天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义：第五讲：线段和角

线段 线段性质 直线 直线性质 角的分类 周角 射线 角 角的比较、度量和画法 角平分线 定义 相关角 余角和补角 性质 同角（或等角） 的余角相等 两点间的距离 线段的比较和画法 线段的中点 平角 直角 锐角 钝角 同角（或等角） 的补角相等

二、典型问题：

（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段

2 1

3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 „„

nn1 n 1+2+3+ „ +(n-1)= 2

问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（ D ）个

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

拓展：1、 在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？

射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 „„

n 1+2+3+ „ +(n+1)=

2类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角

2 1

3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 „„

nn1 n 1+2+3+ „ +(n-1)= 2

类比联想：如图，可以得到多少三角形？

（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：

文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

AMBn1n2

图形语言：

几何语言： ∵ M是线段AB的中点

1 ∴ AMBMAB，2AM2BMAB

2典型例题：

1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（ D ）

11（A）AP=AB （B）AB＝2PB （C）AP＝PB （D）AP＝PB=AB

2212．若点B在直线AC上，下列表达式：①ABAC；②AB=BC；③AC=2AB；

2④AB+BC=AC．

其中能表示B是线段AC的中点的有（ A ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

13.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB

2中, 能表示C是AB中点的有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= ______ MN． 分析：据题意画出图形 MRPQN设QN=x，则PQ=x，MP=2x，MQ=3x，

3x3MR23所以，MR=x ，则

2MN4x8

5．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ） AMBCNDA 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b 分析：不妨设CN=ND=x，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b

因为AD=AM+MN+ND 所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b

（三）与角有关的问题

1． 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠

BOC=200，

则∠AOC=____80°或40°________度（分类讨论）

2． A、O、B共线，OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线，猜想∠ MON的度数，试证明你的结论． 猜想：_90°______

证明：因为OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线

11 所以∠MOC=∠AOC ，∠CON=∠COB

22因为∠MON=∠MOC+∠CON

111所以∠MON=∠AOC +∠COB=∠AOB=90°

222

AMCNOB3．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，

∠COF34，

求∠BOD的度数．

分析：因为∠COE是直角，∠COF34，

所以∠EOF=56° 因为OF平分∠AOE 所以∠AOF=56°

因为∠AOF=∠AOC+∠COF

所以∠AOC=22°

因为直线AB和CD相交于O点 所以∠BOD=∠AOC=22°

4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB， （1）若∠A = 60°，求∠O；

（2）若∠A =100°，∠O是多少？若∠A =120°，∠O又是多少？ （3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论

仍成立吗？

（提示：三角形的内角和等于180°）

1答案：（1）120°；（2）140° 、150°（3）∠O=90°+∠A

2

5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

6．互为余角的两个角 （ B ）

（A）只和位置有关 （B）只和数量有关

（C）和位置、数量都有关 （D）和位置、数量都无关

7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ C ）

22分析：因为∠1＋∠2=180°，所以1（∠1＋∠2）=90°

290°-∠2= 1（∠1＋∠2）-∠2= 1（∠1－∠2）

22

A.1（∠1＋∠2） B.1∠1 C.1（∠1－∠2） D.1∠2

22