压轴题讲义四(学生)

例一：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1 图2

提示：1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．

2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．

例二：如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

图1

提示：1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD． 2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

例三：已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数yM在正比例函数y3x3的图象与y轴交于点A，点43x的图象上，且MO＝MA．二次函数 2y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y3x3的图象上，且四边4形ABCD是菱形，求点C的坐标．

提示：1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基

本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．

2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．

3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．

例四：如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

图1 图2

提示：1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．

2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．

3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．