统计学中四分位数的计算

Ｃｈｉｎｅｓｅｈｉ－ｔｅｃｈｅｎｔｅｒｐｒｉｓｅｓ

中国高新技术企业

NO.20.2009

（CumulativetyNO.131）

统计学中四分位数的计算

张云华

（江西财经职业学院，江西九江332000）

摘要：四分位数是将全部数据分成相等的四部分，其中每部分包括25%的数据，处在各分位点的数值就是四分位数。四

文章通过对四分位数的详细计算过程，便于读者分位数作为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的作用和意义。

在学习统计学知识中能有更进一步的认识。关键词：统计学；四分位数；组距数列中图分类号：P597文献标识码：A文章编号：1009-2374（2009）20-0173-02分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后，处于各等分位置的变量值。如果将全部数据分成相等的两部分，它就是中位数；如果分成四等分，就是四分位数；八等分就是八分位数等。四分位数也称为四分位点，它是将全部数据分成相等的四部分，其中每部分包括２５％的数据，处在各分位点的数值就是

第一个四分位数就是通常所说的四分位数。四分位数有三个，

四分位数，称为下四分位数，第二个四分位数就是中位数，第三个四分位数称为上四分位数，分别用Ｑ１、Ｑ２、Ｑ３表示。四分位数作为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的作用和意义，现就四分位数的计算做一详细阐述。

３５＝３４．２５。

二、资料已整理分组的组距式数列四分位数计算

第一步：向上或向下累计次数（因篇幅，以下均采取向上累计次数方式计算）；

第二步：根据累计次数确定四分位数的位置：Ｑ１的位置＝（∑ｆ＋１）／４，Ｑ２的位置＝２（∑ｆ＋１）／４，Ｑ３的位置＝）／４３（∑ｆ＋１式中：∑ｆ表示资料的总次数；第三步：根据四分位数的位置计算各四分位数（向上累计次数，按照下限公式计算四分位数）：

ｉ∑ｆ－ＳＱ－１

Ｑｉ＝Ｌｉ＋４×ｄｉ

ｆｉ

式中：Ｌｉ———Ｑｉ所在组的下限，ｆｉ———Ｑｉ所在组的次数，ｄｉ———Ｑｉ所在组的组距；Ｑｉ－１———Ｑｉ所在组以前一组的累积次∑ｆ———总次数。数，

例３：某企业工人日产量的分组资料如下：

ｉ

一、资料未分组四分位数计算

第一步：确定四分位数的位置。Ｑｉ所在的位置＝ｉ（ｎ＋１）／４，其

中ｉ＝１，２，３。ｎ表示资料项数。

第二步：根据第一步四分位数的位置，计算相应四分位数。例１：某数学补习小组１１人年龄（岁）为：１７，１９，２２，２４，２５，２８，３４，３５，３６，３７，３８。则三个四分位数的位置分别为：

Ｑ１所在的位置＝（１１＋１）／４＝３，Ｑ２所在的位置＝２（１１＋１）／４＝６，Ｑ３所在的位置＝３（１１＋１）／４＝９。

变量中的第三个、第六个和第九个人的岁数分别为下四分位数、中位数和上四分位数，即：

Ｑ１＝２２（岁）、Ｑ２＝２８（岁）、Ｑ３＝３６（岁）我们不难发现，在上例中（ｎ＋１）恰好是４的整数倍，但在很多实际工作中不一定都是整数倍。这样四分位数的位置就带有小数，需要进一步研究。带有小数的位置与位置前后标志值有一定的关系：四分位数是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均数，权数的大小取决于两个整数位置的远近，距离越近，权数越大，距离越远，权数越小，权数之和应等于１。

例２：设有一组经过排序的数据为１２，１５，１７，１９，２０，２３，２５，２８，３０，３３，３４，３５，３６，３７，则三个四分位数的位置分别为：

）／４＝３．７５，Ｑ２所在的位置＝２（１４＋１）Ｑ１所在的位置＝（１４＋１

／４＝７．５，Ｑ３所在的位置＝３（１４＋１）／４＝１１．２５。

变量中的第３．７５项、第７．５项和第１１．２５项分别为下四分位中位数和上四分位数，即：数、

Ｑ１＝０．２５×第三项＋０．７５×第四项＝０．２５×１７＋０．７５×１９＝１８．５；Ｑ２＝０．５×第七项＋０．５×第＝０．５×２５＋０．５×２８＝２６．５；Ｑ３＝０．７５×第十一项＋０．２５×第十二项＝０．７５×３４＋０．２５×

按日产量分组（千克）工人数（人）向上累计次数

６０以下１０１０６０￣７０１９２９７０￣８０５０７９８０￣９０３６１１５９０￣１００２７１４２１００￣１１０１４１５６１１０以上８１６４合计１６４—向下累计次数

１６４１５４１３５８５４９２２８—

根据上述资料确定四分位数步骤如下：（１）向上累计方式获得四分位数位置：

（∑ｆ＋１）／４＝（１６４＋１）／４＝４１．２５Ｑ１的位置＝

（∑ｆ＋１）／４＝２（１６４＋１）／４＝８２．５Ｑ２的位置＝２

Ｑ３的位置＝３（∑ｆ＋１）／４＝３（１６４＋１）／４＝１２３．７５

Ｑ２，Ｑ３分别位于向上累计工人数的第三组、第四（２）可知Ｑ１，

组和第五组，日产量四分位数具体为：

１６４－２９∑ｆ－Ｓ

Ｑ－１

Ｑ１＝Ｌ１＋４×ｄ１＝７０＋４×１０＝７２．４９（千克）

ｆ１５０２∑ｆ－ＳＱ－１２×１６４－７９

４Ｑ２＝Ｌ２＋４×ｄ２＝８０＋×１０＝８０．８３（千克）３６ｆ２

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２００９年第２０期（总第１３１期）

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（CumulativetyNO.131）

高等代数中的待定系数法

刘瑞香

（山西农业大学文理学院，山西太谷030801）

摘要：待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。其

“恒等变形”和“形变而值不变”的解题功能。待定系数法是一种重要的数学方法，在高等代数实质是方程思想，体现的是

的教学中要用好这种方法。因此文章对待定系数法在高等代数中的应用进行分类讨论。关键词：待定系数法；高等代数；数学方法中图分类号：O122文献标识码：A文章编号：1009-2374（2009）20-0174-02对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。这种解题方法就称为待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知

其实质是方程思想，就是把具有某数，使问题得到解决的方法。

种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为两个多项式恒等或方程组的条件来解决的方法，体现的是“恒等变形”和“形变而值不变”的解题功能。

待定系数法是一种重要的数学方法，在中学数学里已多次使用。因此它是一种大家都很熟悉的方法。在高等数学中，也有许多问题可以用待定系数法解决。所以在高等数学的教学中引导学生用好这一方法非常必要。

本文主要对待定系数法在高等代数中的应用加以总结。１．在整除问题中的应用：

２

｜Ａｘ４＋Ｂｘ２＋１，求Ａ，Ｂ。例１：如果（ｘ－１）２

解：因（ｘ－１）｜Ａｘ４＋Ｂｘ２＋１，所以

２２

令Ａｘ４＋Ｂｘ２＋１＝Ａ（ｘ－１）（ｘ＋ｐｘ＋ｑ），其中ｐ，ｑ为待定系数。

４２４３

则Ａｘ＋Ｂｘ＋１＝Ａｘ＋Ａ（ｐ－２）ｘ＋Ａ（ｑ－２ｐ＋１）ｘ２＋Ａ（ｐ－２ｑ）ｘ＋Ａｑ，

!!ｐ－２＝０Ａ＝１########Ａ（ｑ－２ｐ＋１）＝ＢＢ＝－２##

比较系数，得\"，解得\"，即Ａ＝１，Ｂ＝－２。##

ｐ－２ｑ＝０ｐ＝２########Ａｑ＝１ｑ＝１$$

例２：求ｔ值，使ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ２＋ｔｘ－１有重根。

２

解：要使ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ２＋ｔｘ－１有重根，可设ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｐ）（ｘ－ｑ），其中ｐ，ｑ为待定系数，则

（２ｐ＋ｑ）ｘ２＋（２ｐｑ＋ｐ２）ｘ－ｐ２ｑ，（ｆｘ）＝ｘ３－３ｘ２＋ｔｘ－１＝ｘ３－

!

###\"###$

２ｐ＋ｑ＝３

\"比较系数，得２ｐｑ＋ｐ２＝ｔ，解得ｑ＝１，ｑ＝４#３##

ｐ２ｑ＝１ｔ＝３$ｔ３＝－１５／４

３

所以，当ｔ＝３时，（ｆｘ）＝ｘ３－３ｘ２＋ｔｘ－１＝（ｘ－１）有三重根ｘ＝１；

）（ｘ－４）有二重根当ｔ＝－１５／４时，ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ２＋ｔｘ－１＝（ｘ＋１／２

ｘ＝－１／２。

２．在向量的线性关系中的应用：（１）向量的线性表示：例３：把向量β表成向量α１，α２，α３，α４的线性组合，其中β＝（０，０，０，１），α１＝（１，１，０，１），α２＝（２，１，３，１），α３＝（１，１，０，０），α４＝（０，１，－１，－１）。

解：设β＝ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＋ｘ４α４，!!ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＝０ｘ１＝１########ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝０ｘ２＝０##\"\"则#，解得#，从而β＝α１－α３。##３ｘｘ２－ｘ４＝０３＝－１######ｘ１＋ｘ２－ｘ４＝１ｘ４＝０$$

（２）向量线性相（无）关的判定：例４：讨论下列向量组的线性相关性：α１＝（１，１，１），α２＝（１，－１，２），α３＝（１，２，３）。解：设有一组数ｘ１，ｘ２，ｘ３，使得ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０，!

ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０###则\"）ｘ－ｘ２＋２ｘ３＝０，（＊#１

!

#１，２##\"

２#１，##$１，２

ｐ＝１!ｐ３＝－１／２#

#

#

ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＝０因为齐次方程组（＊）的系数矩阵的行列式

１１１

Ｄ＝１－１２＝－５≠０，

１２３

所以该方程组（＊）只有唯一的零解，即ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０。

#

#$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%３∑ｆ－ＳＱ－１３×１６４－１１５

４Ｑ３＝Ｌ３＋４×ｄ３＝９０＋×１０＝９０．９６（千克）

ｆ３２７３

[2]朱圻贤．简明统计学[M]．首都经济贸易大学出版社，2009．

[3]徐淑华，朱圻贤．统计学原理[M]．江西高校出版社，2004．[4]胡学锋．统计学[M]．中山大学出版社，1999．作者简介：张云华（1976－），男，江西丰城人，江西财经职业学院讲师，硕士，研究方向：企业战略管理。

参考文献

[1]李洁明，祁新娥．统计学原理[M]．复旦大学出版社，2003．

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