2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市高一上学期期末数学质量检测模拟试题

一、单选题1．已知命题p：x1,1,0，2x10，则p的否定是（A．x1,1,0，2x10C．x1,1,0，2x10【正确答案】A【分析】利用全称命题的否定方法，改变量词，否定结论可得答案.【详解】x1,1,0，2x10的否定为：x1,1,0，2x10.故选：A.2．设集合Ann6k1,kZ，Bnn3m1,mZ，则下列判断正确的是（A．ABC．ABA【正确答案】C【分析】利用举反例可排除选项A,B,D，然后根据集合A中的元素可满足集合B中元素的表示形式，故AB，可判断C【详解】因为集合Ann6k1,kZ，Bnn3m1,mZ，所以4B，4A，所以选项A,B,D均不正确，因为Ann6k1,kZ中的所有元素可表示为n6k132k1,kZ，满足集合B中元素的表示形式，故AB，所以ABA，故C正确，故选：CB．ABAD．BA））B．x1,1,0，2x10D．x1,1,0，2x10

323．若不等式2kxkx0对一切实数x都成立，则k的取值范围是（8A．3k0C．k3或k0【正确答案】AB．3k0D．k3或k0

）32【分析】由2kxkx0对一切实数x都成立，结合函数的性质分成k0，k0讨论进行求解.82

【详解】2kxkx

3

0对一切实数x都成立，83

①k0时，0恒成立，8k0

②k0时，，解得3k0，2

Δk3k0

综上可得，3k0.故选：A.1

4．已知幂函数fx的图象过点2,2，则f等于（2

）D．A．2【正确答案】CB．4C．2214【分析】根据幂函数的定义，设出解析式，代入点可得答案.【详解】设f(x)=xa，因为幂函数fx的图象过点2,2，所以a

1，221

即f(x)x，所以f.22故选：C.5．若0a1，则函数ylogax1的图象可能是（）A．B．C．D．【正确答案】D根据函数的定义域和函数的奇偶性、结合图象变换和对数函数的单调性，即可求解.【详解】因为0a1，函数gxlogax1满足x10，解答x1或x1，即函数gxlogax1的定义域为,1U1,，排除A、B，又由gxlogax1logax1gx，所以函数gx为偶函数，所以函数gx的图象关于y对称的偶函数，当x1时，函数gxlogax1是函数ylogax的图像向右平移一个单位得到的，可排除C.故选：D.6．设aln2，blg0.2，ce0.2，则，a，b，c的大小关系为（A．acbC．cba【正确答案】D【分析】根据指数幂和对数函数的性质求出a,b,c的范围即可比较大小.【详解】依题意，因为ln10ln2lne=1，所以0a1，因为lg0.2lg10，所以b0，因为e0.2e01，所以c1，由此可知cab.故选：D.7．设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（A．cos2【正确答案】B【分析】根据的范围，求出2以及案.【详解】对于A项，由已知，的取值集合为|k360180k360270,kZ.所以，2k36036022k360360180,kZ，所以，2k136022k1360180,kZ，所以，2可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在y轴正半轴上，故A错误；B．tan

）D．cos

B．abcD．cab

）2C．sin

222的范围，根据三角函数在各个象限的符号，即可得出答对于B项，由已知，的取值集合为|k360180k360270,kZ.所以，k18090

2k180135,kZ.当k为偶数时，设k2n,nZ，则n36090此时2n360135,nZ，2位于第二象限，tan0；2当k为奇数时，设k2n1,nZ，则n360270此时2n360315,nZ，2位于第四象限，tan0.2综上所述，tan对于C项，当对于D项，当故选：B.0恒成立，故B项正确；22位于第二象限时，sin

20，故C项错误；2位于第四象限时，cos0，故D项错误.2fxfx1

08．定义在R上的奇函数fx，满足f0，且在0,上单调递减，则不等式xx2

的解集为（）11

B．x|x或x

22

11

D．xx或x0

22

11

A．x|0x或x0

2211

C．x|0x或x

22

【正确答案】B【分析】由已知化简不等式可得fx奇偶性，分别讨论求解x0以及x00.然后根据单调性、x时，不等式的解集，即可得出答案.【详解】由已知可得fxfxxx2fx2x

fxx

0.当x0时，有fx0.11

由f0，且在0,上单调递减，可知x；22

当x0时，有fx0.1

根据奇函数的性质，可推得f0，且在,0上单调递减，2

1

所以x.2综上所述，不等式故选：B.二、多选题fxfxxx11

0的解集为x|x或x.22

9．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（A．y1x）B．yxx

D．ylog21xlog21xC．yexex【正确答案】BC【分析】利用奇函数的定义和增函数的特征来判断.【详解】对于A，当x=1时，y1；当x1时，y1，不是增函数；对于B，设f(x)xx，因为f(x)xxf(x)，所以是奇函数；x2,x0

又f(x)xx2，所以f(x)为增函数，B正确；x0x,

xx

对于C，因为yxeeyx，所以是奇函数；因为yex是增函数，yex是减函数，所以yexex为增函数，C正确；对于D，定义域为1,1，因为yxlog21xlog21xyx，所以不是奇函数，D不正确.故选：BC.10．已知x,y都是正数，若xy1，则下列不等式一定成立的是（1411C．4

xy）A．xy

22B．xy12D．x11y【正确答案】ABD【分析】利用基本不等式判断ABC；消元，再根据函数的单调性即可判断D.【详解】因为x,y都是正数，xy1，xy所以xy

42



1，4当且仅当xy

1

时取等号，故A正确；2因为x2y22xy，2222所以2xyxy2xyxy21，22所以xy11

，当且仅当xy时取等号，故B正确；221111yxyxxy2224，xyxyxyxy当且仅当xy

1

时取等号，故C错误；2由xy1，得x1y，y0由，可得0y1，x1y0则x

11

1y，yy1

在0,1上都是减函数，x因为函数y1x,y所以函数y1x所以1x

1

在0,1上是减函数，x1

1111，x11所以x1y1，故D正确.yy故选：ABD.11．已知定义在R上的函数fx满足fx2为偶函数，且在2,上单调递减．则下列判断正确的是（）B．f3f0D．若faf1，则5a1

A．f4f0C．fx图象的对称轴为x2【正确答案】BCD【分析】运用偶函数性质得函数对称性可分析A项、C项，再运用函数的对称性及单调性可分析B项、D项.【详解】∵f(x2)为偶函数，∴f(x2)f(x2)，∴f(x)图象关于直线x2对称，故C项正确；∴将x2代入f(x2)f(x2)得：f(4)f(0)，故A项错误；将x=1代入f(x2)f(x2)得：f(3)f(1)，又∵f(x)在[2,)上单调递减，∴f(1)f(0)，即：f(3)f(0)，故B项正确；∵f(a)f(1)，f(x)图象关于直线x2对称，f(x)在[2,)上单调递减，∴|a(2)||1(2)|，即：|a2|3，解得.5a1故D项正确.故选：BCD.12．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14的含量为y（把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位），则下列叙述正确的是（）1A．函数解析式为y

2

1n5730，x0,1B．碳14的年衰减率为215730C．经过九个“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一4912D．在2010年，某遗址检测出碳14的残留量为55.2%log10.552，则该遗址大概是公元57302前2903年建成的【正确答案】AD【分析】根据半衰期的定义可直接得出函数解析式及衰减率，将相应的数据代入解析式即可求解.【详解】依题意，对于A：因为机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，1所以x年后体内的碳14应为原来的

21所以函数解析式为y12

所以A选项正确；x5730x5730，12

x5730，x0,，对于B：设每年的衰减率为k，原来的碳14含量为A，则有AA1k5730

A，211k573015730，解得k11，22所以B选项错误；1对于C：经过九个“半衰期”后，y

2

所以C选项错误；957305730

111，

295121000491255.2%log0.552对于D：因为碳14的残留量为1，5730215730，即log10.552x4912，所以55.2%5730573022

解得x4912，由491220102902，可知则该遗址大概是公元前2903年建成的，所以D选项正确；故选：AD.三、填空题13．函数y

x

1的定义域是A，函数ylog2x的定义域为B，则xA是xB的______条件2xx（填写充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要中的一个）．【正确答案】必要不充分【分析】先根据函数定义域化简集合A,B，再结合条件的定义来判断.【详解】由x2x0可得x0或x1，即Axx1或x0；由x0可得Bxx0；因为BA，AB，所以xA是xB的必要不充分条件.故必要不充分ππ15π

14．已知sinx，且0x，那cosx______.2646

【正确答案】115π

【分析】利用同角三角函数的关系求出cosx，再利用诱导公式转化

π5ππcosxcosπxcosx，即可求解.666【详解】因为0x，所以π1

又因为sinx0，64π2π3ππx，66所以0πππx，所以cosx66615π1sin2x，π5ππ又因为cosxcosπxcosx，666155π所以cosx.故答案为.

11

x,x0

x15．函数fx，若函数yfxm，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是x2,x0

______．【正确答案】m>2

【分析】对分段函数的每一段进行单调性分析，画出对应的图象，然后结合题意可得到fx与ym有三个不同的交点，结合图象即可求解【详解】当x0时，根据对勾函数可得fxx故此时最小值f12；1

在1,上单调递增，在0,1上单调递减，xx当x0时，根据fx2在,0上单调递减，故此时最小值f01；作出对应的图象，如图所示函数yfxm有三个不同的零点，可看作fx与ym有三个不同的交点，从图象可得到实数m的取值范围是m>2故m>2

216．若fxlogaxax（a0，且a1）在区间2,3上单调递增，则实数a的取值范围为______．【正确答案】1a2【分析】利用复合函数的单调性求解.【详解】解：令tx2ax，当a1时，ylogat是增函数，2因为fxlogaxax（a0，且a1）在区间2,3上单调递增，则tx2ax在区间2,3上单调递增，且t0在区间2,3上恒成立，则a

2，且42a0，解得1a2；2当0a1时，ylogat是减函数，2因为fxlogaxax（a0，且a1）在区间2,3上单调递增，则tx2ax在区间2,3上单调递减，且t0在区间2,3上恒成立，则a

3，且42a0，无解，2综上：1a2，故1a2四、解答题17．（1）已知sin2cos，求sincos的值；sincossinπsin（2）已知角α的终边经过点P4,3，求ππ的值.cossin22sincos3

3（2）【正确答案】（1）sincos4【分析】（1）直接将题设的条件代入问题即可化简；sinπsin2πsinsintan（2）利用诱导公式化简，再根据正切函数的定义sincosππcossin22即可求解.【详解】（1）由题知所以sincos2coscos3cos

sincos2coscoscossincos3；sincossinπsin2πsinsintan（2）由诱导公式可得sincosππcossin22sinπsin2π33

由三角函数的定义知tan，所以4.ππcossin42218．计算：(1)34(2)34327222322；422lg2log1002lg5lg2．3【正确答案】(1)27(2)1

【分析】（1）直接运用幂函数运算法则即可求解；（2）直接利用对数函数运算法则即可求解.【详解】（1）依题意，3434327222322433

233222222433222（2）2222222312227

4272

422lg2log1002lg5lg234lg2lg2lg5lg2lg5lg23lg100



4lg243lg25

lglg2lg5lg2

32322555

lg22lglg41222

2lg2lg

x

19．已知函数fxlog331kxkR是偶函数．(1)求k的值；(2)设函数gxfx【正确答案】(1)k

1

x，判断gx在定义域内的单调性，并给出证明．212(2)减函数，证明见解析【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）利用单调性的定义求解即可.【详解】（1）因为fx为偶函数，且定义域为R，所以对于xR，fx=fx，xx

即log331kxlog331kx对xR恒成立，3x1所以2kxlog331log331log3xlog33xx恒成立，311

因为x不恒为零，所以k.2xx3x11

（2）由题知gxlog331xlog331log33log3xlog31x33xxx

为减函数，

下证明：任取x1,x2R，且x1x2，1x1113则gx1gx2log31x1log31x2log3，1331x231

1

11113x11x1x20110因为033，所以x1，故，即，133x23x13x2

1x231

1x130，即gx1gx2，则gx1gx2log311x231所以gx在R上为减函数.20．（1）已知二次函数yx2bxc的图象与y轴交于点A0,3，与x轴的两个交点的横坐标x1，x2的平方和为15，求该二次函数的解析式．2（2）在（1）条件下，当b0时，求一元二次不等式axabxc0aR的解集．【正确答案】（1）yx23x3或yx23x3；（2）答案见解析22【分析】（1）由题意可得c3，x1x215，然后利用韦达定理可求得b3，即可求解；2

（2）将b3，c3代入不等式可得axa3x30，先求出对应方程的根，然后分a0

和a0两种情况进行讨论即可22

【详解】（1）由题知c3，x1x215．因为x1，x2是方程x2bxc0的两根，则由韦达定理得x1x2b，x1x2c3．2x1x22x1x2，又x12x222故b615，解得b3．所以，函数的解析式为yx23x3或yx23x3．（2）由（1）可知b3，c3，2一元二次不等式可化为axa3x30aR．2

由题知a0，则二次方程axa3x30，可化为ax3x10，解得x1，或x3．a当a0时，有当a0时，若33

01，原不等式的解集为xx或x1．aa

31，即a3时，原不等式的解集为．a331，即a3时，原不等式的解集为xx1．aa31，即a3时，原不等式的解集为x1xa

3

．a

若若3

综上所述，当a0时，原不等式的解集为xx或x1；a

当a3时，原不等式的解集为；3

当a3时，原不等式的解集为xx1；a

当0

3．a

21．为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p4

3

（其x1中0xa，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本102p万元（不含促销费用），产品的20销售价格定为5元/件．假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．p(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【正确答案】(1)y22x(2)答案见解析.【分析】（1）根据已知可推得y3px10，代入p4

3

，化简即可得出结果；x19

0xa；x1（2）当a2时，根据基本不等式即可求出最大值；当0a2，先根据单调性的定义得出9y23x1在0,a上的单调性，即可得出最大值.x120

【详解】（1）由题意知，y5px102p3px10，p

将p4

3

代入化简得，x190xa．x1y22x992x16x1x19

当且仅当x1，即x2时，等号成立．x19923x1所以（ⅰ）当a2时，y22x232x1x1（2）因为x1

x1917，x19

，即x2时，等号成立；x19923x1（ⅱ）当0a2时，y22xx1x19

设tx1，1ta13，ft23t.t

当且仅当x1

1t1,t23，且t1t2，则ft1ft223t1

9t1tt99

23t2t2t112.ttt122

因为1t1,t23，且t1t2，所以ft1ft20，所以ft1ft2，所以，函数ft23t

9

在1,3上单调递增，t9所以，y23x1在0,2上单调递增，x19所以，y23x1在0,a上单调递增.x19

所以，当xa时，y取最大值为22a．a1

综上，当a2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大为17万元；9

当0a2时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为22a万元．a1

xx

22．设函数fx22xR．xx

(1)若存在x0,1，使得2fx42m0成立，求实数m的最大值；xx

(2)设函数hx22，gxfxh2x2，若gx在1,上有两个零点，求实数的取值范围．【正确答案】(1)11；25(2)4,.6

【分析】（1）分离参数可得，m2x42x1.换元求出y2x42x1的最大值，即可得出22答案；（2）代入整理可得，gx2x2x2x2x4.换元t2x2x，原题可转化为t在t

24

t

3443

时有两个解.根据函数yt的单调性，作出函数yt在,上的图象，根据图2tt2

象，即可得出答案.【详解】（1）由题意得m2x42x1，2设k2x，则1k2．令yk24k1k25，显然函数yk24k1在区间1,2上为增函数，所以当k2时，函数取得最大值ymax11，所以，m的最大值为11．xx2x2x（2）由题知gx222222x2x2x2x2

4.2设t2x2x，当x1时，函数t2x2x为增函数，则t2若ygx在1,有两个零点，即gx2x2x2x2x13.224tt

223

40在,上有两个解，2

43

由tt24，得t，t.t23

t1,t22，且t1t2，2则ft1ft2t1

4t1tt44

t2t1t212.ttt122

因为1t1,t22，且t1t2，所以ft1ft20，所以ft1ft2，所以，函数yt

43

在,2上单调递减.t2

4

在2,上单调递增.t32同理可证函数yt

则t2时，ymin4，又t时，y作出函数yt

25．3

在,上的图象t2

根据函数的图象可知，当4

2

时，y与yt的图象有两个交点，满足题意．6t25因此，实数的取值范围是4,．6方法点睛：已知函数在区间上零点的个数，求参数的取值范围时，往往进行适当变形，转化为求函数交点个数的问题.常根据函数的性质作出函数的图象，通过图象，得到参数的取值范围.