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最新苏教版七年级上册数学第一单元知识点

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苏教版七年级上册数学第一单元知识点

正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数

注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0.(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)

②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写.所以省略“+”的正数的符号是正号.

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如: 零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃

3.0表示的意义

⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人; ⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数.如:

有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) ⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数. 理解:只有能化成分数的数才是有理数.①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数.②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数.

注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数.

2.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分

正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数

有理数 有理数 0 (0不能忽视) 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数) ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴

⒈数轴的概念

规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴.

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注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的.

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示.

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系.(如,数轴上的点π不是有理数)

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大; ⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;

⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小.

4.数轴上特殊的最大(小)数

⑴最小的自然数是0,无最大的自然数; ⑵最小的正整数是1,无最大的正整数; ⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0; ⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0 ⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置.

相反数 ⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0. 注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负; ⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0.

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数,且只有一个; ⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等.0的相反数对应原点;原点表示0的相反数.

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说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称.

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5); ⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b).化简得-5a-b);

⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)

5.相反数的表示方法

⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0. 当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数) 当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数) 当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正.

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|.

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为:

①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0.

可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数.) ②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数.)

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性.所以,a取任何有理数,都有|a|≥0.即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;

⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0; ⑶任何数的绝对值都不小于原数.即:|a|≥a;

⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数.即:若|x|=a(a>0),则x=±a; ⑸互为相反数的两数的绝对值相等.即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|; ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数.即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0.即|a|+|b|=0,则a=0且b=0. (非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0) 4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小; ⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大

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于负数.

5.绝对值的化简

①当a≥0时, |a|=a ; ②当a≤0时, |a|=-a

6.已知一个数的绝对值,求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数.

有理数的加减法 1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; ⑶互为相反数的两数相加,和为零; ⑷一个数与零相加,仍得这个数.

2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律:a+b=b+a

⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律: ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”; ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”; ④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”.

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数.即: ⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b4.有理数减法法则

减去一个数,等于加上这个数的相反数.用字母表示为:a-b=a+(-b).

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算.

在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式.如: (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

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原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)

=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号)

=(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合) =-49+41 (运用加法法则一进行运算) =-8 (运用加法法则二进行运算)

Ⅱ.把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法)

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号)

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合) =4-10+3.8 (运用加法法则进行运算)

=7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算) =-2.2 (得出结论)

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)

313217-+-+- 524528321137原式=(--)+(-+)+(+-)

5522481=-1+0-

81=-1

8-

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)

312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 48313121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)

8483413121=+3-3+10-1 8483431112=(3-1)+(-3)+10

4488312=2-3+10 231=-3+13

61=10

6 (+0.125)-(-3

Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合) -3

1617+10-12+4

2215511

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原式=(-3+10-12+4)+(-

1761+)+(-) 5151122411+ 1522815=-1++

30307- 30=-1+

Ⅵ.分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69

原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)

=0

Ⅶ.先拆项后结合

(1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100)

有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则

法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三) 法则二:任何数同0相乘,都得0;

法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数; 法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.

2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·a和

1=1(a≠0),就是说a111互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数. aaa注意:①0没有倒数;

②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;

③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数.(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0.

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.即ab=ba

⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.即(ab)c=a(bc).

⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加.即a(b+c)=ab+ac

4.有理数的除法法则

(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数.

(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0

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5.有理数的乘除混合运算

(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果.

(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行.

有理数的乘方 1.乘方的概念

求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在 a 中,a 叫做底数,n 叫做指数. 2.乘方的性质

(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数.

(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.

有理数的混合运算

做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序: 1.先乘方,再乘除,最后加减; 2.同级运算,从左到右进行;

3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行.

科学记数法

把一个大于10的数表示成 a10的形式(其中1a10, n是正整数),这种记数法是科学记数法.

用字母表示数

代数式

代数式:用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n+500,abc.单独的一个数或一个字母也是代数式.

单项式:表示数与字母的乘积的代数式叫单项式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 单项式的系数:单项式中的数字因数

单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和

多项式:几个单项式的和叫做多项式.每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项. 多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.常数项的次数为0.

整式:单项式和多项式统称为整式. 注意:分母上含有字母的不是整式.

代数式书写规范:

① 数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示,并把数字放到字母前; ② 出现除式时,用分数表示;

③ 带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数;

④ 若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来.

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nn

合并同类项

同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.

合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变. 合并同类项的步骤:(1)准确的找出同类项;(2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起;(3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;(4)写出合并后的结果.

去括号的法则

(1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都不变; (2)括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项的符号都要改变.

整式的加减:进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项. 整式加减的步骤:(1)列出代数式;(2)去括号;(3)合并同类项.

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