2019-2020学年天津市红桥区高二上期末数学试卷(理科)(附答案解析)
天津市红桥区高二（上）期末
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（ ） A．C．
B．
D．∀x∈R，x2+1＜0
2．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标是（ ） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（﹣2，0） 3．（4分）椭圆A．
B．
C．
D．
的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（ ）
4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
5．（4分）若双曲线A．1
B．
C．
D．3
的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（ ）
6．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（ ）
A．“p∨q”假 B．“p∧q”真 C．“￢p”假 D．“p∨q”真
7．（4分）已知a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（4分）过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆 x2+y2=
=（
+
的
切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若A．
-
），则双曲线的离心率为（ ）
B． C． D．
-
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9．（4分）抛物线y=x的准线方程为 ． 10．（4分）椭圆11．（4分）若双曲线
的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= ．
的离心率为2，则a= ．
y=0的距离是 ．
2
12．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣
13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，直线l：3x﹣y﹣6=0． （I）求圆C的圆心及半径；
（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦AB的长度． 15．（12分）已知焦点．
（I）求双曲线的方程； （Ⅱ）求双曲线的离心率． 16．（12分）已知椭圆等于
，
的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心的渐近线方程
，与椭圆
有相同的
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为
，求△QF1F2的面积．
，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、
．
17．（12分）已知椭圆
右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程．
-
-
2019-2020学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（ ） A．C．
B．
D．∀x∈R，x2+1＜0
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为：
．
故选：C．
2．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标是（ ） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【解答】解：抛物线y2=﹣4x的开口向左，p=2，焦点坐标是：（﹣1，0）． 故选：B，
3．（4分）椭圆A．
B．
C．
D．
的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（ ）
【解答】解：椭圆可得a=2，b=1，则c=可得e==故选：A．
．
=
．
的长轴为4，短轴为2，
4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
【解答】解：由题意知圆半径r=
，
-
-
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故选：D．
5．（4分）若双曲线A．1
B．
C．
D．3
的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（ ）
【解答】解：由题意，=1 ∴双曲线的离心率e==故选：B．
6．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（ ）
A．“p∨q”假 B．“p∧q”真 C．“￢p”假 D．“p∨q”真 【解答】解：大于90°的角为钝角，错误则命题p是假命题， 所有的有理数都是实数，正确，则q是真命题， 则“p∨q”真，其余为假， 故选：D
7．（4分）已知a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当a＞b，c=0时，ac2＞bc2不成立，即充分性不成立， 当ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，即必要性成立， 即“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件， 故选：B
8．（4分）过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆 x2+y2=
=（
+
的
=
．
切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若），则双曲线的离心率为（ ）
-
-
A． B． C． D．
【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=，∴|EF|=
，
∵，∴|PF|=2，|PF'|=a， ﹣a=2a，∴
，
∵|PF|﹣|PF′|=2a，∴2故选C．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9．（4分）抛物线y=x2的准线方程为
．
．
【解答】解：抛物线y=x2的开口向上，p=，所以抛物线的准线方程：故答案为：
10．（4分）椭圆
．
的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2 ．
【解答】解：∵椭圆方程为
∴a2=9，b2=2，得椭圆的长轴长2a=6 ∵点P在椭圆上，
∴|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=2 故答案为：2
11．（4分）若双曲线
的离心率为2，则a= 1 ．
【解答】解：双曲线的离心率为2，
可得：解得a=1． 故答案为：1．
，
-
-
12．（4分）抛物线y=8x的焦点到直线x﹣
2
y=0的距离是 1 ．
【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0）， ∴点F（2，0）到直线x﹣故答案为：1．
13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的坐标为 【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px， ∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|=4=x+=x+1， ∴x=3，
代入抛物线方程可得 y=±2则点P的坐标为：故答案为：
三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，直线l：3x﹣y﹣6=0． （I）求圆C的圆心及半径；
（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦AB的长度．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0整理得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5， ∴圆心（1，2），半径为
．
=
=
，
．
． ．
．
y=0的距离d=
=1．
（2）圆心（1，2）到直线l：3x﹣y﹣6=0的距离弦AB的长度
15．（12分）已知焦点．
（I）求双曲线的方程；
-
==．
的渐近线方程，与椭圆有相同的
-
（Ⅱ）求双曲线的离心率． 【解答】解：（Ⅰ）因为
的渐近线方程
，
，所以
，
解得离心率，则，与椭圆有相同的焦点（5，0），
即c=5，a=4，双曲线c2=a2+b2，得b=3， 双曲线方程（Ⅱ）因为离心率
16．（12分）已知椭圆等于
，
的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心
． ，所以
．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为
，求△QF1F2的面积．
，且a2=b2+c2，所以a=2，
，
【解答】（Ⅰ）解：因为b=1，则椭圆方程（Ⅱ）解：因为直线QF1：
， ．
，
=，
可得，整理得：，
解得：则所以
，
，
==．
-
-
17．（12分）已知椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、
．
右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程． 【解答】（Ⅰ）解：椭圆右焦点，
所以c=1，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为所以
，
，c=1且a2=b2+c2，得b=1，
．
，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、
．
则椭圆方程：
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）
当AB垂直于x轴时，直线l的方程x=1，不符合题意； 当AB不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）
，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2
﹣1）=0，，=
因为，所以，则，x1•x2+y1•y2=0，．
得，
直线l的方程为
-
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