高数教案1

授课§5.4 广义积分 名称 授课 理论课 教学时间 2课时 授课教师 高晔 授课班级 类型 教学 无穷限广义积分的定义及计算，无界函数广义积分和定义及计算. 内容 教学 教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算 目的基本要求：理解无穷限广义积分以及会用无界函数广义积分和定义及计算． 要求 重点 教学重点：利用广义积分的定义计算, 难点 教学难点：概念产生的背景． 教学 多媒体课件讲授为主、黑板教学为辅． 手段 一、新课导入 1、引入例子，引出课题。 二、新课讲授 12级石化班、过控班 1、积分区间为无穷区间的广义积分: 教 学 过 程 1.1 定义一及注解； 1.2 举例1,2,3. 2、无界函数的广义积分: 2.1定义二及注解； 2.2举例4,5,6. 三、小结与思考 作业 教学后记 P178： 11，P181：26、27、28. 本课是在定积分的基础上讲授的，内容较少，学生的反映非常好，是一节成功的课。

§5.7 广义积分

2x【引例】计算曲线 ye与x轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。

2xdx。 按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为 Ae0显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。

该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：

b2xdx(b1,2,,10,)的值，并作出这些值的图象，观察图编程计算A(b)e0象是否逼近于一条固定的直线。

请运行matlab程序gs0504.m。

一、积分区间为无穷区间的广义积分 【定义一】设函数

f(x)在区间[a,)上连续， 任取 ba，如果极限limf(x)dx存在，

bab则称此极限值为函数

f(x)在无穷区间[a,)上的广义积分，并记作f(x)dx,

a亦即

f(x)dxlimf(x)dx此时，也称广义积分f(x)dx收敛；

babaa如果上述极限不存在， 则称广义积分

f(x)dx发散。

ba类似地,设函数

f(x) 在区间(,b]上连续，任取 ab，如果极限limf(x)dx

aa存在，则称此极限值为函数

f(x)在无穷区间(,b]上的广义积分，

bbb 记作

f(x)dx, 亦即f(x)dxlimf(x)dx

aab此时，也称广义积分

f(x)dx 收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分f(x)dx发散。

b0类似地,设函数

f(x)在区间(,)上连续，如果广义积分f(x)dx 与 f(x)dx

0同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数

f(x)在无穷区间(,)上的广义积分，记作

0f(x)dx。 亦即 limaf(x)dx0bf(x)dx0f(x)dx

af(x)dxlimb0f(x)dx这时，也称广义积分

f(x)dx 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分f(x)dx发散。

上述积分称为无穷限的广义积分。

【反例】

xdx

bb1limxdxlimx2lim(0)0 ， 但 bbb2bb01212xdxlimxdxlimxlimb，xdx发散,因此，xdx是发散的。 bb2b2000bb【例1】计算广义积分

pttedt

b0解：teb0pt1pttpt1bptdttd(e)eedt

ppp000bbpb11pbbpb11pt22eeee

pppppp0b

te0ptb111dtlimteptdtlimepb22epb2

bbpppp0b显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。

【例2】计算广义积分

1dxx2。

00bdxdxdxdxdx解：  limlim22222ab1x1x01xa1x01xblim[arctgx]0lim[arctgx]a0 ablim(arctga)lim(arctgb)() ab22观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：

dx1x2arctgx请注意：将上下限x

,x代入原函数时，意味着取极限limarctgx,limarctgx，这

xx样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。

【例3】证明广义积分

11dx当 p1时收敛； 当p1发散。 px解：若

1p1 dxlnx1limlnxln1

x1xxp1 ,1pdx11x1p若

p1p1 1p1p1二 无界函数的广义积分 【定义二】设函数

f(x) 在区间(a,b]上连续， 且limf(x)，取 0，

xab如果极限

0alimf(x)dx 存在，则称此极限值为函数f(x) 在区间(a,b]上的广义积分，记

bbb作 f(x)dx。亦即 f(x)dxlimaab此时，也称广义积分0af(x)dx

bf(x)dx收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分f(x)dx发散。点aaa称之为奇点。 类似地，有,设函数

f(x) 在区间[a,b)上连续，且limf(x)，取 0，如果极限

xb0abalimbf(x)dx存在，则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b)上的广义积分，记作

bbf(x)dx。 亦即f(x)dxlima0af(x)dx

bb此时， 也称广义积分f(x)dx收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分f(x)dx发散。点

aab 称之为奇点。

类似地， 又有,设函数

f(x)在[a,b]上除c(acb)外均连续， 且limf(x)，

xcbcbccc如果两个广义积分 f(x)dx 与 f(x)dx 均收敛， 则定义广义积分

f(x)dxlimbabacf(x)dxf(x)dxf(x)dxlimab0a0cf(x)dx

否则称广义积分f(x)dx发散。点 c 称之为奇点

a注明：上式中的与不一定是相同的。

a【例4】求 dxax1ax220解：

22(a0)

xaalimdx， 故 xa 奇点。

axlimlimarcsin22022a000ax0axalimarcsin0arcsin1a20dxa

注明：为了简便，上述过程也可写成

a0xxarcsinlim[arcsinarcsin0]arcsin122a0xaa2axdxa

1【例5】讨论

1xdx2 的敛散性。

11,故 x0 是奇点。2dxlim1 解：lim2x0xx1x0x1x10故

0101x12dx发散，从而， 原广义积分1121xdx亦发散。

此题若忽视x0是奇点，将积分当作普通积分来处理，会导致错误解法

112dx112

x11x1【例6】证明广义积分111q0xdx 当q1时收敛；当q1时发散。

11解：当 q1时， x0是奇点，广义积分 dx[lnx]10ln1limlnx，

x00x110x故广义积分 dx 发散；

111x1q1111q1当q1 时， qdxlimqdxlim lim[]000x1q1q1q1q0x1故广义积分 1q0x1dx 收敛；

11x1q1111lim[] 当q1时，qdxlimqdxlim0x01q0(q1)q1xq10111dx故广义积分  发散；综合得：dx1qqq0x0x11q1

q1三、小结与思考

1、小结：积分区间为无穷区间的广义积分定义，无界函数的广义积分

2、思考：对暇积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限同时解决敛散问题和求值问题．