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2022年福建中考数学真题

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2022年福建省中考数学试题 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1. -11的相反数是( ) A. -11

B. -1 11C.

1 11D. 11

2. 如图所示的圆柱,其俯视图是( )

A. B.

C.

kxxzD.

户,数据13 976 000用科学记数法表示为( ) A. 13976´103

B. 1397.6´104

C. 1.3976´107

D. 0.13976´108

4. 美术老师布置同学们设计窗花,下列作品为轴对称图形的是( )

A.

m 3. 5G应用在福建省全面铺开,助力千行百业迎“智”变,截止2021年底,全省5G终端用户达1397.6万

oc.B.

C. D.

5. 如图,数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是( )

A.

-2 B.

2 C.

5 D. π

6. 不等式组íA. x>1 7. 化简3a2A. 9a2

ìx-1>0的解集是( )

x-3£0îB. 12C. 1()的结果是( )

B. 6a2

C. 9a4

D. 3a4

8. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列,下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图.

A. F1

c.k综合指数越小,表示环境空气质量越好.依据综合指数,从图中可知环境空气质量最好的地区是( )

xxzB. F6

C. F7

D. F10

9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,ÐABC=27°,BC=44cm,则高AD约为( )(参考数据:sin27°»0.45,cos27°»0.,tan27°»0.51)

A. 9.90cm

B. 11.22cm

C. 19.58cm

D. 22.44cm

10. 如图,现有一把直尺和一块三角尺,其中ÐABCm o=90°,ÐCAB=60°,AB=8,点A对应直尺的刻

度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移,使得△ABC移动到VA¢B¢C¢,点A¢对应直尺的刻度为0,则四边形

ACC¢A¢的面积是( )

A. 96

B. 963 C. 192

D. 1603 二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分. 11. 四边形的外角和等于_______.

12. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC中点.若BC=12,则DE的长为______.

13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球,这个球是红球的概率是______. 14. 已知反比例函数y符合条件的实数)

15. 推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误. 例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下: 设任意一个实数为x,令x=m, 等式两边都乘以x,得x2=

k

的图象分别位于第二、第四象限,则实数k的值可以是______.(只需写出一个x

m oc.kxx=mx.①

等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2.② 等式两边分别分解因式,得

(x+m)(x-m)=m(x-m).③

等式两边都除以x-m,得x+m=m.④ 等式两边都减m,得x=0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.

z

以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是______. 16. 已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A,B两点,抛物线y=x2-2x-n与x轴交于C,D两点,其

中n>0,若AD=2BC,则n的值为______.

三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算:4+3-1-20220.

18. 如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.求证:∠A=∠D.

2æ1öa-119. 先化简,再求值:ç1+÷÷,其中a=2+1.

aèaø20. 学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动,同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理,组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.

调查组设计了一份问卷,并实施两次调查.活动前,调查组随机抽取50名同学,调查他们一周的课外劳动时间t(单位:h),并分组整理,制成如下条形统计图.活动结束一个月后,调查组再次随机抽取50名

x同学,调查他们一周的课外劳动时间t(单位:h),按同样的分组方法制成如下扇形统计图,其中A组为

xz0£t<1,B组为1£t<2,C组为2£t<3,D组为3£t<4,E组为4£t<5,F组为t³5.

m oc.k

(1)判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组;

(2)该校共有2000名学生,请根据活动后的调查结果,估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数.

21 如图,△ABC内接于⊙O,AD!BC交⊙O于点D,DF!AB交BC于点E,交⊙O于点F,连接

AF,CF.

(1)求证:AC=AF;

(2)若⊙O半径为3,∠CAF=30°,求AC的长(结果保留π).

22. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.

(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰,问可购买绿萝和吊兰各多少盆? (2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值. 23. 如图,BD是矩形ABCD对角线.

的的

xoc.kxz(1)求作⊙A,使得⊙A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);

(2)在(1)的条件下,设BD与⊙A相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF与⊙A相切于点G,求tanÐADB的值.

24. 已知△ABC!△DEC,AB=AC,AB>BC.

m

(1)如图1,CB平分∠ACD,求证:四边形ABDC菱形;

(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC),BC,DE的延长线相交于点

F,用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系,并证明;

(3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若ÐBAD=ÐBCD,求∠ADB的度数.

25. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点.P是抛物线上一点,且在直线AB的上方.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标;

(3)如图,OP交AB于点C,PD!BO交AB于点D.记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为S1,S2,S3.判断

S1S2+是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.S2S3z.kxocxm

2022年福建省中考数学试题 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1. -11的相反数是( ) A. -11 【答案】D 【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得. 【详解】解:-11的相反数是11 故选:D

B. -1 11C.

1 11D. 11

【点睛】本题考查了相反数的定义,掌握相反数的定义是解题的关键. 2. 如图所示的圆柱,其俯视图是( )

c.kxxzm A. B.

oC. D.

【答案】A 【解析】

【分析】圆柱体的顶部是一圆,圆柱体的俯视图应为一个圆. 【详解】∵圆柱体的顶部是一个圆 ∴圆柱体的俯视图应为一个圆 A选项是一个圆,是圆柱体的俯视图

B选项是长方形,不符合题意 C选项是长方形,不符合题意 D选项不是圆,不符合题意 故选:A.

【点睛】本题考查几何体的三视图,从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键.

3. 5G应用在福建省全面铺开,助力千行百业迎“智”变,截止2021年底,全省5G终端用户达1397.6万户,数据13 976 000用科学记数法表示A. 13976´103

B. 1397.6´104

为( )

D.

C. 1.3976´107

0.13976´108

【答案】C 【解析】

【分析】在科学记数法中,一个数被写成一个1与10之间的实数(尾数)与一个10的幂的积.

【详解】在科学记数法中,一个数被写成一个1与10之间的实数(尾数)与一个10的幂的积

A选项13976不是一个1与10之间的实数 B选项1397.6不是一个1与10之间的实数

C选项1.3976是一个1与10之间的实数,且10的幂为7,与题意相符合 D选项0.13976不是一个1与10之间的实数. 故选:C.

【点睛】本题考查科学计数法,解题的关键是理解和掌握科学计数法的相关知识. 4. 美术老师布置同学们设计窗花,下列作品为轴对称图形的是( )

A

B.

C. D.

【答案】A 【解析】

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解:A、是轴对称图形,故此选项符合题意; B、不是轴对称图形,故此选项不合题意; C、不是轴对称图形,故此选项不合题意; D、不是轴对称图形,故此选项不合题意; 故选:A.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握轴对称图形的定义. 5. 如图,数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是( )

A. -2 B. 2 C. 5 D. π

【答案】B 【解析】

【分析】先根据数轴确定点P对应的数的大小,再结合选项进行判断即可. 【详解】解:由数轴可得,点P对应的数在1与2之间, A.-2<-B. 13<3,故本选项不符合题意;

D. 3x【点睛】本题主要考查了实数与数轴,无理数的估算,正确确定点P对应的数的大小是解

xocz答本题的关键.

.kìx-1>06. 不等式组í的解集是( )

x-3£0îA. x>1 【答案】C 【解析】

B. 1m C. 1【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大;同小取小;大小小大中间找,大大小小找不到,确定不等式组的解集. 【详解】解:由x-1>0,得:x>1, 由x-3£0,得:x£3, 则不等式组的解集为1<x£3, 故选:C.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是解题的基础,

熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找,大大小小找不到”的原则是解题的关键. 7. 化简3a2A. 9a2 【答案】C 【解析】

【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可. 【详解】3a2故选:C.

【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方,熟记幂的运算法则是解题的关键.

8. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列,下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图.

()的结果是( )

B. 6a2

C. 9a4

D. 3a4

2()2=32!(a2)=9a4,

2

地区是( ) A. F1 【答案】D 【解析】

B. F6

c.kxx综合指数越小,表示环境空气质量越好.依据综合指数,从图中可知环境空气质量最好的

zC. F7

D. F10

【分析】根据折线统计图,观察图中的各个数据,根据数据信息逐项判定即可. 【详解】解:结合题意,综合指数越小,表示环境空气质量越好,根据福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图可直观看到F10的综合指数最小,从而可知环境空气质量最好的地区就是F10, 故选:D.

【点睛】本题考查折线统计图,根据图中所呈现的数据信息得出结论是解决问题的关键. 9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,ÐABC=27°,BC=44cm,则高AD约为( )(参考数据:sin27°»0.45,cos27°»0.,

tan27°»0.51)

m o

A. 9.90cm 22.44cm 【答案】B 【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质及BC=44cm,可得DC=B. 11.22cm

C. 19.58cm

D.

1BC=22cm,根据等腰三角2形的性质及ÐABC=27°,可得ÐACB=ÐABC=27°,在Rt!ADC中,由

AD=tan27°´CD,求得AD的长度.

【详解】解:∵等腰三角形ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, ∴DC=1BC, 21BC=22cm. 2xcm o.kxz∵BC=44cm, ∴DC=∵等腰三角形ABC,AB=AC,ÐABC=27°, ∴ÐACB=ÐABC=27°.

∵AD为BC边上的高,ÐACB=27°, ∴在Rt!ADC中,

AD=tan27°´CD,

∵tan27°»0.51,DC=22cm, ∴AD»0.51´22=11.22cm. 故选:B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义,熟练掌握正切的定义是解题的关键.

10. 如图,现有一把直尺和一块三角尺,其中ÐABC=90°,ÐCAB=60°,AB=8,点A

对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移,使得△ABC移动到VA¢B¢C¢,点A¢对应直尺的刻度为0,则四边形ACC¢A¢的面积是( )

A. 96

B. 963 C. 192 D.

1603 【答案】B 【解析】

【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°,根据四边形ACC¢A¢的面积为

AA¢×ACsin60°=2ABsin60°×AA¢,即可求解.

【详解】解:依题意ACC¢A¢为平行四边形, ∵ÐABC=90°,ÐCAB=60°,AB=8,AA¢=12.

\\AC=2AB

∴平行四边形ACC¢A¢的面积=AA¢×ACsin60°=2ABsin60°×AA¢

=2´8´12´故选B

3=963 2【点睛】本题考查了解直角三角形,平移的性质,掌握平移的性质是解题的关键.

k二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分. xm xz11. 四边形的外角和等于_______. 【答案】360°. 【解析】

【详解】解:n(n≥3)边形的外角和都等于360°.

12. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若BC=12,则DE的长为______.

【答案】6

oc.

【解析】

【分析】利用中位线的性质计算即可. 【详解】∵D,E分别是AB,AC中点, ∴DE是△ABC的中位线, 又BC=12, ∴DE=的1BC=6, 2故答案为:6.

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质,中位线平行且等于第三边的一半,熟记中位线的性质是解题的关键.

13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球,这个球是红球的概率是______. 【答案】

3 5【解析】

【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数,再根据概率公式即可得出答案.

【详解】解:根据题意可得:不透明的袋子里装有将5个球,其中3个红色的, 任意摸出1个,摸到红球的概率是

3. 5故答案为:

3. 5【点睛】此题考查了概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 14. 已知反比例函数y

=

k

的图象分别位于第二、第四象限,则实数k的值可以是x

______.(只需写出一个符合条件的实数) 【答案】-5(答案不唯一) 【解析】

【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k<0,进而问题可求解. 【详解】解:由反比例函数y∴实数k的值可以是-5; 故答案为-5(答案不唯一).

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象,熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键. 15. 推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.

=

k

的图象分别位于第二、第四象限可知k<0, x

例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下: 设任意一个实数

为x,令x=m,

等式两边都乘以x,得x2=mx.①

等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2.② 等式两边分别分解因式,得

(x+m)(x-m)=m(x-m).③

等式两边都除以x-m,得x+m=m.④ 等式两边都减m,得x=0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是______. 【答案】④ 【解析】

【分析】根据等式的性质2即可得到结论.

【详解】等式的性质2为:等式两边同乘或除以同一个不为0的整式,等式不变, ∴第④步等式两边都除以x-m,得x+m=m,前提必须为x-m¹0,因此错误; 故答案为:④.

【点睛】本题考查等式的性质,熟知等式的性质是解题的关键. 16. 已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A,B两点,抛物线y=x2-2x-n与x轴交于

C,D两点,其中n>0,若AD=2BC,则n的值为______. 【答案】8 【解析】

【分析】先求出抛物线y=x2+2x-n与x轴的交点,抛物线y=x2-2x-n与x轴的交

点,然后根据AD=2BC,得出AD2=4BC2,列出关于n的方程,解方程即可。 【详解】解: 把y=0代入y=解得:x1=x2+2x-n得:x2+2x-n=0,

-2-4+4n-2+4+4n=-1-1+n,x2==-1+1+n, 22把y=0代入y=x2-2x-n得:x2-2x-n=0, 解得:x3=2-4+4n2+4+4n=1-1+n,x4==1+1+n, 22∵AD=2BC, ∴AD2=4BC2,

∴(x1-x4)=4(x2-x3),

22

即-1-1+n-1-1+n()2=4-1+1+n-1+1+n,

()2(-1-1+n)2=4-1+1+n,

22()2令1+n=m,则(-1-m)=4(1-m), 解得:m1=当m1=1,m2=3, 3118时,1+n=,解得:n=-,

933∵n>0,

8∴n=-不符合题意舍去;

9当m2=3时,1+n=3,解得:n=8, ∵8>0, ∴n=8符合题意;

综上分析可知,n的值为8.

【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题,根据题意用n表示出AD2=4BC2,列出关于n的方程是解题的关键.

三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. xo04、3-1、2022,再进行加减运算即可.

17. 计算:4+3-1-20220.

xc.k【答案】3 【解析】 【分析】分别化简z【详解】解:原式=2+3-1-1=3. 【点睛】本题考查了二次根式的化简,绝对值的化简,零指数次幂以及二次根式的加减运算,正确进行化简运算是解题的关键.

18. 如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.求证:∠A=∠D.

m

【答案】见解析 【解析】

【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论. 【详解】证明:∵BF=EC,

∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中,

ìAB=DEï

íÐB=ÐE, ïBC=EFî

∴△ABC≌△DEF, ∴∠A=∠D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键.

2æ1öa-119. 先化简,再求值:ç1+÷÷,其中a=2+1.

aèaø【分析】根据分式的混合运算法则化简,再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案.

(a+1)(a-1)

【详解】解:原式=a+1÷aa==a+1a× a(a+1)(a-1)1. a-1当a=2+1时,原式=12. =2+1-12【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解题的关键.

20. 学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动,同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理,组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.

m 【解析】

oc.kx【答案】

12 ,.a-12xz

调查组设计了一份问卷,并实施两次调查.活动前,调查组随机抽取50名同学,调查他们一周的课外劳动时间t(单位:h),并分组整理,制成如下条形统计图.活动结束一个月后,调查组再次随机抽取50名同学,调查他们一周的课外劳动时间t(单位:h),按同样的分组方法制成如下扇形统计图,其中A组为0£t<1,B组为1£t<2,C组为

2£t<3,D组为3£t<4,E组为4£t<5,F组为t³5.

(1)判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组;

(2)该校共有2000名学生,请根据活动后的调查结果,估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数.

【答案】(1)活动前调查数据的中位数落在C组;活动后调查数据的中位数落在D组 (2)1400人 【解析】

【分析】(1)根据中位数的定义求解即可;

(2)该校学生一周的课外劳动时间不小于3h为D、E、F组,用该校总人数乘以所占百分比即可. 【小问1详解】

c.m okxxz活动前,一共调查了50名同学,中位数是第25和26个数据的平均数, ∴活动前调查数据的中位数落在C组;

活动后,A、B、C三组的人数为50´(6%+8%+16%)=15(名), D组人数为:50´30%=15(名),15+15=30(名)

活动后一共调查了50名同学,中位数是第25和26个数据的平均数, ∴活动后调查数据的中位数落在D组; 【小问2详解】

一周的课外劳动时间不小于3h的比例为30%+24%+16%=70%,; 2000´70%=1400(人)

答:根据活动后的调查结果,估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人.

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图,用样本估计总体,中位数的定义等,解题的关键是理解题意,从图中找到解题的信息.

21. 如图,△ABC内接于⊙O,AD!BC交⊙O于点D,DF!AB交BC于点E,交⊙O于点F,连接AF,CF.

(1)求证:AC=AF;

(2)若⊙O的半径为3,∠CAF=30°,求AC的长(结果保留π). 【答案】(1)见解析 (2)【解析】

【分析】(1)先证明四边形ABED是平行四边形,得∠B=∠D,再证明ÐAFC=ÐACF即可得到结论;

(2)连接OA,OC,根据等腰三角形的性质求出ÐAFC=75°,由圆周角定理可得

5p 2ÐAEC=150°,最后由弧长公式可求出结论.

【小问1详解】

∵AD!BC,DF!AB, ∴四边形ABED是平行四边形, ∴∠B=∠D.

又∠AFC=∠B,∠ACF=∠D, ∴ÐAFC=ÐACF, ∴AC=AF. 【小问2详解】 连接AO,CO.

xom xc.kz

由(1)得∠AFC=∠ACF, 又∵∠CAF=30°, ∴ÐAFC=180°-30°2=75°,

∴ÐAOC=2ÐAFC=150°.

150´p´3=5p.

1802∴AC的长l=【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质,圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识,熟练掌握相关知识是解答本题的关键.

22. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.

(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰,问可购买绿萝和吊兰各多少盆?

m oc.kxxz(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值. 【答案】(1)购买绿萝38盆,吊兰8盆 (2)369元 【解析】

【分析】(1)设购买绿萝x盆,购买吊兰y盆,根据题意建立方程组í方程组即可得到答案;

(2)设购买绿萝x盆,购买吊兰y盆,总费用为z,得到关于z的一次函数

ìx+y=46,解

î9x+6y=390z=-3y+414,再建立关于y的不等式组,解出y的取值范围,从而求得z的最小值.

【小问1详解】

设购买绿萝x盆,购买吊兰y盆

∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆 ∴x+y=46

∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰,绿萝每盆9元,吊兰每盆6元 ∴9x+6y=390 得方程组íìx+y=46

9x+6y=390îìx=38

îy=8解方程组得í∵38>2×8,符合题意

∴购买绿萝38盆,吊兰8盆; 【小问2详解】

设购买绿萝x盆,购买吊兰吊y盆,总费用为z ∴x+y=46,z=9x+6y ∴z=414-3y

∵总费用要低于过390元,绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍

ì414-3y<390∴í

x³2yîì414-3y<390将x=46-y代入不等式组得í

46-y³2yî∴8故购买两种绿植最少花费为369元.

【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质,解题的关键是数量掌握二元一次方程组、一次函数、不等式组的相关知识. 23. 如图,BD是矩形ABCD的对角线.

∴y的最大值为15

.46 3

(1)求作⊙A,使得⊙A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,设BD与⊙A相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF与⊙A相切于点G,求tanÐADB的值. 【答案】(1)作图见解析 (2)5-1 2【解析】

【分析】(1)先过点A作BD的垂线,进而找出半径,即可作出图形;

(2)根据题意,作出图形,设ÐADB=a,⊙A的半径为r,先判断出BE=DE,进而得出四边形AEFG是正方形,然后在Rt△ABE中,根据勾股定理建立方程求解

BE=rtana,再判定△ABE≌△CDF,根据BE=DF=rtana,DE=DF+EF=rtana+r,在Rt△ADE中,利用tanÐADE=tan2a+tana-1=0,求解得到tan∠ADB的值为

【小问1详解】

解:如图所示,⊙A即为所求作:

.kxxzAE,得到DE5-1. 2【小问2详解】

解:根据题意,作出图形如下:

m oc

设ÐADB=a,⊙A的半径为r,

∵BD与⊙A相切于点E,CF与⊙A相切于点G, ∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°, ∵CF⊥BD, ∴∠EFG=90°, ∴四边形AEFG是矩形, 又AE=AG=r,

∴四边形AEFG是正方形, ∴EF=AE=r,

在Rt△AEB和Rt△DAB中,ÐBAE+ÐABD=90°,ÐADB+ÐABD=90°, ∴ÐBAE=ÐADB=a,

BE, AEc.kxoxz在Rt△ABE中,tanÐBAE=∴BE=rtana,

∴AB∥CD,AB=CD,

∴ÐABE=ÐCDF,又ÐAEB=ÐCFD=90°, ∴△ABE≌△CDF, ∴BE∴DE=DF=rtana,

=DF+EF=rtana+r,

AE,即DE×tana=AE, DE在Rt△ADE中,tanÐADE=∴

(rtana+r)tana=r,即tan2a+tana-1=0,

5-1,即tan∠ADB的值为5-1. 22∵tana>0, ∴tana=m ∵四边形ABCD是矩形,

【点睛】此题是圆的综合题,主要考查了尺规作图,切线的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的判定与性质,矩形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数,利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键.

24. 已知△ABC!△DEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如图1,CB平分∠ACD,求证:四边形ABDC是菱形;

(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC),BC,DE的延长线相交于点F,用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系,并证明; (3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若

ÐBAD=ÐBCD,求∠ADB的度数.

【答案】(1)见解析 (2)ÐACE+ÐEFC(3)30° 【解析】

【分析】(1)先证明四边形ABDC是平行四边形,再根据AB=AC得出结论;(2)先证出

z=180°,见解析

ÐACF=ÐCEF,再根据三角形内角和ÐCEF+ÐECF+ÐEFC=180°,得到

(3)在AD上取一点M,使ÐACF+ÐECF+ÐEFC=180°,等量代换即可得到结论;

m 得AM=CB,连接BM,证得△ABM≌△CDB,得到ÐMBA=ÐBDC,设

ocÐBCD=ÐBAD=a,ÐBDC=b,则ÐADB=a+b,得到α+β的关系即可.

【小问1详解】 ∵△ABC!△DEC, ∴AC=DC, ∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,AB=DC, ∵CB平分∠ACD, ∴ÐACB=ÐDCB, ∴ÐABC=ÐDCB, ∴AB∥CD,

∴四边形ABDC是平行四边形,

.kxx

又∵AB=AC,

∴四边形ABDC是菱形; 【小问2详解】 结论:ÐACE+ÐEFC=180°.

证明:∵△ABC!△DEC, ∴ÐABC=ÐDEC, ∵AB=AC,

∴∠ABC=ÐACB, ∴ÐACB=ÐDEC, ∵ÐACB+ÐACF∴ÐACF=ÐDEC+ÐCEF=180°,

=180°, =180°,

=ÐCEF,

∵ÐCEF+ÐECF+ÐEFC∴ÐACF+ÐECF+ÐEFC∴ÐACE+ÐEFC【小问3详解】

=180°;

在AD上取一点M,使得AM=CB,连接BM,

xxc.kz∵AB=CD,ÐBAD=ÐBCD, ∴△ABM≌△CDB,

∴BM=BD,ÐMBA=ÐBDC, ∴ÐADB=ÐBMD,

∵ÐBMD=ÐBAD+ÐMBA, ∴ÐADB=ÐBCD+ÐBDC,

设ÐBCD=ÐBAD=a,ÐBDC=b,则ÐADB=a+b, ∵CA=CD,

∴ÐCAD=ÐCDA=a+2b, ∴ÐBAC=ÐCAD-ÐBAD=2b, ∴ÐACB=1180°-ÐBAC=90°-b, ()2m o

∴ÐACD=(90°-b)+a,

∵ÐACD+ÐCAD+ÐCDA=180°, ∴

(90°-b)+a+2(a+2b)=180°,

∴a+b=30°,即∠ADB=30°.

【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等,灵活运用知识,利用数形结合思想,做出辅助线是解题的关键.

25. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点.P是抛物线上一点,且在直线AB的上方.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标;

(3)如图,OP交AB于点C,PD!BO交AB于点D.记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为S1,S2,S3.判断在,请说明理由. 【答案】(1)y=-4x2S1S2+是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存S2S3m oc.kxxz3+16x 3(2)存在,ç2,(3)存在,【解析】

æ16ö÷或(3,4) 3èø9 8【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解; (2)待定系数法求得直线AB的解析式为y=-416x+,过点P作PM⊥x轴,垂足为33M,PM交AB于点N.过点B作BE⊥PM,垂足为E.可得S△PAB=S△PNB+S△PNA

=3PN,设Pm,-4m2+16m(133332PN=-4m2+16m--4m+16=8,解方程求得m的值,进而即可求解;

33333(3)由已知条件可得!OBC∽!PDC,进而可得

()()()()S1S2CDPC2PD+=+,过点=S2S3BCOCOBB,P分别作x轴的垂线,垂足分别F,E,PE交AB于点Q,过D作x的平行线,交PE于点G,可得!DPG∽!OBF,设Pm,-(4m2+16m1()33)416öPDDGæDn,-4n+16,则Gçm,-n+÷,根据可得4n=m2-m+4,根据=3333øOBOFè2S1S2CDPCDG1æ5ö9+=+=2=-çm-÷+,根据二次函数的性质即可求的最大S2S3BCOCOF2è2ø8()值.

【小问1详解】

解:(1)将A(4,0),B(1,4)代入y=ax2+bx,

ì16a+4b=0得í,

a+b=4î4ìa=-ïï3解得í.

16ïb=ï3î所以抛物线的解析式为y=-4x23+16x.

3【小问2详解】

设直线AB的解析式为y=kx+t(k¹0), 将A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,

ì4k+t=0得í,

k+t=4î4ì=-kïï3解得í.

ït=16ï3î所以直线AB的解析式为y=-416x+. 33 .

过点P作PM⊥x轴,垂足为M,PM交AB于点N. 过点B作BE⊥PM,垂足为E.

所以S△PAB=S△PNB+S△PNA

=1PN´BE+1PN´AM 22=1PN´(BE+AM) 2=3PN. 2因为A(4,0),B(1,4),所以S△OAB=因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍, 所以2´1´4´4=8. 23PN=8,PN=8. 23设Pm,-所以PN=-即-4m2(4m2+16m--4m+16=8,

33333)()3+20m-16=8, 333æ16ö. ÷或(3,4)

3èø解得m1=2,m2=3. 所以点P的坐标为ç2,【小问3详解】

!PD!BO

CDPDPC ==

BCOBOC

\\!OBC∽!PDC

\\

m (4m2+16m1()3333oc.k)xxz()

记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为S1,S2,S3.则

S1S2CDPC2PD+=+ =S2S3BCOCOB如图,过点B,P分别作x轴的垂线,垂足分别F,E,PE交AB于点Q,过D作x的平行线,交PE于点G

!B(1,4), \\F(1,0) \\OF=1

!PD!OB,DG!OF PDPGDG==, OBBFOF.k\\!DPG∽!OBF

xom xz\\设Pm,-(4m2+16m1()33416y=-x+.

33)!直线AB的解析式为

设Dn,-(4n+16,则Gæm,-4n+16ö ç÷3333øè)4116PG=-m2+m+n-

3333=42m-4m-n+4) (3DG=m-n

c

42(m-4m-n+4)m-n 3\\=41整理得4n=m2-m+4

\\S1S2CDPC2PD+=+ =S2S3BCOCOB=2DG OF=2(m-n)

æm2-m+4ö=2çm-÷ 4èø=-12m-5m+4) (221æ5ö9=-çm-÷+

2è2ø8SS95\\m=时,1+2取得最大值,最大值为

S2S382【点睛】本题考查了二次函数综合,待定系数法求解析式,面积问题,相似三角形的性质与

判定,第三问中转化为线段的比是解题的关键.

.

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