第7讲 概率分布方法

一.排列与组合1. 排列选排列：从n个不同的元素中，每次任取k个(kn)不同元素按次序排成一列，称为选排列，其排列种数记为 P，knn!即 Pn(n1)(n2)(nk1) (nk)!kn全排列：从n个不同的元素中，每次取 n个不同元素按次序排成一列，称为全排列，其排列种数记为Pnnnn，即 Pn(n1)(n2)21n! 4

2013年7月23日

1.排列有重复的排列：从n个不同的元素中，每次取k个(kn)元素，可以重复，按次序排成一列，这种排列称为有重复的排列，其排列种数为 Pkn~nk(kn)。 不尽相异元素的全排列：如果在 n个元素中，分别有n1,n2,,nm个元素相同，且n1n2nmn，则这 n个元素的全排列称为不尽相异元素的全排列，其排列种数为 n!P~ nn1!n2!nm!n5

2013年7月23日

一.排列与组合2 . 组合无重复组合：从n个不同的元素中，每次任取k个 (kn)不同元素，不考虑其次序组合成一组，称为组合，其组合数记为Pn!nkkCCn，或，即nk(nk)!k!k!kn(kn),且Cn01。 多组组合：把n个不同的元素分成 m组 (mn)，第i组中有ni(i1,2,,m)个不同元素，且n1n2nmn， 其组合数为 Cn1,n2,,nmnn! n1!n2!nm!6

2013年7月23日

二.事件与概率1. 随机试验与事件•试验:对自然现象进行一次观察或一次科学试验。

•随机试验:如果试验可以在相同条件下重复进行多次，而且每次的试验结果事前不可预知，但可以知道所有可能出现的结果。则称它为一个随机试。•随机事件:将随机试验的结果称为随机事件。必然事件:在每次试验中必然要发生的事件，记为， 不可能事件: 在每次试验中不可能发生的事件，记为. 7

2013年7月23日

1. 随机试验与事件如果A,B,Ai(i1,2,,n)为事件，则有下列关系： （1）包含事件：如果AB，则称事件A包含于事件B，即它表示事件A发生必导致事件B发生。 （2）相等事件：AB当且仅当AB，且BnA。 （3）和事件：事件AB（或AB），表示事件A与事件B至少有一个发生。一般的，事件AAAAi12ni1表示事件A1,A2,,An中至少有一个发生。 8

2013年7月23日

1. 随机试验与事件（4）差事件：事件AB表示事件A发生，而事件B不发生。 （5）积事件：事件AB（或AB），表示事件A与B同时发生。一般的，事件AAAA，表示事件i12ni1nA1,A2,,An同时发生。 9

2013年7月23日

1. 随机试验与事件（6）互不相容事件：事件AB表示在一次试验中事件A与B不可能同时发生。 （7）对立事件：事件AB，且AB，表示事件A与B不可能同时发生，但又必然有其中之一发生，记为BA或AB。 10

2013年7月23日

二.事件与概率2.概率与条件概率事件的概率：刻画事件发生可能性大小的数量指标。事件A的概率记为P(A)，并概率具有下列性质： （1）对任一个事件A都有0P(A)1； （2）P()1； （3）P()0 ； （4）P(A)1P(A)； （5）若事件A1,A2,,An互不相容，则 P(Ai)P(Ai)。 i1i111

2013年7月23日

nn2. 概率与条件概率条件概率：在“事件B发生”条件下事件A发生的概率，P(AB)记为P(AB)。若P(B)0，则有P(AB). P(B)（1）若事件A1,A2,,Ann互不相容，且nP(Ai)0(i1,2,,n)，则对任一事件BAi有 i1P(B)P(Ai)P(BAi) i1---全概率公式。 12

2013年7月23日

2. 概率与条件概率（2）若事件A1,A2,,An互不相容，且P(Ai)0(i1,2,,n)，则对任意事件BAi有逆概率公式： i1nP(AiB)P(Ai)P(BAi)P(A)P(BA)iii1n(i1,2,,n) 132013年7月23日

二.事件与概率3. 统计概率与几何概率统计概率：假设在同一条件下进行n次试验，事件为 A发生了m，则事件A发生的概率定义A出现的次数mP(A) 试验的总次数n称之为统计概率。 142013年7月23日

3 . 统计概率与几何概率几何概率：假设区域S以及其中任一个可能出A(S)都是可以度量的，其大小分别为(S)和(A)，则事件A发生的概率为 (A)P(A) (S)现的子区域这样计算的概率称为几何概率。 152013年7月23日

三.随机变量与分布函数1.一维随机变量与分布函数随机变量：用数值表示的随机事件的函数。

分布函数：设为一随机变量，对任意的实数x有函数 F(x)P(x)P(x) 称为随机变量的分布函数。 对任意两个实数x1,x2(x1x2)，则有 P(x1x2)F(x2)F(x1) 16

2013年7月23日

1.一维随机变量与分布函数如果随机变量所有取值有限个或可列无穷个数值，则这种随机变量为离散型随机变量。非离散型的随机变量，则称为连续型的随机变量。 如果为离散型随机变量，所有的取值为xk,k1,2,，则称P(xk)pk,k1,2,为随机变量的分布列，其相应的分布函数为 F(x)xkxp17

k。 2013年7月23日

1.一维随机变量与分布函数如果为连续型随机变量，则分布函数定义为 F(x)xf(x)dx, 其中f(x)为一个非负可积函数，称之为随机具有下列性质： 变量的分布密度，或密度函数。 （1）f(x)0； （2）f(x)dx1； （3）P(ab)F(b)F(a)baf(x)dx； （4）当f(x)为连续函数时有F(x)f(x)。 18

2013年7月23日

三.随机变量与分布函数2. 随机变量的数学期望与方差（1）数学期望设为离散型随机变量，其分布列为P(xk)pk,k1,2,，如果级数xk1kpk收敛，则称xkpk为随机变量k1的数学期望，记为E，即Exk1kpk。 2013年7月23日

19

2. 随机变量的数学期望与方差（1）数学期望设为连续型随机变量，其分布密度函数为 f(x)，如果xf(x)dx收敛，则称xf(x)dx为随机变量的数学期望，记为E，即Exf(x)dx。 202013年7月23日

2. 随机变量的数学期望与方差（2）方差设为一个随机变量，如果E(E)存在，则称其值为 的方差，记为D。且 2DE(E)E(E) 若为离散型随机变量，且P(xk)pk,k1,2,，则有 D222(xk1kE)pk 2若为连续型随机变量，且分布密度为f(x)，则有 D(xE)f(x)dx 21

2013年7月23日

2四.常用的概率分布及数字特征（1）两点分布： 设随机变量只取0或1两个值，它的分布列为P(k)p(1p),k0,1，则称 服从于两点分布，且Ep,Dp(1p)。 （2）二项分布： 设随机变量 可能的取值为0,1,2,,n，且分布列为 k1kP(k)Cp(1p),k0,1,2,,n 则称服从于二项分布，且Enp,Dnp(1p)。 22

2013年7月23日

knk1k四.常用的概率分布及数字特征（3）泊松（Poisson）分布： 设随机变量 可取所有非负整数值，且分布列为 e,k0,1,2, P(k)k!其中0，则称服从于泊松分布，且E,D。 1,x[a,b]设为连续随机变量，其分布密度为f(x)ba， x[a,b]0,ab12则称服从[a,b]上的均匀分布，且E ,D(ba)。21223

2013年7月23日

k（4）均匀分布：

四.常用的概率分布及数字特征（5）正态分布： 若随机变量分布密度函数为 222则称服从于正态分布N(,)，记为~N(,). 分布函数为 F,(x)其中E(),D()。 2f,(x)1e(x)222， 21xe(y)222dy， 特别地，当0,1时，称其为标准的正态分布，记为~N(0,1)。 24

2013年7月23日

四.常用的概率分布及数字特征（6）-分布(n)： 若n个相互独立的随机变量1,2,,n都服从于N(0,1)，则n22k12k服从于自由度为n的 -分布， 22记为~(n), 其分布密度函数 为： 1xe,x0nnf(x)22, 20,x0n2x2且E()n,D()2n。 25

2013年7月23日

四.常用的概率分布及数字特征（7）t-分布t(n)： 设随机变量 ~N(0,1)，~(n)，则T2n服从于自由度为n的t-分布，记为T~t(n). n1n122x2其分布密度函数为fT(x) 1nnn2n且E(T)0,D(T)。 n226

2013年7月23日

四.常用的概率分布及数字特征（8）F-分布：22m设随机变量~(m)，~(n)，且相互独立，则Fn服从于自由度为m及n的F-分布，记为F~F(m,n)。 mnm12mn2x22mn,x0 其密度函数为 fF(x)mmnn(mxn)2220,x02n2n(nm2)且E(F)(n2),D(F)(n4)。 2n2m(n2)(n4)27

2013年7月23日

四.常用的概率分布及数字特征（9）二维正态分布： 设二维随机变量(,)的联合分布密度函数为 f(x,y)12221r2 221(x1)(x1)(x2)(x2)exp2r2221222(1r)1其中1,20,1,2均为常数，r1，则称(,)服从于二维正态分布N(1,1;2,2;r)，且E()1,D()，21E()2,D()。 28

2013年7月23日

22五.案例分析：彩票方案的中奖率问题1. 问题提出“10选6+1”方案：

中 奖 10 选 6+1（6+1/10） 等 级 基 本 号 码 特别号码 一等奖 abcdef g 二等奖 abcdef 三等奖 abcdeX Xbcdef 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 注：X表示未选中的号码 说 明 选7中（6+1） 选7中（6） 选7中（5） 选7中（4） 选7中（3） 选7中（2） 292013年7月23日

五.案例分析：彩票方案的中奖率问题33选7：先从01～33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。 中 奖 33 选 7（7/33） 36 选 6+1（6+1/36） 等 级 基 本 号 码 特别号码 说 明 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 ●●●●●●● 选7中（7） ●●●●●● ★ 选7中（6+1） 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选7中（6+1） ●●●●●● 选7中（6） 三等奖 ●●●●●●○ 选7中（6） ●●●●●○ ★ 选7中（5+1） 四等奖 ●●●●●○○ ★ 选7中（5+1） ●●●●●○ 选7中（5） 五等奖 ●●●●●○○ 选7中（5） ●●●●○○ ★ 选7中（4+1） 六等奖 ●●●●○○○ ★ 选7中（4+1） ●●●●○○ 选7中（4） 七等奖 ●●●●○○○ 选7中（4） ●●●○○○ ★ 选7中（3+1） 注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。 30

2013年7月23日

序 奖项 号 方案 1 6+1/10 2 6+1/10 3 6+1/10 4 6+1/10 5 7/29 6 6+1/29 7 7/30 8 7/30 9 7/30 10 7/31 11 7/31 12 7/32 13 7/32 14 7/32 15 7/33 16 7/33 17 7/34 18 7/34 19 7/35 20 7/35 21 7/35 22 7/35 23 7/35 24 6+1/36 25 6+1/36 26 7/36 27 7/37 28 6/40 29 5/60 一等奖 比 例 50% 60% 65% 70% 60% 60% 65% 70% 75% 60% 75% 65% 70% 75% 70% 75% 65% 68% 70% 70% 75% 80% 100% 75% 80% 70% 70% 82% 60% 二等奖 比 例 20% 20% 15% 15% 20% 25% 15% 10% 10% 15% 10% 15% 10% 10% 10% 10% 15% 12% 15% 10% 10% 10% 2000 10% 10% 10% 15% 10% 20% 三等奖 比 例 30% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 25% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 10% 20 15% 10% 20% 15% 8% 20% 四等奖 金 额 50 300 300 300 300 200 500 200 200 500 320 500 500 500 600 500 500 500 300 500 1000 200 4 500 500 500 1500 200 300 五等奖 金 额 20 20 20 30 20 50 50 30 50 30 50 50 50 60 50 30 50 50 100 100 50 2 100 100 50 100 10 30 六等奖 金 额 5 5 5 5 5 15 10 10 20 5 10 10 10 6 10 6 10 5 30 50 20 10 10 10 50 1 七等奖 金 额 5 5 5 10 5 2 5 5 5 5 5 备 注 按序 按序 按序 按序 无特号 312013年7月23日

五.案例分析：彩票方案的中奖率问题2. 模型的假设 （1）彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的； （2）彩民购买彩票是随机的独立事件； （3）对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额； （4）用pi表示彩民中第i等奖的概率（1i7）。 322013年7月23日

五.案例分析：彩票方案的中奖率问题3. 模型建立与求解从已给的29种方案可知，可将其分为四类: K1:10选6+1(6+1/10)型; K2:n选m(m/n)型; K3:n选m1(m1/n)型; K4:n选m(m/n)无特别号型. 分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式： 332013年7月23日

3. 模型建立与求解 K1：10选6+1（6+1/10）型 1477p1210，p2810 6651051012C9295p31.810 6610101911019192CCCC2910994p42.6110 661010111111222C9C10C102C9C9C10291029103p53.4210 661010111111111112C9C10C10C103C9C9C10C10(3C9C92C9)p6106 322229103910(3929)24.199510610342013年7月23日

3. 模型建立与求解 K2：n选m(m/n)型 C1p1m，p2CCnp5Cm2mm1mmn，p3Cm1mC1n(m1)CCCmnmn，p4Cm2mC1n(m1)CCCmnmn， C2n(m1)Cmn，p6Cm3m2n(m1)，p7Cm3m3n(m1)。  K3：n选m1(m1/n)型 p1 p51CCm1nm2m，p2C1n(m1)m1nC，p3Cm1mC1n(m1)C3n(m1)m1n，p4Cm1mC2n(m1)Cm1nm1n， C2n(m1)Cm1n，p6Cm2mCC35

m1n，p7Cm3mC3n(m1)C。 2013年7月23日

3. 模型建立与求解 K4：n选m(m/n)无特别号型 m1122 p1CmCnm1Cm，p2Cm，pmCnm3CmnCm，nnm4pmC4nm5CCm。 n29种方案的具体的中奖概率如下表:

3633pmCnm4CmCm，n2013年7月23日

3. 模型建立与求解 序 号 概率 方案 p1-7 p2 -6p3 -5p4 -4p5 -3p6 -2p7 Ppii(10) 2×10-7 6.40705 6.40705 4.91207 3.80290 2.97101 2.34080 1.85887 1.48709 1.48709 1.19794 1.19794 0.97130 2.6053 1.831 （10） （10） （10） （10） （10） 0.8 4.48494 1.4096 3.43845 2.66203 2.07971 1.63856 1.30121 1.04097 29.147 3.47402 0.838556 0.679911 1.5632 0.91557 1.8 9.4184 8.4573 7.5646 6.1227 4.9913 4.0964 3.3831 2.8106 118.05 2.0844 2.3480 1.9717 5.1584 4.9437 2.61 2.8255 8.8802 2.2694 1.8368 1.4974 1.2289 1.0149 0.84318 170.51 2.9182 0.70439 0.59152 1.2896 0.98874 37

1-4 6+1/10 5 7/29 6 6+1/29 7-9 7/30 10-11 7/31 12-14 7/32 15-16 7/33 17-18 7/34 19-22 7/35 23 7/35 24-25 6+1/36 26 7/36 27 7/37 28 6/40 29 5/60 3.42 2.8255 2.2200 2.3828 2.0205 1.722 1.4747 1.2687 1.0961 106.57 0.72954 0.95092 0.82813 2.0634 2.6202 4.2309 0.47092 1.4800 0.39714 0.33675 0.28700 0.24578 0.21145 0.18269 ------- 0.65659 0.15849 0.13802 0.27512 0.26202 ----- 0.045695 0.029825 0.037742 0.019734 0.037742 0.026476 0.033137 0.023572 0.029208 0.021047 0.025832 0.018843 0.022941 0.016916 0.020436 0.015224 0.018261 --------- 0.12483 0.008755 0.016367 0.013736 0.016367 0.012422 0.014710 0.028428 0.033425 0.045416 0.050806 2013年7月23日

六.案例分析：足球门的危险区域问题1. 问题的提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位臵起脚射门对球门的威胁是不一样的。在球门的正前

方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。

z已知标准球场长104米，宽69米；球门高2.44米，宽7.32米。

38

AxBy2013年7月23日

六.案例分析：足球门的危险区域问题实际中,球员之间的基本素质可能有一定差异,但对于职业球员来讲一般可认为这种差别不大。另外,根据统计资料显示，射门时球的速度一般在

10米/秒左右。请你结合球场和足球赛的实际情况建模分析,并研究下列问题：

（1）针对球员在不同位臵射门对球门的威胁度进行研究，并绘制出球门的危险区域；

（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员

射门的威胁度和危险区域作进一步的研究。

39

2013年7月23日