垂径定理的作用

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：如图1所示，在⊙O中，若直径CD⊥AB，则AE＝BE，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC.

诠释：一条直线若满足： ①过圆心（CD是直径）； ②垂直于弦（CD⊥AB）； 则可推出：③平分弦（AE＝BE）； ④平分弦所对的优弧（弧AC＝弧BC）； ⑤平分弦所对的劣弧（弧AD＝弧BD）.

事实上，对于一个圆和一条直线，只要具备上述五个条件中的任意两个，就可以推出其余三个，简称“知二推三”.

温馨提示：（1）垂径定理的一个推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中，“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直.

（2）利用垂径定理解答问题时，只要掌握了垂径定理及其有关的变化，然后将垂径定理与勾股定理有机结合起来，就能使问题迎刃而解.

（3）垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系的重要依据，在解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，以构成垂径定理的基本图形（实际上往往只需过圆心作一条与弦垂直的线段就可以了）.

(4)在垂径定理的运用中，涉及弦长a、弦心距（圆心到弦的距离）d、半径r及弓形高（弦所对的弧的中点到弦的距离）h这四者之间的关系，如图2所示，它们的关系是：（1）r2=d2+(

𝑎2

)；（2）h=r-d. 2

根据这两个公式，在a，d，r，h四个量中，知道任意两个量便可求出另外两个量.

怎样理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

（一）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的关系可以这样理解：圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等，即“一等则全等”.

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，否则结论不一定成立.

（2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距四个概念，否则易错用此关系. （3）结论中的“弧”一般指劣弧.

（4）在具体运用中，可根据需要，选择有关部分，如“在同圆中，等弦所对的圆心角相等”“弧等则弦等”等.

（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的不等关系 “一不等则全不等”.

（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距不等，大弦所对的弦心距反而小，反之亦然.

（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么所对弦、所对圆心角也不等，且大弧对的弦

较大，对的圆心角较大，反之亦然.

两角相牵手，解题不用愁

众所周知，圆心角与圆周角是与圆有关的两个“支柱型”的角，二者不同，但又紧密联系，下面从以下几方面具体说明：

1.定义

（1）圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角；

（2）圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.定理

（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦所对的弦心距（圆心到弦的距离）相等；

（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

3.规律

（1）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； （2）圆内接四边形的对角互补.