2016北京高考试题及答案-理科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试

（北京卷）理科数学

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合A={x||x|<2}，B={−1，0，1，2，3}，则A⋂B=（ ） （A）{0,1} （B）{0，1，2}

（C） {−1，0，1} （D）{−1，0，1，2}

2xy0（2）若x,y满足 xy3 ，则2x+y的最大值为（ ）

x0（A）0 （B）3 （C）4 （D）5

（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）

开始输入ak=0,b=aa11ak=k+1a=b是输出k否

（A）1

1

结束

（B）2

（C）3 （D）4

（4）设a,b是向量，则“ab”是“abab”的（ ）

（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）已知x,yR,且xyo，则（ ） （A） -

𝑥1

1y

>0 （B）sinx−siny>0

<0 （D）lnx+lny>0

1x1y

（C）()- ()

22

(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

（A）

613

1

（B） （C） 21

（D）1

(7)将函数𝑦

12

=sin（2𝑥﹣π6

π3

）图像上的点P（ ，t ）向左平移s（s﹥0） 个单位长

4

π√3 ，s的最小值为 26

π

度得到点P′.若 P′位于函数𝑦=sin（2𝑥）的图像上，则（ ） （A）t= ，s的最小值为 （B）t=（C）t= ，s的最小值为 （D）t=

2

3

1

π

π√3 ，s的最小值为 23

（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球

2

（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。 （10）在(1−2x)6的展开式中，x2的系数为__________________.（用数字作答）

（11）在极坐标系中，直线ρcosθ−√3ρsinθ−1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点， 则 |AB|=____________________. （12）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6 ，a3+a5=0，则S6=______________. （13）双曲线

x2a2−

y2b2=1 (a>0,𝑏>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所

在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.

x33x,xa（14）设函数fx

2x,x＞a ①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）

在ABC中，acb2ac （I）求B 的大小

（II）求2cosAcosC 的最大值

（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A班 B班 C班 6 6.5 7 7.5 8 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 333（I） 试估计C班的学生人数；

（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1 ，表格中数据的平均数记为 μ0 ，试判断 μ0 和μ1的大小，（结论不要求证明）

3

（17）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD 平面ABCD， PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5 ,

（I）求证：PD平面PAB;

（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（III）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD?若存在，求说明理由。

（18）（本小题13分） 设函数fxxeax

AM 的值；若不存在，APbx，曲线y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，

（I）求a,b的值；

(I I) 求f(x)的单调区间。

（19）（本小题14分）

x2y23已知椭圆C：221 （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△

2abOAB的面积为1.

（I）求椭圆C的方程；

(I I)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。 求证：ANBM为定值。

（20）（本小题13分）

a1 ，a2 ,…aN (N≥2)。 设数列A：如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak ＜an ，

则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。 （I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素； (II)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G（A）  ；

4

(III）证明：若数列A满足an-an1 ≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于aN－

a1。

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C （6）A （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10）60 （11)2 （12）6

（13）2 （14）2 (,1) 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

a2c2b22ac2解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得cosB.

2ac2ac2又因为0B，所以B（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC4.

3. 432cosAcosC2cosAcos(A)

42222cosAsinAcosAsinAcos(A), 222242cosA因为0A3，所以当A时，2cosAcosC取得最大值1. 44（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100840. 20（Ⅱ）设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i1,2,,5， 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j1,2,,8， 由题意可知，P(Ai)11，i1,2,,5；P(Cj)，j1,2,,8. 58111,i1,2,,5,j1,2,,8. P(AiCj)P(Ai)P(Cj)58405

设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，

EA1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3 A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4

因此

P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3)P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4)15

（Ⅲ）10. （17）（共14分）

解：（Ⅰ）因为平面PAD平面ABCD，ABAD， 所以AB平面PAD. 所以ABPD. 又因为PAPD， 所以PD平面PAB.

（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO,CO.

因为PAPD，所以POAD.

又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD， 所以PO平面ABCD.

因为CO平面ABCD，所以POCO. 因为ACCD，所以COAD.

如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，

13408A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).

设平面PCD的法向量为n(x,y,z)，则

nPD0,yz0,即 2xz0,nPC0,令z2，则x1,y2. 所以n(1,2,2).

又PB(1,1,1)，所以cosn,PBnPBnPB3. 3所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为

3. 36

（Ⅲ）设M是棱PA上一点，则存在[0,1]使得AMAP. 因此点M(0,1,),BM(1,,).

因为BM平面PCD，所以BM∥平面PCD当且仅当BMn0， 即(1,,)(1,2,2)0，解得

1. 4

AM1. AP4所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时（18）（共13分） 解：（Ⅰ）因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.

f(2)2e2,2ea22b2e2,依题设，即 a2f(2)e1,ebe1,解得a2,be.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)xe由f(x)e2x2xex.

(1xex1)即e2x0知，f(x)与1xex1同号.

x1令g(x)1xe，则g(x)1ex1.

所以，当x(,1)时，g(x)0，g(x)在区间(,1)上单调递减； 当x(1,)时，g(x)0，g(x)在区间(1,)上单调递增. 故g(1)1是g(x)在区间(,)上的最小值， 从而g(x)0,x(,).

综上可知，f(x)0，x(,)，故f(x)的单调递增区间为(,). （19）（共14分）

7

c3,a21ab1,解得a2,b1. 解：（Ⅰ）由题意得2222abc,x2y21. 所以椭圆C的方程为4（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A(2,0),B(0,1)，

22设P(x0,y0)，则x04y04.

当x00时，直线PA的方程为yy0(x2). x02令x0，得yM2y02y0.从而BM1yM1. x02x02y01x1. x0直线PB的方程为y令y0，得xNx0x0.从而AN2xN2. y01y01x02y01 y01x02所以ANBM222x04y04x0y04x08y044x0y04x08y08

x0y0x02y02x0y0x02y024.

当x00时，y01，BM2,AN2, 所以ANBM4. 综上，ANBM为定值. （20）（共13分）

解：（Ⅰ）G(A)的元素为2和5.

（Ⅱ）因为存在an使得ana1，所以iN2iN,aia1.

8

记mminiN2iN,aia1， 则m2，且对任意正整数km,aka1am. 因此mG(A)，从而G(A). （Ⅲ）当aNa1时，结论成立. 以下设aNa1. 由（Ⅱ）知G(A).

设G(A)n1,n2,,np,n1n2np，记n01. 则an0an1an2anp.

对i0,1,,p，记GikNnikN,akani.

如果Gi，取miminGi，则对任何1kmi,akaniami. 从而miG(A)且mini1.

又因为np是G(A)中的最大元素，所以Gp. 从而对任意npkn，akanp，特别地，aNanp. 对i0,1,,p1,ani11ani.

因此ani1ani11(ani1ani11)ani1. 所以aNa1anpa1(ai1pniani1)p.

因此G(A)的元素个数p不小于aNa1.

9