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一类两分子饱和反应系统的Hopf分支

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第26卷第5期 江 西 科 学 V01.26 No.5 2008年10月 JIANGXI SCIENCE Oct.20o8 文章编号:1001—3679(2008)05—0676—03 一类两分子饱和反应系统的Hopf分支 王元明,黄迅成 (扬州职业大学,江苏扬州225009) 摘要:本文考虑一类具有二重饱和反应速度的可逆两分子饱和反应系统,用微分方程定性分析的方法讨论系 统正平衡点的性质,用Hopf分支理论得出模型在正平衡点附近出现周期振动的参数变化范围。证明了当系 统的参数有如下关系时: =2A一(1一c)( +D)系统存在Hopf分支,同时证明了由Hopf分支所产生的周期 解的稳定性。 关键词:两分子饱和反应;平衡点;Hopf分支 中图分类号:0175.12 文献标识码:A The Hopf Bifurcation of A Bimolecular Saturated Reaction System WANG Yuan-ming,HUANG Xun—cheng (Yangzhou Polytechnic University,Jiangsu Yangzhou 225009 PRC) Abstract:We consider a class of bimolecular reversible saturated biochemical reaction system,in which the saturation is assumed multiple—saturation.Using the theory of ordinary diferential equa・ tion,the properties of hte equilibrium points in the model are discussed.We also show that the model undergoes a Hopf bifurcation when the parameters have the relationship:B:2A一(1一c)( +D), and prove that the periodic solution careated by the Hopf bifurcation is stable. Key words:Bimolecular saturated reaction,Equilibrium points,Hopf bifurcation 0 引言 中,除了Michaelis饱和反应速度 = , 文献[1]讨论了具有米氏饱和反应速度的可 还有多重饱和态(mulitple—saturation)的现象,其 逆两分子饱和反应动力系统: 反应速度为:V= +[Bo][B0]  本文在此基础上考 譬= 一xy+cy (1) 虑在该化学反应中具有二重饱和反应速度模型: 。 xy—cy一 一 +c,, 的定性行为,给出了系统(1)的极限环的存在性 dy 2 ,, (2) 和唯一性充分条件。 dt—xy-cy— 由文献[2]可知,反应速度有时对化学反应 其中,A、B、C、D均为正常数。同时,用Hopf分支 的稳定性和极限环会产生很大影响。在化学反应 定理和Dulac理论得到系统(2)Hopf分支的存在 收稿日期:2008一o5—21;修订日期:2008—08—12 作者简介:王元明(1966一),男,副教授,硕士;研究方向:动力系统与生物数学模型。 基金项目:扬州职业大学科研项目(06K14)。 第5期 王元明等:一类两分子饱和反应系统的Hop[分支 ・677・ 性和稳定性及其存在的范围。 基于系统的实际意义,只需在区域G={( , ),)Ix 0,,,≥O}上进行讨论。由于当B /4时,系 统(2)在G内无奇点,因而也就无极限环,故本文 总是假设B>A。 l 平衡点的分析 当B>A时,系统(2)有唯一正奇点M( 。, yo),其中 ( + ),Yo=ADA 0 为了讨论平衡点的性态,作变换dt=( + D)卉,仍记r为t,则系统(2)等价于下列系统: dx:(), +D)( —xy+cy ) a -1 y(3)=(,, +D)(xy—cy )一By 易计算系统(3)在平衡点M(x。,Yo)处,有 P=,,0[2A—B一(1+c)(),20+D)],q=2(B— ) (,,2o+JD)>0 所以,M(xo,Yo)为非鞍初等奇点,用定性分析方 法l3 J,容易证明。 弓I理I:(1)当B<2A一(1+C)(,,2o+D)即P >O时,M(x。,Yo)是系统(2)的不稳定的焦(结) 点;(2)当B>2A一(1+c)(y02+D)即P<0时, ( 。,Yo)是系统(2)稳定的焦(结)点。 下面用类似文献[4]的方法讨论系统(3)在 平衡点M( 。,Yo)处的Hopf分支以及由Hopf分 支产生的周期解的稳定性问题。 记R=2A一(1+c)( +D), =R—B=[2A 一(1+c)( +D)]一曰 引理2:当 =0即P=0时,M( 。,Yo)必定是 系统(2)的一阶稳定的细焦点。 证明:当P=O时,此时M(x。,Yo)为中心一焦 点的判别。 令:{ ”,对系统(3)作平移变换,得 d u=一yo(yo2+D)“+(2Cyo一 )( +D)口一 (3 +D)uv+(5Co+cD一2 0Yo) +(4cy0一X0) 3 ^ 2 3.4 一3youv—z正 + =y。( +D)“+Yo((2A一 一c(y2+ D)) +(3 +D)11,1)+[3 0Yo一6C/o—cD—B]v + 3yo11, ̄2+( 0—4 0) +m)3一ct)4 为方便计算起见,记 t:一Yo(Yo2+D),n=(2cYo一 0)( +D),s =yo(yo ̄+D),t= ((2A—B)一c(/o+D))。 令“:一÷ 一粤】S ,, = ,7: ,。 注意到 ’ =0即P=0,则系统(4)化为: 筹:一l,+ 。 + :XY+A, +A l,+A { + 6 y (5) 【 ̄-rY=x+Bl 其中, : 堕 ,A::一 3_yo:+D = , 一挚 一 =÷ 一 趔。 取形式级数:F(X,y): +P+壹Fi( , Y),其中F (X,Y)为X,Y的i次齐次多项式,系 数待定。令筹I(4)中关于 ,l,的3次齐次式为 零,可解出: F3(X,y)=一2A y一 y3+ (A +B1) X’。 将 代人F中,再令筹I( )中关于 ,Y I ̄J 4 次齐次式为零,取极坐标: =r C0¥0,Y=r sin 0, 可得 dO 一 4\: ( 。。  u 口’ IJ 口,一c):∞。£,l u 口 。。s4 +tO2COS。0sin 0+∞3COS 0sin2 0 其中, 。=一2(A。 +A,), :=2(2A;一A 一A 一 A2B1),∞3=4A1(A2+B1)o 所以,=一所以,C4=一  上 ((c。s  n0,sin ):一÷(言(3 + =÷( z ,I2A- =一 丽1 ((4 +2D)(3A一3(1+c) 一B一(1+c)h)一3 (A-3/o( +c)( +D))=一 =_ A (y ̄-D)+(1+c) 2 y20+5。))=一 Yo (), (1+c)+5(1+c)D+B一2A)。 ・678・ 江西而P=0时,有B一2A=一(1+C)(Y +D),通过 计算 一 <。 所以点M( 。,Y。)总是一阶稳定的细焦点。 2 周期解的稳定性 为了讨论由Hopf分支所产生的周期解的稳 定性,应用下面引理。 引理3:平面自治系统 = ( ,y, ) ㈠ ( ,Y)E UC_R , ∈JCR, 与】 是 ,y, 的 解析函数,且 =0时,( )以(0,O)为稳定(不稳 定)的细焦点,而 >0时,( )以(0,0)为不稳定 (稳定)的焦点,则对充分小的 >0,( )在(0, 0)点附近至少存在一个稳定(不稳定)极限环,且 当时 ,这种极限环趋于原点。若将上面条件 中 >0改成 <0(I l《1),结论仍成立 。 定理1:系统(3)在 =0即B=R时经历 Hopf分支;且由Hopf分支所产生的周期解在0< R一8《1是稳定的。 证明:由上面引理2知道当 =0即B:R时 情况下M(x。,Yo)是稳定的细焦点。而引理l得 到 >0即B<R时M( 。,Y0)是不稳定的焦点, 根据引理3当 ( 。,Yo)不稳定时,对于充分小的 >0,在M( 。,Yo)点附近至少存在一个稳定的极 限环。 3 极限环的不存在性 定理2:当 ≤max{A, }时,系统(3)无极限 环。 证明:(1)当B A时,系统(3)无平衡点,从 而系统(3)无环。 (2)当B>A时,可以取Dulac函数D:( , 科学 2008年第26卷 y)= 。对系统(2)作拓扑变换,令 = ( +D)dr,仍记dr为dt,则系统(3)等价于系统 鲁:( + ‘4~ + )鱼 象=( +D)( 一 )一 Q( ) 则 + :(生 五), +( 一 Ox Oy 。 v y2 D +) = +(型Y一 + D 一 Y Y_一 2+商 y5_/ ̄y-x(/+O)2+2(B-D /(/+D1 所以,当B<A时,系统无环。 综上所述,当 5max{A,D}时,无极限环。 4 结论 通过上面的讨论可知,当P:0即B=2A一(I +C)(Y +D)时,在正平衡点的小的邻域内,当平 衡点稳定时不存在极限环;当平衡点不稳定时,必 定会存在一个稳定的极限环。从而说明在该生化 反应中,当各个参数满足定理一的条件时,相应的 生化反应最终接近某种周期变化,为进一步研究 和控制相应的生化反应提供了理论依据。 参考文献: [I]徐瑞,董士杰.可逆两分子饱和反应动力系统的 极限环[J].生物数学学报,2001,16(3):292—295. [2] 陈兰荪,陈 键.非线性生物动力系统[M].北京: 科学出版社,1993. [3] 张芷芬.微分方程定性理论[M].北京:科学出版 社,1985. [4]王元明,黄迅成.关于颞部骨块形成模型的极限环 问题[J].扬州职业大学学报,2005,9(4):36—39. [5]王树禾.微分方程模型与混沌[M].北京:中国科学 技术大学出版社,1999. 

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