初中数学创新题

1．已知BC是半径为2cm的圆内的一条弦，点A为圆上除点B，C外任意一点，若

BC23cm，则BAC的度数为 ．

2．若a，b均为整数，当x31时，代数式x2axb的值为0，则ab的算术平

方根

为 ． 3．如图（1），在等腰三角形ACB中，ACBC5，AB8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DEAC，DFBC，垂足分别为E，F，则DEDF ．

C

B

EF ADB

图（1）

A 图（2）

4．如图（2），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A出发沿街道行进到达位置B，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有 种． 5．（1）观察一列数2，4，8，16，32，„，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18 ，an ；

（2）如果欲求133233320的值，可令

S133233320„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„① 将①式两边同乘以3，得

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„② 由②减去①式，得

S ．

（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a1，a2，a3，，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an （用含a1，q，n的代数式表示），如果这个常数q1，那么a1a2a3an （用有含a1，q，n的代数式表示）．

练习二

1．如图（4），在△ABC中，AB5，BC3，AC4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．

（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长； （2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；

（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．

C

E F A B图（4） 2．如图（5），已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标是(016)，，AB平行于x轴，

B，C，D三点在抛物线y425x2上，DC交y轴于N点，一条直线OE与AB交于E点，与DC交于F点，如果E点的横坐标为a，四边形ADFE的面积为1352．

（1）求出B，D两点的坐标；

（2）求a的值；

（3）作△ADN的内切圆

P，切点分别为M，K，H，求tanPFM的值．

y A E B H P KD F M NC O x 图（5）

练习三 练习四

1．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、5．阅读下列内容后，解答下列各题： 乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱． 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，例如：考查代数式(x1)(x2)的值与0的大小 拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近当x1时，x10，x20，(x1)(x2)0 的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 当1x2时，x10，x20，(x1)(x2)0 米． y 0.5米 2.5米

P(a，0) N(a+2，0) O x

1米 B(4，-1) （3题图）

A(1，-3) 2米 （2题图） （4题图） 34

3．如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个． 4．如图，当四边形PABN的周长最小时，a ．

5．如图，△ABC内接于O，BAC60，点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H． 试证明： A （1）FAHCAO； （2）四边形AHDO是菱形．

F O H B E C D

当x2时，x10，x20，(x1)(x2)0 综上：当1x2时，(x1)(x2)0

当x1或x2时，(x1)(x2)0

（1） 填写下表：（用“”或“”填入空格处） x2 2x1 1x3 3x4 x4 x2      x1      x3    x4      (x2)(x1)(x3)(x4)   （2）由上表可知，当x满足 时，(x2)(x1)(x3)(x4)0； （3）运用你发现的规律，直接写出当x满足 时，(x7)(x8)(x9)0． 6．“512”汶川大地震后，某药业生产厂家为支援灾区人民，准备捐赠320箱某种急需药品，该厂家备有多辆甲、乙两种型号的货车，如果单独用甲型号车若干辆，则装满每车后还余20箱未装；如果单独用同样辆数的乙型号车装，则装完后还可以再装30箱，已知装满时，每辆甲型号车比乙型号车少装10箱． （1）求甲、乙两型号车每辆车装满时，各能装多少箱药品？

（2）已知将这批药品从厂家运到灾区，甲、乙两型号车的运输成本分别为320元/辆和350元/辆．设派出甲型号车u辆，乙型号车v辆时，运输的总成本为z元，请你提出一个派车方案，保证320箱药品装完，且运输总成本z最低，并求出这个最低运输成本为多少元？

练习五

1．已知5x23x50，则5x22x15x22x5 ． 2．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止．那么2007，2008，2009，2010这四个数中 可能是剪出的纸片数．

3．阅读材料：

A 如图，△ABC中，ABAC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABPS△ACPS△ABC． h 即：

1r1

r2 2ABr1112ACr22ABh B r1r2h（定值）

． P C （1）理解与应用

A

D

如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线

E BD上的一点，且BEBC，F为CE上一点，

FM⊥BCN 于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FMFN的长．

F （2）类比与推理

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的B

位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任A

M

C

一点”，即：

已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明

h rr3 1r2r3（定值）h．

r2

（3）拓展与延伸

P r1

若正n边形A1A2An内部任意一点P到各边的距离为B C

rr12rn，请问是r1r2rn是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值．

练习六

1．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若1280°，则B ． 2．已知Rt△ABC的周长是443，斜边上的中线长是2，则S△ABC ． 3．我市部分地区近年出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维护和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表： 储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/占地面积（m2个） /个） 新建 4 5 4 维护 3 18 6 已知可支配使用土地面积为106m2，若新建储水池x个，新建和维护的总费用为y万元． （1）求y与x之间的函数关系；

（2）满足要求的方案各有几种；

（3）若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？

4．如图所示，已知点A(1，0)，B(3，0)，C(0，t)，且t0，tanBAC3，抛物线经过A、B、C三点，点P(2，m)是抛物线与直线l:yk(x1)的一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点Q(1，n)，求PQQB的最小值；

（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值．

y

C

A B x O

练习七

1.已知m25m10，则2m25m1m2___________. 2.下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有___________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有___________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有___________个.

3.已知非负数a，b，c满足条件ab7，ca5，设

Sabc的最大值为m，最小值为n，则mn的值为___________.

4.如图，在△ABC中，ABAC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AECF，D为BF的中点，AEAF的值为___________.

5.如图，抛物线ymx22mx3mm0与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请

说明 理由.

练习八

1.阅读理解：

我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意

两点

PxQxx1，y1、2，y2的对称中心的坐标为1x2y1y22，2.

观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P101、P22，3的对称中心是点A，则点A的坐标为_________；

（2）另取两点B1.6，2.1、C10，.有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点

A、B、C

作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点

P2处，接着跳到点P2关于点B的对

称点P3处，第三次再跳到点P3关于点

C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，„则点P3、P8的坐标分别为_________、_________.

拓展延伸： （3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、

点C构成等腰三角形的点的坐标.

2.如图，在Rt△ABC中，C90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于 点D.

（1）求证：AD平分BAC. （2）若AC3，AE4.

①求AD的值；②求图中阴影部分的面积.

练习九

1.若m20111，则m52m42011m32012的值是_________

2．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DE交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形B0GC的面积= _________

3.已知63m(n5)3m6(m3)n2，则mn=

4.在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、„、AnBnCnCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、„、An均在一次函数ykxb的图象上，点C1、C2、C3、„、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为_________

5.小英和小明姐弟二人准备一起去观看端午节龙舟赛．但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去看龙舟赛．游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同．游戏时先由小英从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小明从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同．则小英赢，否则小明赢． （1）请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果． （2）这个游戏对游戏双方公平吗？请说明理由．

练习十

1.同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为122232...n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道

011223...(n1)n13n(n1)(n1)

时，我们可以这样做： （1）观察并猜想：

1222=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2） 122232=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3 =1+0×1+2+1×2+3+2×3

=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）

12223242=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+ ___________ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ___________ =（1+2+3+4）+（___________） „

（2）归纳结论：

122232...n2=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+„[1+（n-l）]n =1+0×1+2+1×2+3+2×3+„+n+（n-1）×n =（___________）+[ ___________] = ___________+ ___________ =

16×___________ （3 ）实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是_________。

2.某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．

（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？

（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？

参：

练习一：

1.60°或120° 2.

12 3.245 4.10 5.（1）2 218（1分） 2n

（2）3S＝3＋32

＋33

＋34

＋„＋321

S＝

12(3211) （3）an-1

a1(qn1)1q(2分)q1

练习二： 6.解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等 ∴S△ECF:S△ACB＝1:2

又∵EF∥AB ∴△ECF∽△ACB

SECFS(CE)212,且AC＝4 ACBCA∴CE＝22

（2）设CE的长为x ∵△ECF∽△ACB ∴

CECACFCB ∴CF34x 由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得

xEF34x(4x)5(334x)EF 解得x247 ∴CE的长为247

（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：

①如图1，假设∠PEF＝90°，EP＝EF。

CEFAPDP'B图1由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠C＝90°

∴Rt△ACB斜边AB上高CD＝125

设EP＝EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

12EFCDEPABCD，即x55x12， 5解得x6037，即EF＝6037，

当∠EFP´＝90°，EF＝FP´时，同理可得EF＝

6037 ②如图2，假设∠EPF＝90°，PE＝PF时，点P到EF的距离为12EF。CEFAHDB图2设EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

112EFCD2EFxxABCD，即5512， 5解得x12049，即EF＝12049，

综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形， 此时EF＝

6037或EF＝12049. 7、（10分）（1）∵点A的坐标为（0，16），且AB∥x轴 ∴B点纵坐标为4，且B点在抛物线y425x2上 ∴点B的坐标为（10，16）

又∵点D、C在抛物线y425x2上，且CD∥x轴 ∴D、C两点关于y轴对称 ∴DN＝CN＝5

∴D点的坐标为（－5,4）

161、400 2、8 （2）设E点的坐标为（a，16），则直线OE的解析式为：yax

∴F点的坐标为（

a4,4） 由AE＝a，DF＝a135且S梯形ADFE2，得

1a2(a45)(164)1352 解得a＝5

（3）连结PH，PM，PK

∵⊙P是△AND的内切圆，H，M，K为切点 ∴PH⊥AD PM⊥DN PK⊥AN

在Rt△AND中，由DN＝5，AN＝12，得AD＝13 设⊙P的半径为r，则SAND12(51213)r12512 r＝2.在正方形PMNK中，PM＝MN＝2

∴MFMNNF2134 在Rt△PMF中，tan∠PMF＝PM28MF1313

4练习三：练习四：最后„„„„„„ 练习五： 1、

285 2、2008 3、（1）FM＋FN＝322（2）r1＋r2＋r3＝h （3）r1＋r2＋„rn＝n r(r为正n边形的边

心距) 练习六：

3、（1）y＝x＋60 (2)7≤x≤9 (3)最多为20.4万，最小为18.4万 4、(1)y＝－x2＋2x＋3 （2）PQ＋QB＝32 （3） 最大值928

练习七：

1．28 2．10，28，50 3．7 4．512 5.解：（1）

ymx22mx3mm(x22x3)m(x1)24m， 抛物线顶点M的坐标为（1，4m） ·

································································ 2抛物线ymx22mx3m(m0)与x轴交于A、B两点，

当y0时，mx22mx3m0， m0，x22x30.

解得x11，x23， A、B两点的坐标为（1，0）、（3，0）. ····························································· 4（2）当x0时，y3m， 点C的坐标为(0，-3m).

S1△ABC23(1)3m6m6m. ························································· 5

过点M作MD⊥x轴于点D，则OD1，BDOBOD2，

MD4m4m.

S△BCMS△BDMS梯形OCMDS△OBC

=12BD·DM12(OCOM·)OD12OB·OC =1224m112(3m4m)1233m

=3m. ······································································································· 7

S△BCM:S△ABC1:2. ························································································· 8（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线.

过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，

CNOD1，DNOC3m，

MNDMDNm.

CM2CN2MN21m2.

在Rt△OBC中，BC2OB2OC299m2， 在Rt△BDM中，BM2BD2DM2416m2.

，①如果△BCM是Rt△，且BMC90°那么CM2BM2BC2，

即1m2416m299m2，

2， 22m0，m.

22232使得△BCM是Rt△； ···························10分 x2x存在抛物线y22，②如果△BCM是Rt△，且BCM90°那么BC2CM2BM2，

即99m21m2446m2， 解得m1， m0，m1．

存在抛物线yx22x3，使得△BCM是Rt△；

解得m222③如果△BCM是Rt△，且CBM90°，那么BCBMCM，

222即99m416m1m.

(32-1，0)，，，(20)(3210)，，，，(50)

2.（1）证明：连接OD，则OAOD，DAOODA. BC是⊙O的切线， OD⊥BC. AC⊥BC，OD∥AC， CADODA. DAOCAD，AD平分BAC.4

．（2）①连结ED，AE为直径，ADEC90°

ADE∽△ACD，又由（1）知DAOCAD，△

ADAC ，AEADAC3，AE4， AD2AE·AC3412， AD1223．

②在Rt△ADE中，cosDAE整理得m，此方程无解.

212以CBM为直角的直角三角形不存在.

2232x2x综上所述，存在抛物线y和yx22x3． 22使得△BCM是Rt△.

练习八：

1.解：（1）（1，1） （（2，3）

，-1)→P2(2，3)→P，→P，1.2)→P，3.2)→（3）P1(03(5.21.2)4(3.25(1.2DAE30°．

AOD120°，DE2.

111S△AODS△ADEAD·DE3.

222120π224S扇形AOD=π.

36034S阴影=S扇形AODS△AODπ3.

37S 4AD233 ，AE42

练习九： 1. 0 2. 5. 解：（1）

3. 2 4. (2n11， 2n1)

3)„ P6(21)，→P7(0，1)→P8(2，即坐标以6为周期循环. P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，

20126335„2，

P2012的坐标与P2的坐标相，3)； ·同，为P······································································································ 8分 2012(2 C构在x轴上与点P成等腰三角形的点的坐标2012、点

为

（2）根据树状图可知， P（小英赢）= ，

P（小明赢）= ，

P（小英赢）＞P（小明赢）， 所以该游戏不公平． 练习十： 解：（1）观察并猜想：（1+3）×4；4+3×4；0×1+1×2+2×3+3×4；

（2）归纳结论：1+2+3+…+n；0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n； n（n+1）； n（n+1）（n-1）；n（n+1）（2n+1）； （3）实践应用：338350． 27. 解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元， 根据题意得：

，

解得： ，

答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；

（2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台， 根据题意得： ， 解得：24≤m≤26，

因为m要为整数，所以m可以取24、25、26，

从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台， ②电脑箱：25台，液晶显示器：25台； ③电脑箱：26台，液晶显示器：24台． ∴方案一的利润：24×10+26×160=4400， 方案二的利润：25×10+25×160=4250， 方案三的利润：26×10+24×160=4100， ∴方案一的利润最大为4400元．

练习三、练习四参：