非线性电路混沌 实验报告

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近代物理实验报告

指导教师： 得分：

实验时间： 2009 年 11 月 8 日， 第 十一 周， 周 一 ， 第 5-8 节

实验者： 班级 材料0705 学号 200767025 姓名 童凌炜

同组者： 班级 材料0705 学号 200767007 姓名 车宏龙

实验地点： 综合楼 404

实验条件： 室内温度 ℃， 相对湿度 %， 室内气压

实验题目： 非线性电路混沌

实验仪器：（注明规格和型号） 1. 约结电子模拟器

约结电子模拟器的主要电路包括:

1.1, 一个压控震荡电路, 根据约瑟夫方程, 用以模拟理想的约结

1.2, 一个加法电路器, 更具电路方程9-1-10, 用以模拟结电阻、 结电容和理想的约结三者相并联的关系

1.3， 100kHz正弦波振荡波作为参考信号 2. 低频信号发生器

用以输出正弦波信号， 提供给约结作为交流信号 3. 数字示波器

用以测量结电压、 超流、 混沌特性和参考信号等各个物理量的波形

实验目的：

1. 了解混沌的产生和特点

2. 掌握吸引子。 倍周期和分岔等概念 3. 观察非线性电路的混沌现象

实验原理简述：

混沌不是具有周期性和对称性的有序， 也不是绝对的无序， 而是可以用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌而呈现非周期性的有序。 混沌的最本质特征是对初始条件极为敏感。

1. 非线性

线性 和 非线性， 首先区别于对于函数y=f(x)与其自变量x的依赖关系。 除此之外， 非线性关系还具有某些不同于线性关系的共性：

1.1 线性关系是简单的比例关系， 而非线性是对这种关系的偏移 1.2 线性关系是无不相干的贡献， 而非线性的是相互作用

非线性电路混沌

2 1.3 线性关系保持信号的频率成分不变， 而非线性使得频率结构发生变化 1.4 非线性是引起行为突变的原因

2. 倍周期， 分岔， 吸引子， 混沌

借用T.R.Malthas的人口和虫口理论， 以说明非线性关系中的最基本概念。

虫口方程如下：xn1xn(1xn)

μ是与虫口增长率有关的控制参数， 当1<μ<=3, 不论初始值是多少， 经过足够长的迭代， 结果都会达到同一个确定值x11， 这个值就叫做周期或者不动点。

在通过迭代法解方程的过程中， 最终会得到一个不随时间变化的固定值。 即换用任何其他初始值， 结果都会达到同一个不动点x*, 也可以说， 最终的状态对初始值的变化不敏感， 所有初始值都被“吸引”到不动点； 这个不动点， 就是一个“吸引子”。 对于反复迭代仍然只能得到一个解， 即只有一个吸引子的情况， 可以称之为1倍周期解， 没有分离， 也不可能出现混乱的“混沌态”， 对初始值并不敏感。

而对于解得两个吸引子的情况， 可以称之为2倍周期解， 但仍然不出现分离和混沌……

如此将以上的过程不断的进行下去， 即不断增大μ的值， 当其值逐步接近=3.569945672…时， 周期变为无穷大， 也就是没有周期， 这时得到的是非周期结， 迭代的结果无法把握， 系统进入混沌状态。 而当μ大于无线周期的对应值时， 解序列也基本上是在混沌区， 但是内部有复杂结构， 它被称为“奇怪吸引子”。

3. 菲根堡姆普适常量

通过进一步的研究可以发现， 倍周期分岔的过程是几何收敛的， 即随着控制参数μ的增大， 出现倍周期分岔的参量μ的间距衰减， 且有

limmm14.6692016091， 为菲根堡姆普适常量

m1m另外， 通过实验和计算的结果， 可以看出， 对于各种不同的混沌系统， 尽管非线性迭代系统的本身结构各不相同， 但是都遵循相同的方式走向混沌

4. 非线性电路中的混沌现象

电感、 电容、 电阻、 正弦电源的振幅和频率、 放大器的放大倍数等， 都是电路参数。 当参数区某些特定值是， 若参数的微小变动使得系统的行为发生质的变化， 则称该参数为分岔值。 分岔就意味着混沌现象的可能。 许多非线性电路都有可能出现混沌现象。

5. 约瑟夫森效应

电子能通过两块超导体之间薄绝缘层的量子隧道效应。

1962年由B.D约瑟夫森首先在理论上预言，在不到一年的时间内，P.W.安德森和J.M.罗厄耳等人从实验上证实了约瑟夫森的预言。约瑟夫森效应的物理内容很快得到充实和完善，应用也快速发展，逐渐形成一门新兴学科——超导电子学。

两块超导体通过一绝缘薄层(厚度为10埃左右)连接起来，绝缘层对电子来说是一势垒，一块超导体中的电子可穿过势垒进入另一超导体中，这是特有的量子力学的隧道效应。当绝缘层太厚时，隧道效应不明显，太薄时，两块超导体实际上连成一块，这两种情形都不会发生约瑟夫森效应。绝缘层不太厚

非线性电路混沌

3 也不太薄时称为弱连接超导体。两块超导体夹一层薄绝缘材料的组合称S-I-S超导隧道结或约瑟夫森结。约瑟夫森效应主要表现为： 直流约瑟夫森效应

结两端的电压V＝0时，结中可存在超导电流，它是由超导体中的库珀对的隧道效应引起的。只要该超导电流小于某一临界电流Ic，就始终保持此零电压现象，Ic称为约瑟夫森临界电流。Ic对外磁场十分敏感，甚至地磁场可明显地影响Ic。沿结平面加恒定外磁场时，结中的隧道电流密度在结平面的法线方向上产生不均匀的空间分布。改变外磁场时，通过结的超导电流Is随外磁场的增加而周期性地变化， 描出与光学中的夫琅和费单缝衍射分布曲线相似的曲线，称为超导隧结的量子衍射现象。交流约瑟夫森效应

结两端的直流电压V≠0时，通过结的电流是一个交变的振荡超导电流，振荡频率（称约瑟夫森频率）f与电压V成正比，即f＝

V

e为电子电量

h为普朗克常数，这使超导隧道结具有辐射或吸收电磁波的能力。

以微波辐照隧道结时可产生共振现象。连续改变所加的直流电压以改变交流振荡频率当约瑟夫森频率f等于微波频率的整数倍时，就发生共振，此时有直流成分的超导电流流过隧道结，在 I-V 特性曲线上可观察到一系列离散的阶 梯式的恒定电流。

测定约瑟夫森频率f，可由电压V测定常量2e／ h，或从已知常量e和h精确测定V。 其中交流约瑟夫森效应已被用来作为电压标准。

6. 约瑟夫森电子模拟器的原理

约结电子模拟器是真实的超导约瑟夫森结的模型。

对于理想的约结， 符合这样的Joseph方程：

IsICsin d4eVdth

实验步骤简述： 1. 准备

1.1 熟悉数字示波器的使用 1.2 熟悉信号发生器的使用

1.3 将信号发生器的输出介入约结模拟器后面板上的“AC input”端， 将约结模拟器前面板上的“示波器”的输入x端接入示波器的x轴输入， y端接入数字示波器的y轴输入。

2. 非线性电路混沌现象的观察

2.1 打开各仪器的电源开关

2.2 数字示波器选择xy工作方式

2.3 约结模拟器前面板上的“交流信号”置ON， 这就是给约结加上交流正弦信号I1sin2ft， 实际上在测量混沌特性时， 是改变交流信号源的输出电压幅度V1， 而对应电流的I1=V1/10kΩ 2.4 低频信号源输出频率取246Hz 2.5 低频信号源的振幅V1取为零

2.6 约结参数取: 结电阻， 结电容， 超流均为II

2.7 调节低频信号源的“offset”旋钮， 使示波器上的平面图为椭圆， 如下图所示

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2.8

逐渐增大振幅V1， 仪器观察到下图中的b、c、d、e等分岔现象， 知道如f所示的混沌现象出现。 2.9 改变约结系统的参数， 如书中表所示， 再观察混沌特性

2.10 将交流信号频率跳到146Hz， 346Hz， 1kHz, 再重复以上实验过程， 观察是否出现混沌现象 3. 结束实验， 将模拟器的信号源开关关闭， 电源开关关闭， 最后关闭各个仪器的开关

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原始数据、 数据处理及误差计算：

根据实验过程， 各条件下混沌出现与否的数据结果记录如下：

n 1 2 3 4 5 6 7 *以上表格中， √表示该条件下混沌出现， ×为混沌不出现， ○表示该条件下无法获得稳定态， 故不能判断。

思考题， 实验感想， 疑问与建议：

1. 什么叫混沌， 混沌与混乱有什么区别？

混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。

混沌与混乱的区别在于， 混沌是无规律的有序， 或者说其有序周期太长， 接近无限而无法观测到其周期现象， 其外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性； 而混乱则是完全无规律的无序， 不存在周期性， 无限长的观测中可能会发现少数存在的周期解， 但是总体上是无规律存在的。

2. 产生混沌的根源是什么？ 是否所有的非线性系统都会存在混沌现象？

混沌产生的根源是存在这样一个非线性系统， 并且符合下列条件：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小差别都会按指数放大，因此导致系统内在地不可长期预测。

而非线性系统并非都会产生混沌， 比如函数f(x)＝x^0.5,这是非线性的，但其始终存在稳定解， 不产生混沌。

原始记录及图表粘贴处：（见附页）

I IV IV II II III III Rn 0 0 IV II III II III C II II II III III II III Ic √ × √ √ √ √ √ Chaos or not 246Hz × × ○ √ √ √ √ 146Hz √ × × √ × √ √ 346Hz √ √ √ × × × × 1kHz