高二数学上册期末试卷及答案

数 学

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是（ ） A．（0，2） 2．复数A．1+i

B．（0，﹣2）

C．（4，0）

D．（﹣4，0）

的共轭复数是（ ）

B．1﹣i

C．2+2i

D．2﹣2i

3．已知双曲线＝1的离心率为，则m＝（ ）

A．4 B．2 C． D．1 +

（

﹣

）等于（ ）

4．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则

A． B． C． D．

5．若＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ） A．垂直

C．直线l在平面α内

B．平行

D．相交但不垂直

6．“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

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7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（ ）

A．平面D1A1P⊥平面A1AP

）

B．∠APD1的取值范围是（0，

C．三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值 D．DC1⊥D1P

8．设F是椭圆＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点Pi（i＝1，2，3，…），|P1F|，|P2F|，

|P3F|，…组成公差为d（d＞0）的等差数列，则d的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分）

9．已知a，b∈R，i是虚数单位，（a+bi）i＝2+3i，则a＝ ，b＝ ．

10．在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），M（﹣1，1，2），则线段MN的长度为 ． 11．若双曲线的渐近线方程为y＝±

x，则满足条件的一个双曲线的方程为 ．

12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则等于 ．

13．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为e，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠

F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值为 ．

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14．已知曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0． ①请写出曲线W的一条对称轴方程 ； ②曲线W上的点的横坐标的取值范围是 ．

三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（15分）已知复数z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（a∈R，i为虚数单位）． （Ⅰ）若z1•z2是纯虚数，求实数a的值；

（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．

16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥AB，AB＝AC＝2，CC1＝4，D为BC的中点． （Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1； （Ⅱ）求证：A1C∥平面ADB1；

（Ⅲ）求平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．

17．（13分）已知抛物线C：y＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（

2

，F为抛物线的焦点．

，2），求|PA|+|PF|的最小值；

（Ⅲ）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．

18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD＝AD，E为棱

PC的中点．

（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PCD；

（Ⅱ）求直线DE与平面PC所成角的正弦值；

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（Ⅲ）若F为AD的中点，在棱PB上是否存在点M，使得FM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

19．（13分）已知椭圆M： ＝1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2．若直线y＝x+m与椭圆M有两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．

20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣

，记点

P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）若过点（﹣

，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四

边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．

数学试题答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．

【分析】通过抛物线的标准方程，直接求出抛物线的焦点坐标即可． 【解答】解：因为抛物线x2＝8y，P＝4，故选：A．

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出抛物线的焦点坐标所在坐标轴以及方向．

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，所以抛物线x2＝8y的焦点坐标是（0，2）．

2．

【分析】首先利用复数的除法运算化简，然后取徐不得相反数的其共轭复数． 【解答】解：由

＝

．

所以的共轭复数为1﹣i．

故选：B．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3．

【分析】先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c，则双曲线离心率的表达式可得，最后根据离心率为2求得m的值．

【解答】解：根据双曲线＝1可知a＝，b＝，

∴c＝，

∴e＝＝，

求得m＝2， 故选：B．

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．应熟练掌握双曲线标准方程中，a，b和c，及离心率e的关系． 4．

【分析】根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出． 【解答】解：连接AF，E，F分别是BC，CD的中点， 则

+

（

﹣

）＝

+

＝

+

＝

．

故选：C．

【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．

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【分析】＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，由与平面α的位置关系是相交但不垂直．

【解答】解：∵＝（4，2，3）是直线l的方向向量， ＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量， ＝﹣4+6+0＝2≠0，

∴直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直． 故选：D．

≠0，得到直线l【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．

【分析】由双曲线的定义可知：“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件为：m≠0，得解． 【解答】解：由双曲线的定义有：“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件为：m≠0， 故“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的充要条件， 故选：C．

【点评】本题考查了双曲线的定义及充分必要条件，属简单题． 7．

【分析】在A中，由A1D1⊥平面A1AP，得平面D1A1P⊥平面A1AP；在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝

；在C中，

△B1D1C的面积是定值，P到平面B1D1C的距离是定值，从而三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，由DC1⊥D1C，DC1⊥BC，得DC1⊥平面BCD1A1，从而DC1⊥D1P．

【解答】解：在A中，∵A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确； 在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝

，∴∠APD1的取值范围不是（0，

），故B错误；

在C中，∵△B1D1C的面积是定值，P到平面B1D1C的距离是定值， ∴三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值，故C正确； 在D中，∵DC1⊥D1C，DC1⊥BC，

D1C∩BC＝C，∴DC1⊥平面BCD1A1，∴DC1⊥D1P，故D正确．

故选：B．

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【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 8．

【分析】由已知知这个等差数列是增数列，则a1≥|FP1|＝5﹣3＝2，a21≤|FP21|＝5+3＝8，又a21＝a1+20d，可得0＜a21﹣a1＝20d≤6，解得d的范围，则答案可求．

【解答】解：由椭圆＝1，得a＝5，b＝4，则c＝．

由已知可得等差数列是增数列，则a1≥|FP1|＝5﹣3＝2，a21≤|FP21|＝5+3＝8， ∴a21＝a1+20d，∴0＜a21﹣a1＝20d≤6， 解得0＜d≤

．

∴d的最大值为故选：B．

．

【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分） 9．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算变形，再由复数相等的条件求解． 【解答】解：由（a+bi）i＝﹣b+ai＝2+3i， 得﹣b＝2，a＝3，即a＝3，b＝﹣2． 故答案为：3，﹣2．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．

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10．

【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可．

【解答】解：空间直角坐标系中，点M（1，0，1），N（﹣1，1，2）， 所以线段AB的长度为|MN|＝故答案为：

．

＝

．

【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目． 11．

【分析】已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，可设双曲线方程为：

＝λ（λ≠0）．

＝λ（λ≠0），即

【解答】解：由双曲线系方程可得：双曲线的渐近线方程为y＝±x，

则双曲线方程为＝λ（λ≠0），即＝λ（λ≠0），

故答案为：＝1．

【点评】本题考查了已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，属简单题． 12． 【分析】由【解答】解：∵∴

•

＝（

+＝

+＝+++

+）•，得

， ＝

＝1 •

＝（

+

+

）•

＝

＝1

故答案为：1．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 13．

【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值，由此可得结论．

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【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，

当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值． ∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角， ∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°， ∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°， ∴P0O＜OF2，即b＜c， ∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2， ∴e＞

，

∵0＜e＜1，

＜e＜1，

∴

∴满足条件的一个e的值为（可取大于小于1的任意一个实数值）．

故答案为：（可取大于小于1的任意一个实数值）．

【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 14．

【分析】①利用曲线方程，通过（x，﹣y）代入方程，推出过程中即可． ②利用绝对值的范围，求解横坐标的范围．

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【解答】解：①曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．（x，﹣y）代入方程，可得|﹣y|+x2﹣5x＝0，即|y|+x2﹣5x＝0，对称轴为：y＝0．

②|y|+x﹣5x＝0，可得|y|＝﹣x+5x≥0，可得：x∈[0，5]． 故答案为：①：y＝0；②[0，5]．

【点评】本题考查函数与方程的应用，对称轴以及转化思想的应用，考查计算能力． 三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．

【分析】（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解； （Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部小于0且虚部等于0联立不等式组求解． 【解答】解：（Ⅰ）由复数z1＝a+2i，z2＝3﹣4i， 得z1•z2＝（a+2i）（3﹣4i）＝3a+8+（6﹣4a）i， 由题意，3a+8＝0，6﹣4a≠0，即a＝﹣

；

2

2

（Ⅱ）＝，

若复数在复平面上对应的点在第二象限，则，

解得﹣＜a＜．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 16．

【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥平面ABC，从而AA1⊥AC，再由AC⊥AB，能证明AC⊥平面ABB1A1． （Ⅱ）连结A1B，与AB1相交于点O，连结DO，由DO∥A1C，能证明A1C∥平面ADB1．

（Ⅲ）由AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，AA1∥CC1，∴AA1⊥平面ABC， ∴AA1⊥AC，又AC⊥AB，AB∩AA1＝A，

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∴AC⊥平面ABB1A1．

（Ⅱ）连结A1B，与AB1相交于点O，连结DO， ∵D是BC中点，O是A1B中点，

则DO∥A1C，A1C⊄平面ADB1，DO⊂平面ADB1， ∴A1C∥平面ADB1．

解：（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB， 如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，4，0），D（1，0，1）， ＝（1，0，1），

＝（2，4，0），

设平面ADB1的法向量＝（x，y，z），

则，取y＝1，得＝（﹣2，1，2），

平面ACC1A1的法向量＝（2，0，0），

cos＜＞＝＝﹣，

∴平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值为．

【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 17．

【分析】（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得p＝1，进而得到抛物线方程；

（Ⅱ）过A作AB⊥准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值；

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（Ⅲ）由题意可得直线MN的方程为y＝x﹣中点坐标．

，代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，即可得到所求

【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，

F为抛物线的焦点，可得F（，0），

即＝，p＝1，

抛物线的方程为y2＝2x；

（Ⅱ）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（如图，过A作AB⊥准线l，垂足为B， 由抛物线的定义可得|PB|＝|PF|， 则|PA|+|PF|＝|PA|+|PB|≥|AB|＝

+

＝4，

，2），

当且仅当A，P，B三点共线，取得最小值4； （Ⅲ）由题意可得直线MN的方程为y＝x﹣

，

代入抛物线方程y＝2x，可得x﹣3x+

22

﹣＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝3， 即有MN的中点的横坐标为

，纵坐标为

﹣

＝1，

即有MN的中点坐标为（，1）．

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【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题． 18．

【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥底面ABCD，从而PD⊥BC，由底面ABCD为正方形，得BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，由此能证明平面PBC⊥平面PCD．

（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面PAC所成角的正弦值． （Ⅲ）向量

＝（﹣2，﹣2，2），

＝（2，2，0），

＝（1，2，0），由点M在棱PB上，设

＝

，

（0≤λ≤1），从而＝

＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），由FM⊥DB，能求出结果．

【解答】证明：（Ⅰ）∵平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD， ∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC， 又∵底面ABCD为正方形，BC⊥CD， ∴BC⊥平面PCD， ∴平面PBC⊥平面PCD．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知PD⊥底面ABCD，AD⊥CD， 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，

设PD＝AD＝2，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），

P（0，0，2），E（0，1，1），

＝（0，1，1），

＝（﹣2，2，0），

＝（2，0，﹣2），

设＝（x，y，z）为平面PAC的一个法向量， 设DE与平面PAC所成角为θ，

则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，

∴直线DE与平面PAC所成角的正弦值为．

（Ⅲ）向量＝（﹣2，﹣2，2），

＝（2，2，0），＝（1，2，0），

由点M在棱PB上，设＝

，（0≤λ≤1），

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∴＝＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），

＝0，

由FM⊥DB，得

∴（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2＝0， 解得

，∴

＝

．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19．

【分析】（Ⅰ）根据已知条件求出b、c的值，再根据a、b、c的关系求出a的值，即可得出椭圆的方程； （Ⅱ）将直线AB的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式并结合韦达定理求出|AB|，并计算出原点O到直线AB的距离作为△OAB的高，然后利用三角形的面积公式得出△OAB面积的表达式，利用函数思想求出△OAB面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，

，b＝1，由a＝b+c，得

2

2

2

，

因此，椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），

联立直线与椭圆的方程，消去y得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，

由直线与椭圆相交得△＝36m2﹣16（3m2﹣3）＞0，即m2＜4，解得﹣2＜m＜2，

由韦达定理可得，，

∴＝＝，

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点O到直线l的距离为，

所以，＝，

当m2＝2时，即当时，△OAB的面积取到最大值．

【点评】本题考查椭圆的性质，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查了计算能力与推理能力，属于难题． 20．

【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由题意可得kPA•kPB＝﹣

，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P的轨迹为曲线

C；

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，设l：x＝my﹣（m+2）y﹣2

2

2

，代入椭圆方程整理得

，则点

my﹣2＝0，假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为

E的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），∵kPA•kPB＝﹣

，则，

整理得

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0， 故不妨设l：x＝my﹣ （m+2）y﹣2

2

2

，代入椭圆方程整理得：

my﹣2＝0，△＞0，

∴，

＝﹣．

假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形， 其充要条件为

．

则点E的坐标为（x1+x2，y1+y2）．

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⇒E（）．

把E的坐标代入得 可得：m﹣4＝0．

4

解得m2＝2．

∴直线l的方程为：x＝

y﹣

【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．

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