指数函数对数函数专题讲解(附练习题)

指数函数、对数函数问题专题讲解

高考要求

指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮生掌握两种函数的概念、图像和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题

重难点归纳

(1)运用两种函数的图像和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟练掌握函数的图像和性质并能灵活应用

(2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力

(3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力

典型题例示范讲解

例1已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点

(1)证明 点C、D和原点O在同一条直线上； (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标

命题意图 本题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、

指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力

知识依托 (1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标

错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题

技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用

方程思想去求得点A的坐标

(1)证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,

由题意知 x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2

因为A、B在过点O的直线上， 所以

log8x1x1log8x2x2,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),

由于log2x1=

log8x1log82=3log8x1,log2x2log8x2log823log8x2,

所以OC的斜率 k1=

log2x1x2log3log8x1x1,

OD的斜率 k2=

2x2x23log8x2x2，

由此可知 k1=k2,即O、C、D在同一条直线上

第1页 共7页 高中专题讲解

(2)解 由BC平行于x轴知 log2x1=log8x2

即 log2x1=

13log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,

由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1

又x1>1,∴x1=3,则点A的坐标为(3，log83)

例2在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),„,Pn(an,bn)„,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(

a10)x(0构成一个以Pn为顶点的等腰三角形

(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；

(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设Cn=lg(bn)(n∈N),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由

*

命题意图 本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在

一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力

知识依托 指数函数、对数函数及数列、最值等知识

错解分析 考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的

突破口

技巧与方法 本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题

解 (1)由题意知 an=n+

12,∴bn=2000(

a10)

n12

(2)∵函数y=2000(

a10)x(0∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2

则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn, 即(

a10)2+(

a10)－1>0,

解得a<－5(1+2)或a>5(5－1) ∴5(5－1)(3)∵5(5－1)第2页 共7页 高中专题讲解

∴bn=2000(

710)

n12 数列{bn}是一个递减的正数数列，

对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1

于是当bn≥1时，Bn因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1, 由bn=2000(

710)

n12≥1得 n≤20 8 ∴n=20

1例3设f(x)=log21x,F(x)=

1x2x+f(x)

(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明 对任意的自然数n(n≥3),都有

f－1(n)>

nn1;

(3)若F(x)的反函数F－1(x),证明 方程F－1(x)=0有惟一解

解 (1)由

1x1x>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，

设－1＜x1＜x2＜1,则 F(x2)－F(x1)=(

12x212x1)+(log21x21x2log1x121x1)

x2x1(2x1)(2x2)log2(1x1)(1x2)(1x1)(1x2),

∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1

因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数

(2)证明 由y=f(x)=log21x1x得 2=

y

1x1x,x2121yy,

∴f(x)=

－1

2121xx,∵f(x)的值域为R，∴f-－1(x)的定义域为R

当n≥3时，数学驿站 www.maths168.com f(n)>

-1

nn12121nnnn11221n11n122n1

n用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略

第3页 共7页 高中专题讲解

(3)证明 ∵F(0)=

12,∴F(

－1

12)=0,∴x=

1212是F(x)=0的一个根

－1

假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0≠是F(0)=x0(x0≠学生巩固练习

),则F-1(x0)=0,于

12) 这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解

1 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( )

A g(x)=x,h(x)=lg(10+10+2)

x－x

B g(x)=

12x2［lg(10x+1)+x］,h(x)= ,h(x)=lg(10x+1)－

x2x

12［lg(10x+1)－x］

C g(x)=

x2

x2D g(x)=－

,h(x)=lg(10+1)+

2 当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图像只可能是( )

yo1yxAo1yyo1xBxCo1xD

2x (x0)3 已知函数f(x)= 则f-－1(x－1)=_________

log2(x) (2x0)4 如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩

余的水符合指数衰减曲线y1=ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae

－nt

y1=ae-nt桶1,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，

a则再过_________分钟桶1中的水只有8 5 设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点

y2=a-ae-nt桶2P(x,y)是函数y=f(x)图像上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图像上的点

(1)写出函数y=g(x)的解析式；

(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围

6 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断

12［f(x1)+f(x2)］与f(

x1x22)的大小，并加以证明

第4页 共7页 高中专题讲解

7 已知函数x,y满足x≥1,y≥1 logax+logay=loga(ax)+loga(ay)(a>0

2222

且a≠1),求loga(xy)的取值范围

8 设不等式2(log1x)2+9(log1x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数

22f(x)=(log2x)(log2x)的最大、最小值

28参

1 解析 由题意 g(x)+h(x)=lg(10x+1) ① 又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1) 即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ②

由①②得 g(x)=

x2,h(x)=lg(10x+1)－x2

答案 C数学驿站 www.maths168.com

2 解析 当a>1时，函数y=logax的图像只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数

答案 B

3 解析 容易求得f

- －1

(x)=log2xx (x1)2 (x1),

从而 f

－1

log2(x1),(x2)(x－1)= x12, (x2).答案 log2(x1),(x2)2x1, (x2)

－nt

4 解析 由题意，5分钟后，y1=ae

,y2=a－ae

a8－nt

,y1=y2

∴n=

15ln2 设再过t分钟桶1中的水只有

,

则y1=ae

－n(5+t)

=

a8,解得t=10

答案 10

5 解 (1)设点Q的坐标为(x′,y′),

则x′=x－2a,y′=－y 即x=x′+2a,y=－y′

∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图像上， ∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga

1xa12,∴g(x)=loga=

11xa

(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,

第5页 共7页 xa(a3)a>0,

高中专题讲解

∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga

2

1xa2

|

=|loga(x－4ax+3a)|·|f(x)－g(x)|≤1, 2

∴－1≤loga(x－4ax+3a2)≤1,

∵0＜a＜1,∴a+2>2a f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数，

∴μ(x)=loga(x－4ax+3a)在［a+2,a+3］上为减函数，

从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),

0a1于是所求问题转化为求不等式组loga(96a)1的解

log(44a)1a22

由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤

4591257,

,

57∴所求a的取值范围是0＜a≤912

6 解 f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,

∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(

x1x22)2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，

)2,

x1x22当a>1时，有logax1x2≤loga(∴即

1212x1x2212logax1x2≤loga(

x1x222)，(logax1+logax2)≤loga,

[f(x1)+f(x2)］≤f(

x1x2)(当且仅当x1=x2时取“=”号)

x1x2212当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga(∴

12)2,

x1x22(logax1+logax2)≥loga

x1x22,即［f(x1)+f(x2)］≥f()(当且

仅当x1=x2时取“=”号）

7 解 由已知等式得 loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),

即(logax－1)2+(logay－1)2=4,

令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v

在直角坐标系uOv内，

圆弧(u－1)+(v－1)=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点， 分两类讨论 数学驿站 www.maths168.com

22

(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得

第6页 共7页 高中专题讲解

1+3≤k≤2(1+2);

(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－2)≤k≤1－3

综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+22，最小值为1+3； 当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－3，最小值为2－22

8 解 ∵2(log1x)+9(log1x)+9≤0

2

22∴(2log1x+3)( log1x+3)≤0 ∴－3≤log1x≤－32222

即log1 (

212)≤log1x≤log1(

22－3

12)

32

∴(

12)

32≤x≤(

12)－3,∴22≤x≤8

即M={x|x∈［22,8］}

又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1

∵22≤x≤8,∴

32≤log2x≤3

∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0

课前后备注

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