小升初数学第二讲

有理数

一、我们学过的数

1、“一个数如果不是正数，那么一定是负数”这句话对不对？为什么？

不对。因为零既不是正数，也不是负数，所以，如果不是正数，就是负数或零。 2、引入负数后，我们学过的数有哪些？ 正整数，如1，2，3，„； 零，0；

负整数，如－1，－2，－3，„；

正分数，如1/2,2/3,15/7,0.1,5.32,„;

负分数，如－0.5，－5/2,-2/3,-1/7,-15，0.25,„. 0.1，－0.5，5.32，－15，0.25等为什么被列为分数？ 因为0.1，－0.5，5.32，－150.25都可以化为分数。

我们学过的小数（除以外）即有限小数和无限循环小数都是分数。 所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合，所有的分数组成分数集合„„，也就是把一些数放在一起就组成了一个数的集合。 二、有理数及分类

1、有理数的概念：

正整数、0、负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数。 整数和分数统称为有理数。 2、有理数的分类：

（1）按定义有理数可以怎样分类？

正整数 整数0

负整数有理数 （2）按符号正分数有理数可以怎样分类？ 分数 正整数负分数正有理数

正分数 有理数0

负整数 负有理数 负分数

对概念进行分类，可以明了概念之间的关系，有利于我们进一步理解概念。分类必须按同一标准进行，做到不重复不遗漏。

三、例题

[投影2]例 把下列各数填入表示它所在的数集的圈里。

·－17，22/7, -3/5，3,0.107, －63% － 0.2 ，0.

„ „ „ „

分数集合 整数集合 正数集合 负数集合

· 答：正数集合中有22/7,3,0.107；负数集合中有－17 ,-3/5, －－0.263%，整

·

数集合中有－17，3，0；分数集合中有22/7,0.107,-3/5, －0.2.

四、巩固练习 1、填空：（1）有理数中，是整数而不是正数的是 ；是负数而不是整数的是 . （2）零是 还是 ；但不是 ，也不是 .

2、把下列各数放在相应的集合中。

10，-0。72，-2，0，-98，25，8/3，6。3%，3.14.

„ „

负数集合 整数集合 五、课堂小结 六、随堂练习

一、双基回顾

1、正数、负数及0的意义

由于生产和生活的需要产生了数——正数、负数和0。

（1）大于 的数叫做正数，正数前面的“＋”号通常省略不写。 （2）在正数前面加上 的数叫做负数。

（3）0既不是 ，也不是 ；0除表示“没有”外，还表示 ，如海平面的海拔高度为0。

〔注〕正数和负数都是由符号和绝对值（符号后面的部分）组成的. 〔1〕某食品包装上标有“净含量385±5克”，这袋食品的合格率含量范围是 克至 克。

〔2〕已知数：－7，2.1，0，－1/3，13中，正数有 ；负数有 ；不是负数的数是 ；不是正数的数是 .

〔注〕不是负数的数叫非负数；不是正数的数叫非正数。 2、用正负数表示具有相反意义的量

正负数用来表示具有相反意义的量，如＋2元表示股票上升2元，－3元表示 。

在一个数的前面加上“－”号，所得的数表示的意义与原数表示的意义 。 〔3〕下列说法中错误的是 .

①零上6℃的相反意义只有零下6℃；②收入和支出是一对相反意义的量；③运出5吨与收入5元是一对具有相反意义的量。

〔注〕相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，二是它们都具有数量，而且必须是同类量。

〔4〕如果零上5℃记作＋5℃，那么零下5℃记作〔 〕

A、－5 B、－10 C、－10℃ D、－5℃ 〔注〕在实际问题的解答中要注意相应量的单位。 3、有理数及其相关概念

（1） 统称为整数； （2） 统称为分数； （3） 统称为有理数。 〔注〕因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数和无限循环小数也都是有理数。

4、有理数的分类 （1）按定义分： （2）按符号分：

〔注〕分

－－－－－－类要按同一个－－－－－－－标准，做到不－－－－有理数－－有理数重复不遗漏。 －－－ －－－－－－－－－－－－ －－－－－－

三、练习提高

夯实基础

1、若存款为正，某含蓄所在1小时内接待了4笔业务：存款2000元，取款1200元，存款400元，取款800元，用正数、负数分别表示为

2、下列说法：①零的意义仅仅是表示没有；②0是最小的正整数；③0既不是正数，也不是负数；④0是偶数，也是自然数.其中正确的是〔 〕

A、①③④ B、①②③④ C、③④ D、②④ 3、下列各组量中，具有相反意义的量是〔 〕 A、蚂蚁向上爬30厘米与向右爬30厘米 B、收入人民币4元与归还图书馆4本书

C、向北走与向南走 D、弹簧伸长3厘米与缩短2厘米 4、如果节约16度电记作＋16，那么浪费6度电记作 度. 5、如果盈利350元记作＋350元，那么－80元表示 . 6、如果水位下降3米记作－3米，那么水位上升4米记作〔 〕 A、1米 B、7米 C、＋4米 D、－7米

7、如果－4米表示一个物体向西运到4米，那么＋2米表示 ，物体原地不动记为 .

8、下列说法中错误的是〔 〕

A、正整数一定是自然数 B、自然数一定是正整数 C、0既是整数，也是有理数 D、小数也是分数

9、－7所在的数集有 （写出三个数集的名称）. 10、按某种规律在横线上填上适当的数：－23，－18，－13， . 11、、10盒火柴如果以每盒100根为准，超过的根数记作正数，不足的根数记作负数，每盒数据记录如下：＋3，＋2，0，－1，－2，－3，－2，＋3，－2，－2.求这10盒火柴共有多少根？

数 轴

一、数轴的概念

像这样规定了原点、方向和单位长度的直线叫做数轴。 原点、方向和单位长度称为数轴的“三要素”。 ．．．．．．．．．．

注意：单位长度的大小可以根据需要任意规定，但同一数轴上的单位长度必须一致。

二、在数轴上表示数

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。那么怎样把一个数用数轴上的点表示呢？ 从上面的讨论中，我们知道，把一个数用数轴上的点表示，先由符号决定这个数在原点的左边，还是右边，再由绝对值决定它离原点的距离，例如表示3.5，由它的符号为“＋”，可知这个数在原点的右边，由它的绝对值是3.5，可知距原点3.5个单位；又如表示－7/3，由它的符号为“－”，可知这个数在原点的左边，由它的绝对值是7/3,可知这个数离原点的7/3个单位。如图：

3.5 －7/3 · · －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 三、课堂练习

下面各图是不是数轴？为什么？ －2 －1 0 1 2

－1 －2 0 1 2 ① ②

－2 －1 0 1 2 －2 －1 0 1 2 ③ ④

相反数

一、相反数的概念

1、相反数的概念

像3与－3，6和－6，21和－21, 41和－413这样，符号相反，绝对值相等的两个数223叫做互为相反数。就是说，3是－3的相反数，－3是3的相反数，是－21的相反数，21－21222是21的相反数。 2一般地，a和－a互为相反数。 特别地，0的相反数是0。 2、相反数的几何意义

这就是说，数轴上表示相反数的两个点在原点的左右且到原点的距离相等。 二、双重符号的化简

同号得正，异号得负。

练习：指出下列各对数，哪些是相等的数？哪些是互为相反数？

＋（－3）与－3，－（＋3）与3，－（－21）与－21 77

绝对值（一）

一、绝对值的概念 1、绝对值的概念

这就是说，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作︱a︱。(这是几何角度来定义绝对值，所以也叫绝对值的几何定义)

例如2.5的绝对值记作︱2.5︱，－3的绝对值记作︱－3︱，0的绝对值记作︱0︱，且有

︱2.5︱＝2.5，︱－3︱＝3，︱0︱＝0. 2、绝对值的实际意义

两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处(图1.2-5)。 它们的行驶路线相同吗？它们行驶路程的远近(线段OA、OB的长度)相同吗？

A B 10 0 －10

答：它们行驶的路线不同，一个向西行驶，一个向东行驶；它们行驶路程就是数10和－10离O点的距离，即10和－10的绝对值，而︱10︱＝︱－10︱，所以它们行驶的路程远近相同.

〔

二、绝对值的代数意义

例1 求下列各数的绝对值。

－19，0，－2.3，＋0.56，－6，＋6， .

解：－19的绝对值是19，即｜－19｜＝19；0的绝对值是0，即｜0｜＝0；

－2.3的绝对值是2.3，即｜－2.3｜＝2.3；＋0.56的绝对值是0.56，即|＋0.56|＝0.56；－6的绝对值是6，即|－6|＝6；＋6的绝对值是6，即｜＋6｜＝6.

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 如果用a表示任意一个有理数，则

(a0)a(1)当a是正数时，｜a｜＝____；

(2)当a是负数时，｜a｜＝ ； 或 |a|a(a0)0(3)当a=0时，｜a｜＝ 。 (a0)三、课堂练习 回答下列问题：

（1）任何一个有理数都有绝对值吗？一个数的绝对值有几个？

（2）有没有一个数的绝对值等于－2？一个数的绝对值一定是什么数？ （3）绝对值等于2的数是什么？

绝对值（二）

一、比较有理数大小 1、利用数轴

数轴上的点表示的数左边的小于右边的。 例1 比较有理数-2.5,0,6/5,-1的大小。 解：首先在数轴上表示： －2.5 －1 0 6/5 · · · ·－3－2－1 0 1 2

再按数轴上的顺序写出大小关系：－2.5＜－1＜0＜5/6. 2、利用绝对值

我们知道，数轴的原点表示0，右边表示正数，左边表示负数。由上面的结论，容易知道：

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 例如,1 0，0 -1，1 -1，-1 -2。

我们已经会比较两个正数的大小，又知道正数大于负数，那么两个负数怎样比较大小呢？负数都在数轴的左边，两个负数绝对值大的离原点远，也就是说：

（2）两个负数，绝对值大的反而小。 例2 比较下列各数的大小： （1）-（-1）和-（+2）；（2）-8/21和-3/7；（3）-（-0.3）和︱-1/3︱. 解:(1) 化简符号，得 -（-1）=1,-（+2）=-2 因为正数大于负数, 所以1＞-2,即

-（-1）＞-（+2）.

(2) 先比较绝对值的大小:︱-8/21︱=8/21, ︱-3/7︱=3/7=9/21 因为 8/21＜9/21即

︱-8/21︱＜︱-3/7︱因为两个负数，绝对值大的反而小， 所以 -8/21＜-3/7.

(3)化简符号，得 -（-0.3）=0.3, ︱-1/3︱=1/3. 因为0.3＜1/3 ,

所以 -（-0.3）＜︱-1/3︱.

课堂练习

一、例题导引

例1 （1）在数轴上表示下列各数：－1，0，1.5，－4，3，－2.7. （2）如图，指出数轴上A、B、C、D各点分别表示什么数。

C D A B · · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5

例2 判断下列说法是否正确： ① 只有正数的绝对值等于它本身；（ ） ② 绝对值相等的两个数一定相等；（ ）

③ 互为相反数的两个数的绝对值相等；（ ） ④任何有理数绝对值一定不是负数。（ ）

例3 一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬行4个单位长度到达A点，又向右爬行2个单位长度到达B点，然后再向左爬行7个单位长度到达C点三点分别表示什么数？蚂蚁离开原点最远的距离是多少？

例4 用所学的绝对值的有关知识解答下列问题。

某工厂生产一批螺帽，根据产品质量要求：螺帽内径可以有0.02毫米误差，抽查5只螺帽。超过规定内径的毫米记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表：

1 ＋0.019 2 3 4 5 －0.017 ＋0.013 －0.021 ＋0.023 （1）指出哪些产品是合乎要求的？

（2）指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？ 二、练习提高

1、数轴上原点及原点右边的点表示的数是〔 〕

A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数

2、数轴上表示3的点是〔 〕

14A B C D －4 －3 －2 －1 0 1 A、A点 B、B点 C、C点 D、D点

3、下列四个数中，在－2到0之间的数是〔 〕

A、－1 B、1 C、－3 D、3

4、数轴上表示－1/3的点到原点的距离是〔 〕

A、－1/3 B、1/3 C、－3 D、3

5、－5的相反数是 ，－︱－2︱的相反数是 . 6、各对数中，互为相反的数的是〔 〕

A、－1/5和0.5 B、－1/3和0.3333 C、5/4和－1.25 D、和3.14

7、如果一个数的相反数是最小的正整数，则这个数是 8、下列说法错误的是〔 〕

A、正数和零的绝对值是它本身 B、负数和零的绝对值是它的相反数 C、任何有理数的绝对值一定不是负数 D、负数没有绝对值

9、绝对值最小的数是 .

10、数轴上到1的距离等于2的数是 . 11、在数轴上表示下列各数：

①－︱－2.5︱，② 0，③－5/2的相反数，④最大的负整数。

12、甲、乙两人同时出发，相背而行，甲向东走15米，乙向西走10米，你能在数轴上表示他们的位置吗？再表示他们之间的距离。

行程问题应用题专题

一、第一层练习（只列式，不计算）

1、两辆汽车同时从甲乙两地相向而行，其中客车每小时行40千米，吉普车每小时行60千米，15小时后两车在中途相遇，甲乙两地相距多少千米？

2、甲乙两地相距1500千米，两辆汽车同时从两地相向而行，其中客车每小时行40千米，吉普车每小时行60千米，几小时后两车在中途相遇？

3、两辆汽车同时从相距1500千米的甲乙两地相向而行，15小时后两车在途中相遇，已知其中一辆吉普车每小时行60千米，那么另一辆客车每小时行多少千米？

4、两辆汽车同时从甲乙两地相向而行，其中客车每小时行40千米，吉普车每小时行60千米，相遇时吉普车比客车多行300千米，此时离出发已过几小时？

二、第二层练习

1、甲乙两地相距1500千米，两辆汽车同时从两地相向而行，其中吉普车每小时行60千米，是另一辆客车的1.5倍，几小时后两车能在中途相遇？

2、甲乙两地相距1500千米，一辆吉普车从甲地出发，每小时行60千米，当它行了100千米后一辆客车才以每小时40千米的速度从乙地相向而行，几小时后两车能在中途相遇？此时吉普车行了几千米？

三、第三层练习

1、甲乙两地相距1500千米，两辆车从两地同时相向而行，客车每小时行40千米，吉普车每小时行60千米，出发后不久客车因故抛锚，维修花去了0.5小时，然后继续前行，两车相遇时客车行了多少千米？

2、一辆吉普车从甲地出发，当它行了900千米时与从乙地同时出发相向而行的一辆客车相遇了，此时离甲乙两地中点已有150千米，已知客车每小时行40千米，求相遇时吉普车行

了几小时？甲乙两地相距多少千米？

四、提高练习（选做）

1、一辆客车从甲地出发开往乙地，一辆吉普车从乙地同时相向而行开往甲地，两车在途中相遇时，客车行了180千米，相遇后两车继续前进，到达目的地后即返回，在离乙地140千米处两车第二次相遇，求甲乙两地距离。（提示：两次相遇，两车行的总路程相当于几个全程？）

课后习题

一、1．若向北走20m记作＋20m。那么向南走10m记作________，－25m的意思是____________，原地不动记作_______________．

2．本地区夏天的最高温度是零上39℃．冬天的最低温度是零下7℃，它们分别记作__________,_____________．

3．吐鲁番盆地的海拔高度为－155m的意义是__________.

4．如果支出200元记作－200元，那么收入－200元的意义是___________；收入1000元记作_____________.

5．甲、乙两人同时从A地出发．如果甲向东走48m记作＋48m，则乙向西走32m记为__________m，这时甲、乙两人相距_____________m．

6．A、B两冷库，A冷库的温度是－8℃，B冷库温度是－15℃，则两冷库中，_______冷库的温度较高，高________度。

二、1、数轴及数轴的三要素是（ ）。

在数轴上，原点及原点左边所表示的数是〔 〕

A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数

2、数轴上表示－5的点在原点（ ）侧，与原点的距离是（ ） .

3、相反数及几何意义

（ ）做互为相反数，规定0的相反数是（ ）。一般地，a的相反数是（ ）.

在数轴上，互为相反数的两个数在（ ） 且（ ） 。 数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是6，这两个数是〔 〕 A、0和6 B、0和－6 C、3和－3 D、6和－6

4、多重符号化简规律： 。 化简下列各数的符号： （1）－（＋1/2）＝ ，（2）－（－7/2）＝ ， （3）＋（－2/3）＝ ，（4）－〔＋（－5）〕＝ . 5、绝对值

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点（ ） 绝对值等于3的数是 （ ） . 6、绝对值的代数意义

正数的绝对值是（ ），负数的绝对值是 （ ），0的绝对值是（ ）。

7、︱－2.1︱＝（ ），－︱1/3︱＝（ ），＋（－3）的绝对值是（ ）.

三、1、两辆汽车同时从甲乙两地相向而行，其中客车每小时行40千米，吉普车每小时行60千米，两车在离中点150千米处相遇，从出发到相遇过了多长时间？

2、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？