抄书——叶戈罗夫定理的证明

设 f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯ 是可测集E上⼏乎处处有限的可测函数集，并且 m(E)<∞。若 fk→f,a.e.[E]，则 {fk(x)} ⼏乎⼀致收敛于 f(x)。分析：

所谓函数序列点点收敛 fk→f，就是 {fk(x)} 与 f(x) 靠得⽆限近，也就是指：任意 ∀ϵ>0，存在 ∃K∈N,∀k>K,都有∣fk−f∣<

ϵ。所谓点点收敛就是对于每个 x∈E，以上关系都满⾜，所谓⼏乎处处点点收敛，指挖掉点点收敛集合后，还剩下的部分的测度为0。若在 E 中点点收敛的集合为 A，则：

A⊂E,Ac=E∖A⇒m(Ac)=0

所谓函数序列⼀致收敛 fk⇒f，是在上述点点收敛基础上添加⼀个区间约束：它要求在整个区间（E）中，只要 k ⼤于某个确定的 K，整个区间就满⾜ ∣fk−f∣<ϵ。它与点点收敛不同的地⽅就是 K 是否确定，点点收敛不要求在整个区间都有同⼀个 K，⽽⼀致收敛则要求整个

区间的 K ⼀致，即 k 只要⼤于此 K（K 只与 ϵ 有关，与x⽆关），在整个区间都满⾜不等式关系。

叶⼽罗夫定理讲的就是：在 E 上，⼏乎点点收敛于 f(x) 的函数列 {fk(x)}，也⼏乎⼀致收敛于 f(x)。在 E 上，严格⼀致收敛的条件⽐严格点点收敛的要严苛，⽽⼏乎⼀致收敛却与⼏乎点点收敛却是等同的。证明思路是：

1、找到⼀致收敛的区域；

2、证明它的补的测度可以任意⼩。证明：

由题设：fk→f,a.e.[E]，则在 E 中，存在

lim

E′={x∈E∣k→∞fk(x)=f(x)}

即在 E′ 中 ∀ϵ>0,∃k,J∈N，当 k>J，必有 ∣fk−f∣<ϵ。⽤集合语⾔来描述它，就变成：

1

E′={x∈E∣ ∣fj(x)−f(x)∣J}

.

E′=

∞∞∞

∩k=1∪J=1∩j>J{∣fj−

1f∣这⾥的变换有如下关系：

∀k∈N 对应：∩k=1

∞

∃J∈N 对应：∪J=1

∞

简记 E′=E(fk→f)={x∈E∣fk→f}，则：

∞

∩k=1limj→∞E(∣fj−

E(fk→f)=

1f∣E′的补即：

E(fk→f)={x∈E∣fk→f}=E∖E(fk→f)

1

∞

1

=E∖f∣1

∞

=∪k=1limj→∞E(∣fj−f∣≥k)

∞

∩k=1limj→∞E(∣fj−

由题设：⼏乎处处点点收敛，因此 m(E(fk→f))=0，即：

∞

m(∪k=1limj→∞E(∣fj−

1

f∣≥k))=0

因此有：

1

m(limj→∞E(∣fj−f∣≥k))=0

∞∞

m(∩J=1∪j=J

1

E(∣fj−f∣≥k))=0

令：

∞

∪j=1E(∣fj−

B1=

1f∣≥k)1f∣≥k)

.

B2=

∞

∪j=2E(∣fj−

⋯

有： B1⊃B2⊃B3⋯

1

∞∞∞

m(∩J=1∪j=JE(∣fj−f∣≥k))=m(∩J=1BJ)

limlim

=m(J→∞BJ)=J→∞m(BJ)=0

由上分析得知，BJ 的测度极限为0，因此我们能在 N 中，找到⼀组序列 ：

J10，有

δ

m(BJ1)<2δ

m(BJ2)<22δ

m(BJk)<2k

⋮.

于是将它们并起来，有：

∞∞

∪k=1∪j=Jk

∞

∪k=1BJk

=

1

E(∣fj−f∣≥k)

∞

.

∞

m(∪k=1BJk)

∑δ

≤k=12k=δ

令

1

Eδ=E∖=E∖E(∣fj−f∣≥k)

1

∞∞

=∩k=1∩j=JkE(∣fj−f∣∞

∪k=1BJk

∞∞

∪k=1∪j=Jk

因此，在 Eδ 上，对于 ∀ϵ>0（ ⽐如：ϵ=k），则必有 j>Jk 使

1

∣fj(x)−f(x)∣<ϵ

⽽ m(E∖Eδ)<δ，满⾜⼏乎⼀致收敛定义要求。

⼏乎⼀致收敛定义：

设 E 是可测集，若 ∀δ>0,∃Eδ⊂E，使得 m(E∖Eδ)<δ，在 Eδ 上，fk⇒f ⼀致收敛，则称 {fk(x)} 在 E 上⼏乎⼀致收敛到 f，记作 fk

a.u.

f。

（证毕）⼩结：

我在理解这段证明时，⼀直是不知所云，反复看了多次，仍然⼀头雾⽔。只好每天抄⼀到两次，当抄到第10次时，我总算是开窍了。此前的证明，关键在于：

1

m(limj→∞E(∣fj−f∣≥k))=0

1

即 E(∣fj−f∣≥k) 的集合上界的测度为0，⽽这恰恰是“⼏乎处处收敛”题设条件所提供的结论。