备课参考 为什/厶平行于轴的平面截圆锥面截口曲线是双曲线 (山东曲阜师范大学附中 273165) 李风华 圆、椭圆、双曲线、抛物线之所以称为圆锥曲 锥面于曲线c(即截口曲线),显然,有且仅有两个 线,就是因为这几种曲线均为用平面截圆锥面而 球0 、02与圆锥面、平面a同时相切,记球0 切平 得到的.特别的,当截面平行于圆锥的轴时,得到 面a于点E,切圆锥面于圆C。,记球()2切平面a于 的截口曲线是双曲线.但是在圆锥曲线的教学中, 点F,切圆锥面于圆C2,显然,E、F是定点,C 、C2 教师并不能从现有知识结构中给学生一个合理的 是定圆.设A是曲线C上任一点,过A作圆锥面的 逻辑解释,所以许多学生从理 母线分别交圆C 、C 于点B、C,则线段BC的长为 论上并不能理解为什么这种 定值.连接AE、AF,由球的切线长定理知,ALE— 截口曲线是双曲线.本文利用 AB,AF—AC,所以l AE—AF l=l 一AC l— 数l 球的切线长定理把问题归结 BC(定值).这样,曲线C上任一点到两定点£、F距 字l 为现有双曲线的定义,从而在 离差的绝对值为常数,显然,该常数小于两定点 鎏l 中学现有理论的基础上解决 E、F间的距离. 通l 截口曲线是双曲线这一教学 图1 由双曲线的定义知,该截口曲线是以E、F为 。: .中的难题. 焦点,实轴长等于BC的长的双曲线. 如图1,设平行于圆锥的轴的平面a交圆 ’ 一.“’ ’ -.’-. ’ ’ } .I.,-. ’ ’’ -. ’“ ,’ ’“’ ’ ’ ’“,“·_. “’ ···--1’ ·.,···l-1’ ·..·-.’·..······.··, ., ·-_’’’’ ., .···.... ..·........ .,........Jl ······, ···, .....,., ..., I... .J. ., ......,,.,.嘉 所以 一 = sin(fi+a) 这条垂线就是抛物线的准线. f S n l L ~a 证明:设A(2 ,2 ·),B(2 ,2 2)(tl≠ 代入③ ,a(sinfi-F sina)+a Sin(fl-a) F(号’o),P(z,2p (’ C r一 ‘— = 一 由A、F、B三点共线,得 一 ,化简得 . 一 . C f 2 一号 2 一号 故命题得证. ’ 一2 一(双曲线的情形)设A、B分别是双曲线 一 所以(t2一t1)(4tl t2+1)一0, 一1(“>0,b>0)的左、右顶点,F是双曲线的 D一 因为£。≠如,所以 。£。一一丢. 一个焦点,MN是过F的任意一条弦(不同于弦 AB),若直线.AM、BN交于点P,过点P作 轴的 由A,O、P三点共线,得 z 一 t1 ,z— 垂线,那么这条垂线就是这个焦点对应的准线. 对于双曲线情形的证明与椭圆的证明方法类 2p£ £z=一号,故命题得证. 似,请读者自己进行证明. 参考文献 (抛物线的情形)设AB是过抛物线 一2px 焦点F的弦,O(0,0),直线AO与过点B且和 轴 林仁明.由圆锥曲线的焦点探究其准线的两种方法.数学 ’平行的直线交于P点,过点P作5C轴的垂线,那么 ’ 鳐
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