向量在高中数学中的作用

向量在高中数学中的作

用

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向量在高中数学教学中的作用

作为新课程改革，高中数学教材的两个显着变化就是“向量和导数”的引入.其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性.但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”.，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵.

对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴.如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”.那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？ （1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”.

([0,])2的求法的新认识： 1．1线线角

我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为[0,]），即

识这个公式呢？如图，

BO b  OO a B1O

e的数量积

cos|cosa,b||ab|a||b|||ab||a||b|,我们能否加以重新认

BO

b A

a)B1O

 OO a

A

BO b  OO (B 1)O a

|OB1||OB1||OB||b|，此时OB1可以cosA

看作是b与a方向上的单位向量

be(其中e|a|，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可a||bcos|a|以理解为：1．2线面角

|b|2（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）. 的求法的新认识：

([0,])n P  A sin|cosPA,n||PAn||PA||n|

 O

（其中n为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：

n|n|sin|OP||OP||PA||PA|，此

时OP又可以看作是PA在n上的投影，即PA与n方向上的单位向量e的数量积PAe，

n|PA|(其中e|n|，故

)sin|PA|（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜

边）.

Fn1n21．3二面角的平面角([0,])的求法的新认识：

EDn1C|cos||cosn1,n2||n||n|2（其中n1与n2是两二=1面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解

|n1n2|AB|n1|cos|为：

角函数中余弦的定义：邻边比斜边）. ★三大角的统一理解：

n|n21||n2||n1||n1||n2|（这里刚好满足三

|n2n1|n||b||PA|2|n2||n1||a||n||cos|cossin|n1||n2|、 |b|、|PA|、

其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！

an|n1n2|（2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”.

空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份.教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了. 2．1点面距求法的新认识：

d|PO||PA|sin|PA||n•PA||n||PA||n•PA||n|（其中n为平面的一个法向量），

d|PAn|n|，即PA在n上

|n P 此结论重新可以理解为：

的投影，即PA与n方向上的单位向量e的数量积

O  A |n|.

2．2点线距求法的新认识： PAe(其中en)

1）新认识之一：

如图，若存在有一条与l相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的

P 平面的一个法向量n，则点P到l的距离

|n|.

2）新认识之二：

若不存在有一条与l相交的直线时， d|PAn|A O

l

我们可以先取l上的一个向量n，再利用|PO|2|PA|2|OA|2来解，即：

d2|PA|2|OA|2,而数量ＯＢ可以理解为PA在l上的向量n的投影，也即为：

|n|.

2．3异面直线间距离求法的新认识：

|OA||PAn|从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况.实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！

如图所示：若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离.

C A B D l2 l1 略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造三个向量AC,BD,CD，记与两直线的公垂线共线的向量为n,则由

ACn0与BDn0,得n,则它们的距离就

d|CDn可以理解为：CD在n上的投影的绝对值，即： ★三大距离的统一理解:

d|PAn|n|（点面距）、

|d|CDn|n|（异面距）、

||n|.

n|d|PA|n|（点线距之

|一）、

|n|（点线距之二）、

其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用. d2|PA|2|OA|2且

|OA||PAn|由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！