第２６卷第５期 江 西 科 学 Ｖ０１．２６ Ｎｏ．５ ２００８年１０月 ＪＩＡＮＧＸＩ ＳＣＩＥＮＣＥ Ｏｃｔ．２０ｏ８ 文章编号：１００１—３６７９（２００８）０５—０６７６—０３ 一类两分子饱和反应系统的Ｈｏｐｆ分支 王元明，黄迅成 （扬州职业大学，江苏扬州２２５００９） 摘要：本文考虑一类具有二重饱和反应速度的可逆两分子饱和反应系统，用微分方程定性分析的方法讨论系 统正平衡点的性质，用Ｈｏｐｆ分支理论得出模型在正平衡点附近出现周期振动的参数变化范围。证明了当系 统的参数有如下关系时： ＝２Ａ一（１一ｃ）（ ＋Ｄ）系统存在Ｈｏｐｆ分支，同时证明了由Ｈｏｐｆ分支所产生的周期 解的稳定性。 关键词：两分子饱和反应；平衡点；Ｈｏｐｆ分支 中图分类号：０１７５．１２ 文献标识码：Ａ Ｔｈｅ Ｈｏｐｆ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ａ Ｂｉｍｏｌｅｃｕｌａｒ Ｓａｔｕｒａｔｅｄ Ｒｅａｃｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍ ＷＡＮＧ Ｙｕａｎ－ｍｉｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｘｕｎ—ｃｈｅｎｇ （Ｙａｎｇｚｈｏｕ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｙａｎｇｚｈｏｕ ２２５００９ ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｂｉｍｏｌｅｃｕｌａｒ ｒｅｖｅｒｓｉｂｌｅ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｂｉｏｃｈｅｍｉｃａｌ ｒｅａｃｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ，ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｉｓ ａｓｓｕｍｅｄ ｍｕｌｔｉｐｌｅ—ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａ・ ｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｈｔｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｗｅ ａｌｓｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｕｎｄｅｒｇｏｅｓ ａ Ｈｏｐｆ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ：Ｂ：２Ａ一（１一ｃ）（ ＋Ｄ）， ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｃａｒｅａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｈｏｐｆ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｔａｂｌｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｂｉｍｏｌｅｃｕｌａｒ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｒｅａｃｔｉｏｎ，Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔｓ，Ｈｏｐｆ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ０ 引言 中，除了Ｍｉｃｈａｅｌｉｓ饱和反应速度 ＝ ， 文献［１］讨论了具有米氏饱和反应速度的可 还有多重饱和态（ｍｕｌｉｔｐｌｅ—ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ）的现象，其 逆两分子饱和反应动力系统： 反应速度为：Ｖ＝ ＋［Ｂｏ］［Ｂ０］ 本文在此基础上考 譬＝ 一ｘｙ＋ｃｙ （１） 虑在该化学反应中具有二重饱和反应速度模型： 。 ｘｙ—ｃｙ一 一 ＋ｃ，， 的定性行为，给出了系统（１）的极限环的存在性 ｄｙ ２ ，， （２） 和唯一性充分条件。 ｄｔ—ｘｙ－ｃｙ— 由文献［２］可知，反应速度有时对化学反应 其中，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均为正常数。同时，用Ｈｏｐｆ分支 的稳定性和极限环会产生很大影响。在化学反应 定理和Ｄｕｌａｃ理论得到系统（２）Ｈｏｐｆ分支的存在 收稿日期：２００８一ｏ５—２１；修订日期：２００８—０８—１２ 作者简介：王元明（１９６６一），男，副教授，硕士；研究方向：动力系统与生物数学模型。 基金项目：扬州职业大学科研项目（０６Ｋ１４）。 第５期 王元明等：一类两分子饱和反应系统的Ｈｏｐ［分支 ・６７７・ 性和稳定性及其存在的范围。 基于系统的实际意义，只需在区域Ｇ＝｛（ ， ），）Ｉｘ ０，，，≥Ｏ｝上进行讨论。由于当Ｂ ／４时，系 统（２）在Ｇ内无奇点，因而也就无极限环，故本文 总是假设Ｂ＞Ａ。 ｌ 平衡点的分析 当Ｂ＞Ａ时，系统（２）有唯一正奇点Ｍ（ 。， ｙｏ），其中 （ ＋ ），Ｙｏ＝ＡＤＡ ０ 为了讨论平衡点的性态，作变换ｄｔ＝（ ＋ Ｄ）卉，仍记ｒ为ｔ，则系统（２）等价于下列系统： ｄｘ：（）， ＋Ｄ）（ —ｘｙ＋ｃｙ ） ａ －１ ｙ（３）＝（，， ＋Ｄ）（ｘｙ—ｃｙ ）一Ｂｙ 易计算系统（３）在平衡点Ｍ（ｘ。，Ｙｏ）处，有 Ｐ＝，，０［２Ａ—Ｂ一（１＋ｃ）（），２０＋Ｄ）］，ｑ＝２（Ｂ— ） （，，２ｏ＋ＪＤ）＞０ 所以，Ｍ（ｘｏ，Ｙｏ）为非鞍初等奇点，用定性分析方 法ｌ３ Ｊ，容易证明。 弓Ｉ理Ｉ：（１）当Ｂ＜２Ａ一（１＋Ｃ）（，，２ｏ＋Ｄ）即Ｐ ＞Ｏ时，Ｍ（ｘ。，Ｙｏ）是系统（２）的不稳定的焦（结） 点；（２）当Ｂ＞２Ａ一（１＋ｃ）（ｙ０２＋Ｄ）即Ｐ＜０时， （ 。，Ｙｏ）是系统（２）稳定的焦（结）点。 下面用类似文献［４］的方法讨论系统（３）在 平衡点Ｍ（ 。，Ｙｏ）处的Ｈｏｐｆ分支以及由Ｈｏｐｆ分 支产生的周期解的稳定性问题。 记Ｒ＝２Ａ一（１＋ｃ）（ ＋Ｄ）， ＝Ｒ—Ｂ＝［２Ａ 一（１＋ｃ）（ ＋Ｄ）］一曰 引理２：当 ＝０即Ｐ＝０时，Ｍ（ 。，Ｙｏ）必定是 系统（２）的一阶稳定的细焦点。 证明：当Ｐ＝Ｏ时，此时Ｍ（ｘ。，Ｙｏ）为中心一焦 点的判别。 令：｛ ”，对系统（３）作平移变换，得 ｄ ｕ＝一ｙｏ（ｙｏ２＋Ｄ）“＋（２Ｃｙｏ一 ）（ ＋Ｄ）口一 （３ ＋Ｄ）ｕｖ＋（５Ｃｏ＋ｃＤ一２ ０Ｙｏ） ＋（４ｃｙ０一Ｘ０） ３ ＾ ２ ３．４ 一３ｙｏｕｖ—ｚ正 ＋ ＝ｙ。（ ＋Ｄ）“＋Ｙｏ（（２Ａ一 一ｃ（ｙ２＋ Ｄ）） ＋（３ ＋Ｄ）１１，１）＋［３ ０Ｙｏ一６Ｃ／ｏ—ｃＤ—Ｂ］ｖ ＋ ３ｙｏ１１，￣２＋（ ０—４ ０） ＋ｍ）３一ｃｔ）４ 为方便计算起见，记 ｔ：一Ｙｏ（Ｙｏ２＋Ｄ），ｎ＝（２ｃＹｏ一 ０）（ ＋Ｄ），ｓ ＝ｙｏ（ｙｏ￣＋Ｄ），ｔ＝ （（２Ａ—Ｂ）一ｃ（／ｏ＋Ｄ））。 令“：一÷ 一粤】Ｓ ，， ＝ ，７： ，。 注意到 ’ ＝０即Ｐ＝０，则系统（４）化为： 筹：一ｌ，＋ 。 ＋ ：ＸＹ＋Ａ， ＋Ａ ｌ，＋Ａ ｛ ＋ ６ ｙ （５） 【￣－ｒＹ＝ｘ＋Ｂｌ 其中， ： 堕 ，Ａ：：一 ３＿ｙｏ：＋Ｄ ＝ ， 一挚 一 ＝÷ 一 趔。 取形式级数：Ｆ（Ｘ，ｙ）： ＋Ｐ＋壹Ｆｉ（ ， Ｙ），其中Ｆ （Ｘ，Ｙ）为Ｘ，Ｙ的ｉ次齐次多项式，系 数待定。令筹Ｉ（４）中关于 ，ｌ，的３次齐次式为 零，可解出： Ｆ３（Ｘ，ｙ）＝一２Ａ ｙ一 ｙ３＋ （Ａ ＋Ｂ１） Ｘ’。 将 代人Ｆ中，再令筹Ｉ（ ）中关于 ，Ｙ Ｉ￣Ｊ ４ 次齐次式为零，取极坐标： ＝ｒ Ｃ０￥０，Ｙ＝ｒ ｓｉｎ ０， 可得 ｄＯ 一 ４＼： （ 。。 ｕ 口’ ＩＪ 口，一ｃ）：∞。￡，ｌ ｕ 口 。。ｓ４ ＋ｔＯ２ＣＯＳ。０ｓｉｎ ０＋∞３ＣＯＳ ０ｓｉｎ２ ０ 其中， 。＝一２（Ａ。 ＋Ａ，）， ：＝２（２Ａ；一Ａ 一Ａ 一 Ａ２Ｂ１），∞３＝４Ａ１（Ａ２＋Ｂ１）ｏ 所以，＝一所以，Ｃ４＝一 上 （（ｃ。ｓ ｎ０，ｓｉｎ ）：一÷（言（３ ＋ ＝÷（ ｚ ，Ｉ２Ａ－ ＝一 丽１ （（４ ＋２Ｄ）（３Ａ一３（１＋ｃ） 一Ｂ一（１＋ｃ）ｈ）一３ （Ａ－３／ｏ（ ＋ｃ）（ ＋Ｄ））＝一 ＝＿ Ａ （ｙ￣－Ｄ）＋（１＋ｃ） ２ ｙ２０＋５。））＝一 Ｙｏ （）， （１＋ｃ）＋５（１＋ｃ）Ｄ＋Ｂ一２Ａ）。 ・６７８・ 江西而Ｐ＝０时，有Ｂ一２Ａ＝一（１＋Ｃ）（Ｙ ＋Ｄ），通过 计算 一 ＜。 所以点Ｍ（ 。，Ｙ。）总是一阶稳定的细焦点。 ２ 周期解的稳定性 为了讨论由Ｈｏｐｆ分支所产生的周期解的稳 定性，应用下面引理。 引理３：平面自治系统 ＝ （ ，ｙ， ） ㈠ （ ，Ｙ）Ｅ ＵＣ＿Ｒ ， ∈ＪＣＲ， 与】 是 ，ｙ， 的 解析函数，且 ＝０时，（ ）以（０，Ｏ）为稳定（不稳 定）的细焦点，而 ＞０时，（ ）以（０，０）为不稳定 （稳定）的焦点，则对充分小的 ＞０，（ ）在（０， ０）点附近至少存在一个稳定（不稳定）极限环，且 当时 ，这种极限环趋于原点。若将上面条件 中 ＞０改成 ＜０（Ｉ ｌ《１），结论仍成立 。 定理１：系统（３）在 ＝０即Ｂ＝Ｒ时经历 Ｈｏｐｆ分支；且由Ｈｏｐｆ分支所产生的周期解在０＜ Ｒ一８《１是稳定的。 证明：由上面引理２知道当 ＝０即Ｂ：Ｒ时 情况下Ｍ（ｘ。，Ｙｏ）是稳定的细焦点。而引理ｌ得 到 ＞０即Ｂ＜Ｒ时Ｍ（ 。，Ｙ０）是不稳定的焦点， 根据引理３当 （ 。，Ｙｏ）不稳定时，对于充分小的 ＞０，在Ｍ（ 。，Ｙｏ）点附近至少存在一个稳定的极 限环。 ３ 极限环的不存在性 定理２：当 ≤ｍａｘ｛Ａ， ｝时，系统（３）无极限 环。 证明：（１）当Ｂ Ａ时，系统（３）无平衡点，从 而系统（３）无环。 （２）当Ｂ＞Ａ时，可以取Ｄｕｌａｃ函数Ｄ：（ ， 科学 ２００８年第２６卷 ｙ）＝ 。对系统（２）作拓扑变换，令 ＝ （ ＋Ｄ）ｄｒ，仍记ｄｒ为ｄｔ，则系统（３）等价于系统 鲁：（ ＋ ‘４～ ＋ ）鱼 象＝（ ＋Ｄ）（ 一 ）一 Ｑ（ ） 则 ＋ ：（生 五）， ＋（ 一 Ｏｘ Ｏｙ 。 ｖ ｙ２ Ｄ ＋） ＝ ＋（型Ｙ一 ＋ Ｄ 一 Ｙ Ｙ＿一 ２＋商 ｙ５＿／￣ｙ－ｘ（／＋Ｏ）２＋２（Ｂ－Ｄ ／（／＋Ｄ１ 所以，当Ｂ＜Ａ时，系统无环。 综上所述，当 ５ｍａｘ｛Ａ，Ｄ｝时，无极限环。 ４ 结论 通过上面的讨论可知，当Ｐ：０即Ｂ＝２Ａ一（Ｉ ＋Ｃ）（Ｙ ＋Ｄ）时，在正平衡点的小的邻域内，当平 衡点稳定时不存在极限环；当平衡点不稳定时，必 定会存在一个稳定的极限环。从而说明在该生化 反应中，当各个参数满足定理一的条件时，相应的 生化反应最终接近某种周期变化，为进一步研究 和控制相应的生化反应提供了理论依据。 参考文献： ［Ｉ］徐瑞，董士杰．可逆两分子饱和反应动力系统的 极限环［Ｊ］．生物数学学报，２００１，１６（３）：２９２—２９５． ［２］ 陈兰荪，陈 键．非线性生物动力系统［Ｍ］．北京： 科学出版社，１９９３． ［３］ 张芷芬．微分方程定性理论［Ｍ］．北京：科学出版 社，１９８５． ［４］王元明，黄迅成．关于颞部骨块形成模型的极限环 问题［Ｊ］．扬州职业大学学报，２００５，９（４）：３６—３９． ［５］王树禾．微分方程模型与混沌［Ｍ］．北京：中国科学 技术大学出版社，１９９９．
