2022年福建中考数学真题

2022年福建省中考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. －11的相反数是（ ） A. －11

B. -1 11C.

1 11D. 11

2. 如图所示的圆柱，其俯视图是（ ）

A. B.

C.

kxxzD.

户，数据13 976 000用科学记数法表示为（ ） A. 13976´103

B. 1397.6´104

C. 1.3976´107

D. 0.13976´108

4. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）

A.

m 3. 5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万

oc.B.

C. D.

5. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）

A.

-2 B.

2 C.

5 D. π

6. 不等式组íA. x>1 7. 化简3a2A. 9a2

ìx-1>0的解集是（ ）

x-3£0îB. 12C. 1()的结果是（ ）

B. 6a2

C. 9a4

D. 3a4

8. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．

A. F1

c.k综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ）

xxzB. F6

C. F7

D. F10

9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，ÐABC=27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°»0.45，cos27°»0.，tan27°»0.51）

A. 9.90cm

B. 11.22cm

C. 19.58cm

D. 22.44cm

10. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中ÐABCm o=90°，ÐCAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻

度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到VA¢B¢C¢，点A¢对应直尺的刻度为0，则四边形

ACC¢A¢的面积是（ ）

A. 96

B. 963 C. 192

D. 1603 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 四边形的外角和等于_______.

12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC中点．若BC＝12，则DE的长为______．

的

13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______． 14. 已知反比例函数y符合条件的实数）

15. 推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令x=m， 等式两边都乘以x，得x2=

k

的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个x

m oc.kxx=mx．①

等式两边都减m2，得x2-m2=mx-m2．② 等式两边分别分解因式，得

(x+m)(x-m)=m(x-m)．③

等式两边都除以x-m，得x+m=m．④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.

z

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______． 16. 已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A，B两点，抛物线y=x2-2x-n与x轴交于C，D两点，其

中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：4+3-1-20220．

18. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

2æ1öa-119. 先化简，再求值：ç1+÷÷，其中a=2+1．

aèaø20. 学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名

x同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为

xz0£t<1，B组为1£t<2，C组为2£t<3，D组为3£t<4，E组为4£t<5，F组为t³5．

m oc.k

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．

21 如图，△ABC内接于⊙O，AD!BC交⊙O于点D，DF!AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接

AF，CF．

（1）求证：AC＝AF；

（2）若⊙O半径为3，∠CAF＝30°，求AC的长（结果保留π）．

22. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？ （2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 23. 如图，BD是矩形ABCD对角线．

的的

xoc.kxz（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tanÐADB的值．

24. 已知△ABC!△DEC，AB＝AC，AB＞BC．

m

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC菱形；

（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点

是

F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若ÐBAD=ÐBCD，求∠ADB的度数．

25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

（3）如图，OP交AB于点C，PD!BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断

S1S2+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．S2S3z.kxocxm

2022年福建省中考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. －11的相反数是（ ） A. －11 【答案】D 【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：－11的相反数是11 故选：D

B. -1 11C.

1 11D. 11

【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 如图所示的圆柱，其俯视图是（ ）

c.kxxzm A. B.

oC. D.

【答案】A 【解析】

【分析】圆柱体的顶部是一圆，圆柱体的俯视图应为一个圆． 【详解】∵圆柱体的顶部是一个圆 ∴圆柱体的俯视图应为一个圆 A选项是一个圆，是圆柱体的俯视图

B选项是长方形，不符合题意 C选项是长方形，不符合题意 D选项不是圆，不符合题意 故选：A．

【点睛】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．

3. 5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示A. 13976´103

B. 1397.6´104

为（ ）

D.

C. 1.3976´107

0.13976´108

【答案】C 【解析】

【分析】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积．

【详解】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积

A选项13976不是一个1与10之间的实数 B选项1397.6不是一个1与10之间的实数

C选项1.3976是一个1与10之间的实数，且10的幂为7，与题意相符合 D选项0.13976不是一个1与10之间的实数． 故选：C．

【点睛】本题考查科学计数法，解题的关键是理解和掌握科学计数法的相关知识． 4. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）

A

B.

C. D.

【答案】A 【解析】

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 5. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）

A. -2 B. 2 C. 5 D. π

【答案】B 【解析】

【分析】先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间， A.-2<-B. 13<3，故本选项不符合题意；

D. 3x【点睛】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解

xocz答本题的关键．

.kìx-1>06. 不等式组í的解集是（ ）

x-3£0îA. x>1 【答案】C 【解析】

B. 1m C. 1【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：由x-1＞0，得：x＞1， 由x-3£0，得：x£3， 则不等式组的解集为1＜x£3， 故选：C．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的基础，

熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键． 7. 化简3a2A. 9a2 【答案】C 【解析】

【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可． 【详解】3a2故选：C．

【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．

8. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．

()的结果是（ ）

B. 6a2

C. 9a4

D. 3a4

2()2=32!(a2)=9a4，

2

地区是（ ） A. F1 【答案】D 【解析】

B. F6

c.kxx综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的

zC. F7

D. F10

【分析】根据折线统计图，观察图中的各个数据，根据数据信息逐项判定即可． 【详解】解：结合题意，综合指数越小，表示环境空气质量越好，根据福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图可直观看到F10的综合指数最小，从而可知环境空气质量最好的地区就是F10， 故选：D．

【点睛】本题考查折线统计图，根据图中所呈现的数据信息得出结论是解决问题的关键． 9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，ÐABC=27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°»0.45，cos27°»0.，

tan27°»0.51）

m o

A. 9.90cm 22.44cm 【答案】B 【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得DC=B. 11.22cm

C. 19.58cm

D.

1BC=22cm，根据等腰三角2形的性质及ÐABC=27°，可得ÐACB=ÐABC=27°，在Rt!ADC中，由

AD=tan27°´CD，求得AD的长度．

【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴DC=1BC， 21BC=22cm． 2xcm o.kxz∵BC＝44cm， ∴DC=∵等腰三角形ABC，AB＝AC，ÐABC=27°， ∴ÐACB=ÐABC=27°．

∵AD为BC边上的高，ÐACB=27°， ∴在Rt!ADC中，

AD=tan27°´CD，

∵tan27°»0.51，DC=22cm， ∴AD»0.51´22=11.22cm． 故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．

10. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中ÐABC=90°，ÐCAB=60°，AB＝8，点A

对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到VA¢B¢C¢，点A¢对应直尺的刻度为0，则四边形ACC¢A¢的面积是（ ）

A. 96

B. 963 C. 192 D.

1603 【答案】B 【解析】

【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC¢A¢的面积为

AA¢×ACsin60°=2ABsin60°×AA¢，即可求解．

【详解】解：依题意ACC¢A¢为平行四边形， ∵ÐABC=90°，ÐCAB=60°，AB＝8，AA¢=12．

\\AC=2AB

∴平行四边形ACC¢A¢的面积=AA¢×ACsin60°=2ABsin60°×AA¢

=2´8´12´故选B

3=963 2【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．

k二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． xm xz11. 四边形的外角和等于_______. 【答案】360°． 【解析】

【详解】解：n（n≥3）边形的外角和都等于360°．

12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．

【答案】6

oc.

【解析】

【分析】利用中位线的性质计算即可． 【详解】∵D，E分别是AB，AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， 又BC=12， ∴DE=的1BC=6， 2故答案为：6．

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键．

13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______． 【答案】

3 5【解析】

【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的， 任意摸出1个，摸到红球的概率是

3． 5故答案为：

3． 5【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 已知反比例函数y

=

k

的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是x

______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一） 【解析】

【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数y∴实数k的值可以是-5； 故答案为-5（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 15. 推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

=

k

的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0， x

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数

为x，令x=m，

等式两边都乘以x，得x2=mx．①

等式两边都减m2，得x2-m2=mx-m2．② 等式两边分别分解因式，得

(x+m)(x-m)=m(x-m)．③

等式两边都除以x-m，得x+m=m．④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______． 【答案】④ 【解析】

【分析】根据等式的性质2即可得到结论．

【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变， ∴第④步等式两边都除以x-m，得x+m=m，前提必须为x-m¹0，因此错误； 故答案为：④．

【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键． 16. 已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A，B两点，抛物线y=x2-2x-n与x轴交于

C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______． 【答案】8 【解析】

【分析】先求出抛物线y=x2+2x-n与x轴的交点，抛物线y=x2-2x-n与x轴的交

点，然后根据AD=2BC，得出AD2=4BC2，列出关于n的方程，解方程即可。 【详解】解： 把y=0代入y=解得：x1=x2+2x-n得：x2+2x-n=0，

-2-4+4n-2+4+4n=-1-1+n，x2==-1+1+n， 22把y=0代入y=x2-2x-n得：x2-2x-n=0， 解得：x3=2-4+4n2+4+4n=1-1+n，x4==1+1+n， 22∵AD=2BC， ∴AD2=4BC2，

∴(x1-x4)=4(x2-x3)，

22

即-1-1+n-1-1+n()2=4-1+1+n-1+1+n，

()2(-1-1+n)2=4-1+1+n，

22()2令1+n=m，则(-1-m)=4(1-m)， 解得：m1=当m1=1，m2=3， 3118时，1+n=，解得：n=-，

933∵n＞0，

8∴n=-不符合题意舍去；

9当m2=3时，1+n=3，解得：n=8， ∵8＞0， ∴n=8符合题意；

综上分析可知，n的值为8．

【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出AD2=4BC2，列出关于n的方程是解题的关键．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． xo04、3-1、2022，再进行加减运算即可．

17. 计算：4+3-1-20220．

xc.k【答案】3 【解析】 【分析】分别化简z【详解】解：原式=2+3-1-1=3． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的化简，零指数次幂以及二次根式的加减运算，正确进行化简运算是解题的关键．

18. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

m

【答案】见解析 【解析】

【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】证明：∵BF＝EC，

∴BF+CF=EC+CF，即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中，

ìAB=DEï

íÐB=ÐE， ïBC=EFî

∴△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键．

2æ1öa-119. 先化简，再求值：ç1+÷÷，其中a=2+1．

aèaø【分析】根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．

(a+1)(a-1)

【详解】解：原式=a+1÷aa==a+1a× a(a+1)(a-1)1． a-1当a=2+1时，原式=12． =2+1-12【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．

20. 学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．

m 【解析】

oc.kx【答案】

12 ，．a-12xz

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为0£t<1，B组为1£t<2，C组为

2£t<3，D组为3£t<4，E组为4£t<5，F组为t³5．

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．

【答案】（1）活动前调查数据的中位数落在C组；活动后调查数据的中位数落在D组 （2）1400人 【解析】

【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；

（2）该校学生一周的课外劳动时间不小于3h为D、E、F组，用该校总人数乘以所占百分比即可． 【小问1详解】

c.m okxxz活动前，一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数， ∴活动前调查数据的中位数落在C组；

活动后，A、B、C三组的人数为50´(6%+8%+16%)=15（名）， D组人数为：50´30%=15（名），15+15=30（名）

活动后一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数， ∴活动后调查数据的中位数落在D组； 【小问2详解】

一周的课外劳动时间不小于3h的比例为30%+24%+16%=70%，； 2000´70%=1400（人）

答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，中位数的定义等，解题的关键是理解题意，从图中找到解题的信息．

21. 如图，△ABC内接于⊙O，AD!BC交⊙O于点D，DF!AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．

（1）求证：AC＝AF；

（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求AC的长（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2）【解析】

【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明ÐAFC=ÐACF即可得到结论；

（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出ÐAFC=75°，由圆周角定理可得

5p 2ÐAEC=150°,最后由弧长公式可求出结论．

【小问1详解】

∵AD!BC，DF!AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠B＝∠D．

又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D， ∴ÐAFC=ÐACF， ∴AC＝AF． 【小问2详解】 连接AO，CO．

xom xc.kz

由（1）得∠AFC＝∠ACF， 又∵∠CAF＝30°， ∴ÐAFC=180°-30°2=75°，

∴ÐAOC=2ÐAFC=150°．

150´p´3=5p．

1802∴AC的长l=【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．

22. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

m oc.kxxz（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】（1）购买绿萝38盆，吊兰8盆 （2）369元 【解析】

【分析】（1）设购买绿萝x盆，购买吊兰y盆，根据题意建立方程组í方程组即可得到答案；

（2）设购买绿萝x盆，购买吊兰y盆，总费用为z，得到关于z的一次函数

ìx+y=46，解

î9x+6y=390z=-3y+414，再建立关于y的不等式组，解出y的取值范围，从而求得z的最小值．

【小问1详解】

设购买绿萝x盆，购买吊兰y盆

∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆 ∴x+y=46

∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元 ∴9x+6y=390 得方程组íìx+y=46

9x+6y=390îìx=38

îy=8解方程组得í∵38>2×8，符合题意

∴购买绿萝38盆，吊兰8盆； 【小问2详解】

设购买绿萝x盆，购买吊兰吊y盆，总费用为z ∴x+y=46，z=9x+6y ∴z=414-3y

∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍

ì414-3y<390∴í

x³2yîì414-3y<390将x=46-y代入不等式组得í

46-y³2yî∴8故购买两种绿植最少花费为369元．

【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质，解题的关键是数量掌握二元一次方程组、一次函数、不等式组的相关知识． 23. 如图，BD是矩形ABCD的对角线．

∴y的最大值为15

.46 3

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tanÐADB的值． 【答案】（1）作图见解析 （2）5-1 2【解析】

【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；

（2）根据题意，作出图形，设ÐADB=a，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解

BE=rtana，再判定△ABE≌△CDF，根据BE=DF=rtana，DE=DF+EF=rtana+r，在Rt△ADE中，利用tanÐADE=tan2a+tana-1=0，求解得到tan∠ADB的值为

【小问1详解】

解：如图所示，⊙A即为所求作：

.kxxzAE，得到DE5-1． 2【小问2详解】

解：根据题意，作出图形如下：

m oc

设ÐADB=a，⊙A的半径为r，

∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又AE=AG=r，

∴四边形AEFG是正方形， ∴EF=AE=r，

在Rt△AEB和Rt△DAB中，ÐBAE+ÐABD=90°，ÐADB+ÐABD=90°， ∴ÐBAE=ÐADB=a，

BE， AEc.kxoxz在Rt△ABE中，tanÐBAE=∴BE=rtana，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴ÐABE=ÐCDF，又ÐAEB=ÐCFD=90°， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE∴DE=DF=rtana，

=DF+EF=rtana+r，

AE，即DE×tana=AE， DE在Rt△ADE中，tanÐADE=∴

(rtana+r)tana=r，即tan2a+tana-1=0，

5-1，即tan∠ADB的值为5-1． 22∵tana>0， ∴tana=m ∵四边形ABCD是矩形，

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．

24. 已知△ABC!△DEC，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明； （3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若

ÐBAD=ÐBCD，求∠ADB的度数．

【答案】（1）见解析 （2）ÐACE+ÐEFC（3）30° 【解析】

【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出

z=180°，见解析

ÐACF=ÐCEF，再根据三角形内角和ÐCEF+ÐECF+ÐEFC=180°，得到

（3）在AD上取一点M，使ÐACF+ÐECF+ÐEFC=180°，等量代换即可得到结论；

m 得AM＝CB，连接BM，证得△ABM≌△CDB，得到ÐMBA=ÐBDC，设

ocÐBCD=ÐBAD=a，ÐBDC=b，则ÐADB=a+b，得到α+β的关系即可．

【小问1详解】 ∵△ABC!△DEC， ∴AC＝DC， ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC， ∵CB平分∠ACD， ∴ÐACB=ÐDCB， ∴ÐABC=ÐDCB， ∴AB∥CD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

.kxx

又∵AB＝AC，

∴四边形ABDC是菱形； 【小问2详解】 结论：ÐACE+ÐEFC=180°．

证明：∵△ABC!△DEC， ∴ÐABC=ÐDEC， ∵AB＝AC，

∴∠ABC=ÐACB， ∴ÐACB=ÐDEC， ∵ÐACB+ÐACF∴ÐACF=ÐDEC+ÐCEF=180°，

=180°， =180°，

=ÐCEF，

∵ÐCEF+ÐECF+ÐEFC∴ÐACF+ÐECF+ÐEFC∴ÐACE+ÐEFC【小问3详解】

=180°；

在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，

xxc.kz∵AB＝CD，ÐBAD=ÐBCD， ∴△ABM≌△CDB，

∴BM＝BD，ÐMBA=ÐBDC， ∴ÐADB=ÐBMD，

∵ÐBMD=ÐBAD+ÐMBA， ∴ÐADB=ÐBCD+ÐBDC，

设ÐBCD=ÐBAD=a，ÐBDC=b，则ÐADB=a+b， ∵CA＝CD，

∴ÐCAD=ÐCDA=a+2b， ∴ÐBAC=ÐCAD-ÐBAD=2b， ∴ÐACB=1180°-ÐBAC=90°-b， ()2m o

∴ÐACD=(90°-b)+a，

∵ÐACD+ÐCAD+ÐCDA=180°， ∴

(90°-b)+a+2(a+2b)=180°，

∴a+b=30°，即∠ADB＝30°．

【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．

25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

（3）如图，OP交AB于点C，PD!BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断在，请说明理由． 【答案】（1）y=-4x2S1S2+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存S2S3m oc.kxxz3+16x 3（2）存在，ç2,（3）存在，【解析】

æ16ö÷或（3，4） 3èø9 8【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为y=-416x+，过点P作PM⊥x轴，垂足为33M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得S△PAB=S△PNB+S△PNA

=3PN，设Pm,-4m2+16m(133332PN=-4m2+16m--4m+16=8，解方程求得m的值，进而即可求解；

33333（3）由已知条件可得!OBC∽!PDC，进而可得

()()()()S1S2CDPC2PD+=+，过点=S2S3BCOCOBB,P分别作x轴的垂线，垂足分别F,E，PE交AB于点Q，过D作x的平行线，交PE于点G，可得!DPG∽!OBF，设Pm,-(4m2+16m1()33)416öPDDGæDn,-4n+16，则Gçm,-n+÷，根据可得4n=m2-m+4，根据=3333øOBOFè2S1S2CDPCDG1æ5ö9+=+=2=-çm-÷+，根据二次函数的性质即可求的最大S2S3BCOCOF2è2ø8()值．

【小问1详解】

解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y=ax2+bx，

ì16a+4b=0得í，

a+b=4î4ìa=-ïï3解得í．

16ïb=ï3î所以抛物线的解析式为y=-4x23+16x．

3【小问2详解】

设直线AB的解析式为y=kx+t(k¹0)， 将A（4，0），B（1，4）代入y=kx+t，

ì4k+t=0得í，

k+t=4î4ì=-kïï3解得í．

ït=16ï3î所以直线AB的解析式为y=-416x+． 33 .

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以S△PAB=S△PNB+S△PNA

=1PN´BE+1PN´AM 22=1PN´(BE+AM) 2=3PN． 2因为A（4，0），B（1，4），所以S△OAB=因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以2´1´4´4=8． 23PN=8，PN=8． 23设Pm,-所以PN=-即-4m2(4m2+16m--4m+16=8，

33333)()3+20m-16=8， 333æ16ö． ÷或（3，4）

3èø解得m1=2，m2=3． 所以点P的坐标为ç2,【小问3详解】

!PD!BO

CDPDPC ==

BCOBOC

\\!OBC∽!PDC

\\

m (4m2+16m1()3333oc.k)xxz()

记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．则

S1S2CDPC2PD+=+ =S2S3BCOCOB如图，过点B,P分别作x轴的垂线，垂足分别F,E，PE交AB于点Q，过D作x的平行线，交PE于点G

!B(1,4)， \\F(1,0) \\OF=1

!PD!OB,DG!OF PDPGDG==， OBBFOF.k\\!DPG∽!OBF

xom xz\\设Pm,-(4m2+16m1()33416y=-x+．

33)!直线AB的解析式为

设Dn,-(4n+16，则Gæm,-4n+16ö ç÷3333øè)4116PG=-m2+m+n-

3333=42m-4m-n+4) (3DG=m-n

c

42(m-4m-n+4)m-n 3\\=41整理得4n=m2-m+4

\\S1S2CDPC2PD+=+ =S2S3BCOCOB=2DG OF=2(m-n)

æm2-m+4ö=2çm-÷ 4èø=-12m-5m+4) (221æ5ö9=-çm-÷+

2è2ø8SS95\\m=时，1+2取得最大值，最大值为

S2S382【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与

判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．

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