几种概率分布高阶原点矩的计算

第３１卷第９期　Ｖｏ１．３ｌ　Ｎ０．９　重庆工商大学学报（自然科学版）　Ｊ　Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｏｌ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｕｎｉｖ．（Ｎａｔ　Ｓｃｉ　Ｅｄ）　２０１４年９月　Ｓｅｐｔ．２０１４　文章编号：１６７２－０５８Ｘ（２０１４）０９－０００１—０５　几种概率分布高阶原点矩的计算木　姜培华　（安徽工程大学数理学院，安徽芜湖２４１０００）　摘　要：首先通过巧妙利用贝塔分布、Ｆ分布与ｔ分布三者之间的关系，推导给出三大抽样分布高阶原　点矩的计算公式；其次借助递推关系、－－４展开式和伽玛积分推导出正态分布、威布尔分布和对数正态分布　高阶原点矩的计算公式；最后利用上述公式给出这些分布的数学期望和方差的一些相关推论．　关键词：贝塔分布；　分布；Ｆ分布；正态分布；威布尔分布；对数正态分布；原点矩　中图分类号：０２１２．１　文献标志码：Ａ　正态分布又称高斯分布，是概率统计中最重要的分布之一，很多统计推断都是基于正态分布的假设，以　标准正态分布为基石而构造的“三大抽样分布”在实际中有着广泛的应用，这三个概率分布不仅有明确的背　景，而且其密度函数有明显的表达式．威布尔分布和对数正态分布是两种重要的寿命分布，威布尔分布在可　靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式，被广泛应用于各种寿命试验　的数据处理．对数正态分布常用于刻画绝缘材料的寿命和设备故障的维修时间．高阶矩是随机变量的重要数　字特征，它在金融投资、保险和数据传输中都有着重要的应用，是求变异系数、偏度和峰度系数等其他特征　的前提，更是参数估计和统计推断的基础，因此高阶矩的计算尤为重要．文献［１－７］重点研究了几类离散型　分布的高阶原点矩的计算，如二项分布、负二项分布、泊松分布、几何分布和超几何分布等．此处考虑六类连　续型分布（　分布、Ｆ分布、卡方分布、正态分布、威布尔分布、对数正态分布）的高阶原点矩的计算，并给出其　精确的计算表达式．　１预备知识及引理　定义１［　称函数　．＋００　Ｆ（　）＝Ｊ　Ｘａ－Ｉｅ　ｄｘ　ｄ　０　为伽玛函数，其中参数ａ＞Ｏ．伽玛函数具有如下性质：　（１）Ｆ（１）＝１，Ｆ（１／２）＝√１Ｔ；　（２）Ｆ（　＋１）＝ａＦ（　），当　∈Ｎ时，有ｒ（ｎ＋１）＝ｎＦ（ｎ）：ｎ！．　收稿日期：２０１４—０１－１６；修回日期：２０１４—０４—２８．　基金项目：国家自然科学基金（１１２２６２１８）；安徽省自然科学基金（１２０８０８５ＱＡ０４）；２０１２年地方高校国家级大学生创新创　业训练计划项目（２０１２１０３６３１２２）．　作者简介：姜培华（１９７９－），男，山东曹县人，讲师，硕士，从事概率统计和随机过程研究．　２　重庆工商大学学报（自然科学版）　第３１卷　定义２　Ｅ。　若随机变量Ｘ的密度函数为　）＝　一　（１一　）　一ｌ，。＜　＜１　则称　服从贝塔分布，记作Ｘ～Ｂｅ（ａ，６），其中ａ＞Ｏ，ｂ＞Ｏ都是形状参数．　定义３若随机变量Ｘ具有密度函数　：ｆ号（　）￣－ｌｅｘｐ［一（　门，　≥　【０，　＜　则称Ｘ服从三参数威布尔分布，记为　～　（　，ｍ，．，７），其中　，ｍ，７／＞０，分别为其位置、形状和尺度参数．　定义４［　若随机变量Ｘ具有密度函数　…ｊ『　眈ｐｅｘｐ［一＿　］，）＇　，＞００　【　０，　ｙ≤０　则称Ｘ服从对数正态分布，记为　一　（　，　），其中　，ｍ，ｒ／＞Ｏ，分别为其位置、形状和尺度参数．　引理１　若　～ｔ（　），则叼＝　一Ｆ（１，ｋ），其中ｋ为自然数．　引理２　加　若　～Ｂｅ（口，６），则叼＝ｂ￣／ａ（卜　）～Ｆ（２ａ，２６），其中２ａ，２ｂ为自然数．　２三大抽样分布与正态分布高阶矩的计算　随机变量高阶矩的计算本质上是分析学中的定积分问题，对于阶数较低密度函数简单的变量而言，计　算其矩并不困难．在阶数较高，分布的密度函数较为复杂的情形下，若直接用定义法求解随机变量的高阶矩　很困难，甚至无法实现．这时可以考虑概率分布之间的关系，将密度函数复杂的随机变量高阶矩的计算转化　为密度函数简单的随机变量函数的高阶矩进行计算，这样可以起到化繁为简，同时也为高阶矩的计算提供　一种新思路．　定理１若随机变量　～　（七），则对ｒ＜ｋ，有　０，　ｒ为奇数　Ｅ（Ｔ　）：　￣兰　／丌Ｆ（ｋ／２）　，　数　兵甲，ｌｌ（。）表不侧均凼数．　证明　由于ｔ（ｋ）的密度函数为偶函数．由对称性知，当ｒ为奇数时，Ｅ（Ｘｒ）＝０．由引理１知　～Ｆ（１，ｋ），　再利用引理２可知，　可以表示为　＝　，其中随机变量　一Ｂｅ（１／２，ｋ／２），当ｒ为偶数时，　Ｅ（　）＝Ｅ［（　）　］：』　（　）　２　（　）　＝　∥ｚ　ｒ（／２）Ｆ（１ｋ　／２）Ｊｆ　　孚一ｔ（卜　）　一・　：～　ｏ　２　Ｆ［（｜ｌ｝＋１）／２］　Ｆ［（ｒ＋１）／２］Ｆ［（ｋ—ｒ）／２］一　ｒｆｋ／２　Ｆｆ　１／２）　ｒ『ｆ　ｋ＋１、／２］　第９期　姜培华：几种概率分布高阶原点矩的计算　３　∥ｚ！　±　２　型！　二１２　Ｉ　ｒ（ｋ／２）　综上所述，定理１成立．　推论１　若随机变量Ｔ￣ｔ（｜ｊ｝），则其期望和方差分别为　Ｅ　）　Ｖ　Ｚ　＞２一—ｋ　—＿——－—…，　２’　：．　一上定理２若随机变量Ｆ　Ｆ（ｋ，ｍ），则当一　ｋ＜ｒ＜詈，有　，＞　　一～　　…：　（兰二：！　，其中随机变量亭一日ｅ（ｋ／２，ｍ／２），从而可得　其中，Ｆ（・）表示伽玛函数．　ｕＩ　）　ｃ　，ｄ　＝　；・　１２　１　Ｆ［（ｋ＋ｍ）／２］　证明　ＣａＰＩｔＡ　２可知，Ｆ可以表示为Ｆ＝　Ｅｃ　Ｆ　，：　（　．　告＋ｒ一　ｃ　一　詈一ｒ一　ｄ　＝　ｋｒＦ（ｋ／２）Ｆ（ｍ／２）　［！　±　２　］．　二１２：　：！！　±　２　１　二１２　ｋ　Ｆ（ｋ／２）Ｆ（ｍ／２）　故定理２成立．　推论２若随机变量Ｆ—Ｆ（ｋ，ｍ），则其期望和方差分别为　：一　：瑶　ｒ＋∞　ｒ＋∞　＇一ｒｔ／　ｎ　一　，其中，ｒ（・）表示伽玛函数．　证明在定理２中分别令ｒ＝１，２，再利用公式ＶａｒＸ＝Ｅ（Ｘ２）一（　）　即可得证．　定理３　若随机变量　（ｎ），则对ｒ＞一号，有Ｅ（　）＝　证明　由于　１／２），从而可得　（ｎ），又因自由度为ｎ的卡方分布即为参数为（ｎ／２，１／２）的伽玛分布，即Ｇａ（ｎ／２，　Ｅ（Ｘ　）　ＪＪ　０　：（　）　Ｊ　ｌ‘　０　　Ｚｎ／　　Ｊ　Ｔ－］ｅ－Ｔ＝　…ｅ　＝　・　＝　故结论成立．　定理４若随机变量Ｙ～Ｎ（ｇ，　），则对ｋ∈Ｎ有　Ｅ（　）：圭　其中，Ｅ（　）为标准正态分布的ｒ阶原点矩，并且　．，　ｒ）　ｒ为奇数　Ｅ（Ｘｒ）：Ｊ　０，　４　重庆工商大学学报（自然科学版）　第３ｌ卷　证明先求标准正态分布的高阶矩．由于Ｎ（０，１）的密度函数为偶函数，由对称性知，当ｒ为奇数时　Ｅ（Ｘ　）＝０；当ｒ为偶数时，　击　＋　其中　＿１）　ｒｅ　）　（ｒ一１）Ｅ（Ｘ　一　）＝…＝（ｒ一１）（ｒ一３）…３Ｅ（Ｘ　）＝（ｒ一１）（ｒ一３）…３・１　再求Ⅳ（　，　）的高阶矩．对Ｙ进行标准化，令　：（Ｙ－Ｉｚ）０－－１则　＝（Ｙ－ｉｔ）　～一Ｎ（Ｏ，１），从而可得　］　圭＝　０　Ｉ、ｒ　　０，　妻ｒ＝　０　、　ｒ　，　ｒ为奇数　Ｅ（　，）：ｆ　３　两大寿命分布高阶矩的计算　威布尔分布和对数正态分布是两种重要的寿命分布，威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适　用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理．对数正态分布常用于　刻画绝缘材料的寿命、设备故障的维修时间和家庭中两个孩子的年龄之差．　定理５设　服从参数为（　，ｍ，７７）的三参数威布尔分布，则对ｋ∈Ｎ有　ｒ（去＋　）　其中，ｒ（・）表示伽玛函数．　证明　因　一　（　，ｍ，叼），由定义３的密度函数可知　：　号（　）一　唧［一（　门ｄ　ｉ＋ｍ－ｌｉ＝０　（Ｉｘ＋￣ＩＹ）ｋｍｙｍ－１ｅ－ｙｍ　ｅ－ｙｍｄｙ　毫（：）叼　一　：　ｚ　一ｌｅ一　ｃ　ｚ＝毫（：）叼　一　ｒ（　＋　）　注１）在　（　，ｍ，　）分布中，若取ｍ＝１，则可得双参数指数分布Ｅｘｐ（￣，７／）的高阶原点矩的计算公式；　２）在　（　，ｍ，叼）分布中，若取ｍ＝１，／ｚ＝Ｏ，则可得指数分布Ｅｘｐ（叼）的高阶原点矩的计算公式；　３）在　（　，ｍ，’７）分布中，若取ｍ＝２，／ｘ＝０，则可得瑞利分布高阶原点矩的计算公式．　推论３若随机变量　一　（　，ｍ，叼），则其期望和方差分别为　Ｅｃ　＝　＋叼ｒ（　＋　）；Ｖａｒ　＝ｒ／２（ｒ（　＋　）一ｒ　（　＋－））　定理６设　～ＬＮ（ｔｚ，ｏ＂￣），则对　∈Ｎ有，Ｅ（Ｘ　）＝　１　一．　证明　因　一　（　，ｏｒ　），由定义４的密度函数可知　Ｅ　ｃ　１唧卜　卜　坠　１唧卜　‘　第９期　姜培华：几种概率分布高阶原点矩的计算　５　＋　２　。　ｊ—　ｐ｛＿　２　ｒｏ半　　｝　推论４若随机变量Ｘ￣ＬＮ（ｉｘ，ｏｒ　），则其期望和方差分别为　Ｅ（　）：　＋　１　ｕ　２；Ｖａｒ（　）：ｅ２ｌｔｔ＋ｔｒ２（ｅ　一１）　４结束语　综上，运用概率分布之间的关系，借助已有分布高阶矩的结果，可以将密度函数复杂的随机变量高阶矩　的计算转化为密度函数简单的随机变量函数的高阶矩计算，这样就使得积分化繁为简，化难为易，开阔了思　路．在“概率论”专业课程的教学中，任课教师在讲到相关内容时可以启发学生联想、对比和分析以前所学的　概率分布，引导学生多学善思去寻求解法的创新，这样有助于学生加深对概率论统计知识的掌握和理解，从　而激发学生的创造力和学习兴趣．　参考文献：　［１］杨青，陈光曙．关于二项分布、Ｐｏｉｓｓｏｎ分布和几何分布高阶的递推公式［Ｊ］．大学数学，２００９，２５（４）：１０３—１０８　［２］王新利，陈光曙．几何分布与负二项分布高阶的递推公式［Ｊ］．高等数学研究，２０１１，１４（２）：１５—１６　［３］朱振广，张志文．求解Ｐｏｉｓｓｏｎ分布和二项分布高阶的代数方法［Ｊ］．辽宁工学院学报，２００５，２５（１）：６８—７０　［４］魏孝章．关于几何分布的高阶原点矩的探讨［Ｊ］．数学通报，２００６，４５（８）：６１－６２　［５］徐晓岭，费鹤良，王蓉华．几何分布的两个特征［Ｊ］．应用概率统计，２００６，２２（１）：１０—２０　［６］于晶贤，李金秋．泊松分布高阶原点矩的两种计算方法［Ｊ］．数学的实践与认识，２０１０，４０（２１）：２２１－２２４　［７］于晶贤．一类离散型随机变量高阶原点矩的递推计算方法［Ｊ］．科学技术与工程，２０１０，１５（１５）：３６８１—３６８３　［８］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版社，２０１１　［９］郑明，陈子毅，汪嘉冈．数理统计讲义［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００５　［１０］茆诗松坝叶斯统计［Ｍ］．北京：中国统计出版社，１９９９　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒ　Ｏｒｉｇｉｎ　Ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｓｅｖｅｒａｌ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ　ＪＩＡＮＧ　Ｐｅｉ－ｈｕａ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｎｈｕｉ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｎｈｕｉ　Ｗｕｈｕ　２４１０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒ　ｏｒｉｇｉｎ　ｍｏｍｅｎｔ　ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｆｏｒ　ｔｈｒｅｅ　ｓａｍｐｌｉｎｇ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ　ｂｙ　ｓｋｉｌｌｆｕｌｌｙ　ｕｓｉｎｇ　ｂｅｔａ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，Ｆ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒ　ｏｒｉｇｉｎ　ｍｏｍｅｎｔ　ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｆｏｒ　ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，Ｗｅｉｂｕｌｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｌｏｇａｒｉｔｈｍ　ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｂｙ　ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ，ｂｉｎｏｍｉｎａｌ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｇａｍｍａ　ｉｎｔｅｇｒａｌ，ａｎｄ　ｆｉｎａｌｌｙ　ｓｏｍｅ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｖａｒｉａｎｃｅ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ｆｏｒｍｕｌａ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｂｅｔａ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ；ｔ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ；Ｆ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ；ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ；Ｗｅｉｂｕｌｌ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ；ｌｏｇａｒｉｔｈｍ　ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｏｒｉｇｉｎ　ｍｏｍｅｎｔ　责任编辑：李翠薇