAN∴＝， MCNP∴MN∥PC，又PC⊂平面BCE. ∴MN∥平面BCE.

19．解 (1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD. 因为PD＝22＋222＝23，CD＝2，

1

所以三角形PCD的面积为×2×23＝23.

2

(2)如图，取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．

在△AEF中，由EF＝2，AF＝2，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形， 所以∠AEF＝45°.

因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°. 20．(1)证明 连接OE，如图所示．

∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA. ∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE， ∴PA∥面BDE.

(2)证明 ∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD. 在正方形ABCD中，BD⊥AC， 又∵PO∩AC＝O， ∴BD⊥面PAC. 又∵BD⊂面BDE， ∴面PAC⊥面BDE.

(3)解 取OC中点F，连接EF. ∵E为PC中点，

∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO. 又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD. ∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.

∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.

1126

在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，

244126∴OP＝2EF＝a.

6166

∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.

361821．(1)证明 因为底面ABCD为菱形， 所以BD⊥AC.

又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

如图，设AC∩BD＝F，连接EF.

因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，

23故PC＝23，EC＝，FC＝2，

3

PC

从而＝6，

FCAC

＝6. EC

PCAC

因为＝，∠FCE＝∠PCA，

FCEC

所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF. 因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直， 所以PC⊥平面BED.

(2)解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°， 所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直， 故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB， 所以底面ABCD为正方形，AD＝2， PD＝PA2＋AD2＝22. 设D到平面PBC的距离为d.

因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2. 设PD与平面PBC所成的角为α，

d1

则sin α＝＝.

PD2所以PD与平面PBC所成的角为30°.