新课标高考数学(文)一轮复习讲义(带详细解析)第一编 集合与常用逻辑用语

第一编 集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念及其基本运算

一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·海南，宁夏理，1)已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩∁NB等于( ) A．{1,5,7} B．{3,5,7} C．{1,3,9} D．{1,2,3} 解析 ∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，

∴∁NB＝{1,2,4,5,7,8，…}．∴A∩∁NB＝{1,5,7}． 答案 A 2．(2009·福建理，2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，则∁UA等于 ( )

A．{x|0≤x≤2} B．{x|02} D．{x|x≤0或x≥2} 解析 ∵x2－2x>0，∴x(x－2)>0， ∴x>2或x<0，∴A＝{x|x>2或x<0}，

∁UA＝{x|0≤x≤2}． 答案 A 3．(2010·泉州一模)已知集合A＝{x|－1∴M∩N＝{x|－34**

6．(2009·茂名一模)若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝y|y∈N，y∈N，则A∩B中元





素

的个数为( ) A．0

B．1 C．2 D．3

解析 A＝{x|0二、填空题(每小题6分，共18分)

7．(2010·湛江月考)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}， 则A∩B＝__________.

解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．但本题要注意列举法的规范书写． 答案 {(0,1)，(－1,2)} 8．(2009·天津文，13)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝ 0,1,2,3,4}，则集合B＝________.

解析 A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4} ＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}． 答案 {2,4,6,8} 9．(2009·北京文，14)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A， 那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有 集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．

解析 由题意知，不含“孤立元”的集合有：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}， {6,7,8}，共有6个集合． 答案 6三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·新乡阶段检测)已知全集为R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x≥a}，并 且M∁RP，求a的取值范围．

解 M＝{x||x|<2}＝{x|－211．(13分)(2009·南阳调研)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R， m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值； (2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围． 解 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}， B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

m－2＝0，

(1)∵A∩B＝[0,3]，∴ ∴m＝2.

m＋2≥3.

(2)∁RB＝{x|xm＋2}，∵A⊆∁RB，

∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.

12．(14分)(2010·揭阳模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集为A. (1)求集合A；

(2)设集合B＝{x||x＋4|0.

1

－，0. ∴解不等式f(x)＝ax2＋x<0，得集合A＝a(2)由B＝{x||x＋4|0，

1∴－a－4≥－a，a－4≤0，

解得0§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题(每小题7分，共42分)

1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析 原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 答案 B 2．(2009·浙江理，2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 当a>0且b>0时，一定有a＋b>0且ab>0.反之，当a＋b>0且ab>0时，一定有a>0， b>0.故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件． 答案 C 3．(2008·广东文，8)命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0” 的逆否命题是 ( ) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数 B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数 C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数 D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

解析 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝ logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数． 答案 A 4．(2010·衡阳四校联考)已知A＝{x||x－1|≥1，x∈R}，B＝{x|log2x>1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|x>2}，

x∈AD⇒/x∈B，但x∈B⇒x∈A. 答案 B 5．(2010·枣庄一模)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4， a>4D⇒/a>5，但a>5⇒a>4.

故“A⊆B”是“a>5”的必要不充分条件． 答案 B

π1

6．(2009·北京文，6)“α＝”是“cos 2α＝”的 ( )

62

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

π1ππ1π

－＝，这说明当解析 当α＝时，cos 2α＝cos＝；而当α＝－时，cos 2α＝cos326326

1ππ1

cos 2α＝时，α除外还可以取其他的值．所以“α＝”是“cos 2α＝”的充分而不必要

2662条件．

答案 A

二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·南平三模)若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________． 解析 x∉[2,5]且x∉{x|x<1或x>4}是真命题．

x<2或x>5，由得1≤x<2. 1≤x≤4答案 [1,2) 8．(2009·广州一模)设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件， 则实数a的取值范围是________．

1a≤，112

解析 p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，∴∴0≤a≤. 22

a＋1≥1.

1

0， 答案 29．(2009·江苏，12)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直； ④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．

解析 命题①是两个平面平行的判定定理，正确；命题②是直线与平面平行的判定定理， 正确；命题③中在α内可以作无数条直线与l垂直，但α与β只是相交关系，不一定垂直， 错误；命题④中直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直，但l与α内的两条直线垂直推不出直线l与α垂直，所以直线l与α垂直的必要不充分条件是l与α内两条直线垂直．

答案 ①②

三、解答题(共40分)

x＋2≥0，

10．(13分)(2010·济宁模拟)已知命题p：

x－10≤0，

命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解 p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m>0， ∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p⇒q且qD⇒/p. ∴[－2,10][1－m,1＋m]．

m>0，

∴1－m≤－2，1＋m≥10.

∴m≥9.

11．(13分)(2009·温州十校第一学期联考)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围． 解 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5. ∴綈p：x<1或x>5.q：m－1≤x≤m＋1， ∴綈q：xm＋1.

又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，

m－1≥1，∴ ∴2≤m≤4. m＋1≤5.

12．(14分)(2010·郑州联考)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解 (1)a＝0适合．

(2)a≠0时，显然方程没有零根． 若方程有两异号实根，则a<0； 若方程有两个负的实根，则

1

>0a

必有－2<0a

Δ＝4－4a≥0

2

，解得0综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1. 反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于x的方程ax＋2x＋1＝0至少有一负的实根的充要条件是a≤1.

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·福州月考)下列有关命题的说法正确的是 ( ) A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0” D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题

解析 A中，否命题应为若x2≠1，则x≠1；B中，x＝－1⇒x2－5x－6＝0，应为充分条件；C中，命题的否定应为∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0. 答案 D 2．(2009·济宁联考)下列命题：①∀x∈R，x2≥x；②∃x∈R，x2≥x；③4≥3；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠－1”中，其中正确命题的个数是 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析 ②③正确，故选C. 答案 C 3．(2008·广东理，6)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 ( )

A．(綈p)∨q B．p∧q C．(綈 p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q) 解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为

真命题． 答案 D 4．(2010·杭州七校联考)已知命题p：a2≥0 (a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是 ( ) A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨q 解析 p真，q假，∴p∨q为真，故选A. 答案 A 5．(2009·天津滨海新区五校联考)命题“存在x∈Z使x2＋2x＋m≤0”的否定是( ) A．存在x∈Z使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z使x2＋2x＋m>0 C．对任意x∈Z使x2＋2x＋m≤0 D．对任意x∈Z使x2＋2x＋m>0 解析 由定义知选D. 答案 D

1

6．(2010·临沂一模)已知命题p：∀x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：∃x∈R，sin x－cos x＝2.

2

则下列判断正确的是 ( ) A．p是真命题 B．q是假命题 C．綈p是假命题 D．綈 q是假命题

1

解析 2x2＋2x＋<0⇔(2x＋1)2<0，p为假；

2

π

x－≤2，故q为真． sin x－cos x＝2sin4∴綈q为假，故选D.

答案 D

二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·台州期末)若命题p：∀x∈R，x2－1>0，则命题p的否定是______________． 答案 ∃x∈R，x2－1≤0 8．(2009·嘉兴基础测试)已知命题p：∃x∈R，x3－x2＋1≤0，则命题綈p是________________．

32

答案 ∀x∈R，x－x＋1>0 9．(2010·广州一模)命题“∃x∈R，x≤1或x2>4”的否定是__________________． 解析 已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题． 答案 ∀x∈R，x>1且x2≤4 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·青岛模拟)已知p(x)：x2＋2x－m>0，且p(1)是假命题，p(2)是真命题，求实 数m的取值范围．

解 p(1)：3－m>0，即m<3.

p(2)：8－m>0，即m<8.

∵p(1)是假命题，p(2)是真命题， ∴3≤m<8.

11．(13分)(2010·常德调研)写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形 式的新命题，并判断其真假．

(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；

(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；

(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相 等．

解 (1)p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题．

(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题．

(3)p或q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题； p且q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；

非p：方程x2＋x－1＝0的两实数根符号不同，真命题． 12．(14分)(2010·合肥联考)已知两个命题r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对 ∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．

π

x＋≥－2， 解 ∵sin x＋cos x＝2sin4∴当r(x)是真命题时，m<－2.

又∵对∀x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，有Δ＝m2－4<0，∴－2当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2综上所述，m的取值范围是m≤－2或－2≤m<2.