为什么平行于轴的平面截圆锥面截口曲线是双曲线

备课参考　为什／厶平行于轴的平面截圆锥面截口曲线是双曲线　（山东曲阜师范大学附中　２７３１６５）　李风华　圆、椭圆、双曲线、抛物线之所以称为圆锥曲　锥面于曲线ｃ（即截口曲线），显然，有且仅有两个　线，就是因为这几种曲线均为用平面截圆锥面而　球０　、０２与圆锥面、平面ａ同时相切，记球０　切平　得到的．特别的，当截面平行于圆锥的轴时，得到　面ａ于点Ｅ，切圆锥面于圆Ｃ。，记球（）２切平面ａ于　的截口曲线是双曲线．但是在圆锥曲线的教学中，　点Ｆ，切圆锥面于圆Ｃ２，显然，Ｅ、Ｆ是定点，Ｃ　、Ｃ２　教师并不能从现有知识结构中给学生一个合理的　是定圆．设Ａ是曲线Ｃ上任一点，过Ａ作圆锥面的　逻辑解释，所以许多学生从理　母线分别交圆Ｃ　、Ｃ　于点Ｂ、Ｃ，则线段ＢＣ的长为　论上并不能理解为什么这种　定值．连接ＡＥ、ＡＦ，由球的切线长定理知，ＡＬＥ—　截口曲线是双曲线．本文利用　ＡＢ，ＡＦ—ＡＣ，所以ｌ　ＡＥ—ＡＦ　ｌ＝ｌ　一ＡＣ　ｌ—　数ｌ　球的切线长定理把问题归结　ＢＣ（定值）．这样，曲线Ｃ上任一点到两定点￡、Ｆ距　字ｌ　为现有双曲线的定义，从而在　离差的绝对值为常数，显然，该常数小于两定点　鎏ｌ　中学现有理论的基础上解决　Ｅ、Ｆ间的距离．　通ｌ　截口曲线是双曲线这一教学　图１　由双曲线的定义知，该截口曲线是以Ｅ、Ｆ为　。：　．中的难题．　焦点，实轴长等于ＢＣ的长的双曲线．　如图１，设平行于圆锥的轴的平面ａ交圆　’　一．“’　’　－．’－．　’　’　｝　．Ｉ．，－．　’　’’　－．　’“　，’　’“’　’　’　’“，“·＿．　“’　···－－１’　·．，···ｌ－１’　·．．·－．’·．．······．··，　．，　·－＿’’’’　．，　．···．．．．　．．·．．．．．．．．　．，．．．．．．．．Ｊｌ　······，　···，　．．．．．，．，　．．．，　Ｉ．．．　．Ｊ．　．，　．．．．．．，，．，．嘉　所以　一　＝　ｓｉｎ（ｆｉ＋ａ）　这条垂线就是抛物线的准线．　ｆ　Ｓ　ｎ　ｌ　Ｌ　～ａ　证明：设Ａ（２　，２　·），Ｂ（２　，２　２）（ｔｌ≠　代入③　，ａ（ｓｉｎｆｉ－Ｆ　ｓｉｎａ）＋ａ　Ｓｉｎ（ｆｌ－ａ）　Ｆ（号’ｏ），Ｐ（ｚ，２ｐ　（’　Ｃ　ｒ一　‘—　＝　一　由Ａ、Ｆ、Ｂ三点共线，得　一　，化简得　．　一　．　Ｃ　ｆ　２　一号　２　一号　故命题得证．　　’　一２　一（双曲线的情形）设Ａ、Ｂ分别是双曲线　一　所以（ｔ２一ｔ１）（４ｔｌ　ｔ２＋１）一０，　一１（“＞０，ｂ＞０）的左、右顶点，Ｆ是双曲线的　Ｄ一　因为￡。≠如，所以　。￡。一一丢．　一个焦点，ＭＮ是过Ｆ的任意一条弦（不同于弦　ＡＢ），若直线．ＡＭ、ＢＮ交于点Ｐ，过点Ｐ作　轴的　由Ａ，Ｏ、Ｐ三点共线，得　ｚ　一　ｔ１　，ｚ—　垂线，那么这条垂线就是这个焦点对应的准线．　对于双曲线情形的证明与椭圆的证明方法类　２ｐ￡　￡ｚ＝一号，故命题得证．　似，请读者自己进行证明．　参考文献　（抛物线的情形）设ＡＢ是过抛物线　一２ｐｘ　焦点Ｆ的弦，Ｏ（０，０），直线ＡＯ与过点Ｂ且和　轴　林仁明．由圆锥曲线的焦点探究其准线的两种方法．数学　’平行的直线交于Ｐ点，过点Ｐ作５Ｃ轴的垂线，那么　’　鳐