四川省2019年中考数学模拟预测试卷(解析版)

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．4的算术平方根是（ ） A．16

B．±2

C．2

D．

2．某物体的主视图如图所示，则该物体可能为（ ）

A． B． C． D．

3．在过去的2017年，绵阳南郊机场的年旅客吞吐量达到了330万人次，再次达到新高，用科学记数法表示应是（ ） A．3.3×107

B．33×105

C．3.3×106

D．0.33×107

4．点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ） A．（3，﹣2）

B．（3，2）

C．（﹣3，﹣2）

D．（2，﹣3）

5．以下说法中正确的是（ ） A．若a＞|b|，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＞b，则＜

D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

6． 已知圆O是正n边形A1A2…An的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（ ）A．5

B．10

C．36

D．72

7．关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则方程的另一个根是（ ） A．﹣1

B．1

C．2

D．﹣2

8．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E，若AB＝24，CD＝26，则DE的长度是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

9．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（ ）米．

A．750 B．375 C．375 D．750

10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法： ①abc＜0； ②2a﹣b＝0； ③4a+2b+c＜0；

④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2． 其中说法正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④

11．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝4，现将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在同一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么AB的长度是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．

12．如果，一圆桌周围有20个箱子，依顺时针方向编号1～20，小明从1号箱子沿着圆桌依顺时针方向前进，每经过一个箱子就丢入一颗球，所有小球共有红、黄、绿3种颜色，1号箱子红色，2号箱子黄色，3号箱子绿色，4号红色，5号黄色，6号绿色……，颜色依次循环，当他围绕圆桌刚好丢完2018圈时，则第10号箱子有（ ）个黄球．

A．671 B．672 C．673 D．674

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．因式分解：x2﹣9x+18＝ ．

14．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124° ，∠2＝88°，则∠3的度数为 ．

15．一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为 ． 16．如图，点A的坐标为（3，

），点B的坐标为（6，0），将△AOB绕点B按顺时针方向旋转

一定的角度后得到△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为 ．

17．如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC＝60°，AB＝6，E为AD中点，BE与AC交于点O，F为EC上点，且OF∥BC，连接BF，BF与AC交于点M，则OM的长度是 ．

18．如图，AB为⊙P直径，点O是⊙P上一点，以O为圆心，OA为半径的⊙O与AB交于点C，与OB交于点D，连接OC，AD，若OA＝5，△OAC的面积为12，则△ACD的面积是 ．

三、解答题（本大题共7小题，共计86分） 19．（16分）（1）计算：（2）先化简，再求值：（

﹣2﹣1﹣（﹣π）0﹣4sin45°

﹣1）÷

，其中x＝3

20．（11分）共享单车近日成为市民新宠，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具，某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民每周使用共享单车时间的情况，随机抽取了该小区部分使用共享单车的居民进行调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①、图②两幅每周使用共享单车时间的人数统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

（1）本次接受问卷调查的共有 人；在扇形统计图中“D”选项所占的百分比为 ； （2）扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为 度； （3）请补全条形统计图；

（4）若该小区共有1200名居民，请你估计该小区使用共享单车的时间在“A”选项的有多少人？ 21．（11分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x（cm）．

（1）若要求改包装盒的高是20cm（以图中所示位置为参照），则x的值应是多少？ （2）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

22．（11分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，3）和B（﹣3，m）．

（1）求反比例函数y1＝和一次函数y2＝ax+b的解析式；

（2）点C是坐标平面内一点，且BC∥x轴，当∠BAC＝90°时，求点C坐标．

23．（11分）如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，D为（1）证明：△ACD∽△CMD；

（2）若AC＝3，tan∠CBD＝，求△BCD的面积．

的中点，AD与BC交于点M．

24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣ax与x轴交于O，A两点，点B（﹣1，3）在抛物线上，点C（0，m）（m＞3），延长BC与抛物线交于点E，过E作ED⊥x轴于点D，线段CD与抛物线交于点F，连接AB．

（1）求抛物线解析式；

（2）若四边形ABCD的面积为25，请求出点C坐标； （3）当m为何值时，四边形ABCF是平行四边形．

25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣8，0），B（﹣5，4），BC∥x轴，且与y轴交于点C，点D与点A关于y轴对称，连接CD． （1）若令∠CDA＝α，证明：∠BAD＝2α；

（2）如图1，点M为线段BC上动点（不与端点重合），N为射线CD上点，且∠AMN＝∠ABC，

若令BM＝m，请求出点N坐标（用含m的代数式表示）；

（3）如图2，点E在线段AB上，其横坐标为﹣6，作EF∥x轴，且与CD交于点F，在EF延长线上有动点P，射线FD上有点Q，且∠APQ＝∠ABC，若表示）．

＝t，求

的值（用含t的代数式

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．

【解答】解：∵2的平方为4， ∴4的算术平方根为2． 故选：C．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

2．【分析】根据主视图利用排除法确定正确的选项即可． 【解答】解：A、球的主视图为圆，符合题意； B、圆柱的主视图为矩形，不符合题意；

C、六棱柱与六棱锥的组合体的主视图为矩形和三角形的结合图，不符合题意； D、五棱柱的主视图为矩形，不符合题意， 故选：A．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够了解各个几何体的主视图，难度不大．

3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 106， 【解答】解：330万用科学记数法表示应是3.3×故选：C．

10n的形式，其中1≤|a|【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2）， 故选：B．

【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关

于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 5．【分析】根据不等式的性质进行判断． 【解答】解：A、若a＞|b|，则a2＞b2，正确； B、若a＞b，当a＝1，b＝﹣2，时则＞，错误； C、若a＞b，当c2＝0时则ac2＝bc2，错误；

D、若a＞b，c＞d，如果a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣4，则a﹣c＝b﹣d，错误； 故选：A．

【点评】考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

6．【分析】设正多边形的中心角的度数是x，根据弧长公式即可求得x的值，然后利用360度除以x即可得到．

【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x， 根据题意得：解得：x＝10． 则n＝

＝36．

＝π，

故选：C．

【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式，正确求得中心角的度数是关键． 7．【分析】方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出﹣2a＝﹣2，求出即可． 【解答】解：设方程的另一个根为a， ∵关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2， ∴﹣2a＝﹣2， 解得：a＝1， 故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系内容是解此题的关键．

8．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设DE为x，

连接OA，

∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，AB＝24， ，AE＝EB＝12， ∴∠AEO＝90°

由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2， 132＝122+（13﹣x）2， 解得：x＝8， 则DE的长度是8， 故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能求出AE＝EB是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．

9．【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°， AC＝30×25＝750（米）， ∴AD＝AC•sin45°＝375在Rt△ABD中， ， ∵∠B＝30°∴AB＝2AD＝750故选：A．

（米）．

（米）．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并

解直角三角形，难度适中．

10．【分析】根据图象得出a＞0，b＝2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x＝2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．

【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上， ∴a＞0，

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0，

∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1， ∴﹣

＝﹣1，

∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，∴①正确；

2a﹣b＝2a﹣2a＝0，∴②正确；

∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）． ∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），

∴把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c＞0，∴③错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝﹣1， ∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1）， 根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∵＜3，

∴y2＜y1，∴④正确； 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

11．【分析】如图，利用平行四边形的性质得AD＝BC＝4，AD∥BC，则∠2＝∠3，再利用旋转的AB＝AE，性质得∠1＝∠2，接着证明∠AEB＝∠DAB得到DB＝DA＝4，然后证明△BAE∽△BDA，最后利用相似比计算AB的长．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC＝4，AD∥BC

∴∠2＝∠3，

∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点B，E，D，F在同一直线上， ∴∠1＝∠2，AB＝AE， ∴∠1＝∠3，∠4＝∠AEB， 而∠AEB＝∠3+∠DAE， ∴∠AEB＝∠DAB＝∠4， ∴DB＝DA＝4， 而点E为BD的中点， ∴BE＝2，

∵∠1＝∠3，∠4为公共角， ∴△BAE∽△BDA，

∴AB：BD＝BE：BA，即AB：4＝2：AB， ∴AB＝2故选：C．

．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．

12．【分析】根据第10号箱子得球的颜色可得出，其颜色按“红、绿、黄”三个一循环进行循环，结672+2可得出：673合2018＝3×当他围绕圆桌刚好丢完2018圈时，则第10号箱子有673个红球、个绿球、672个黄球，此题得解．

【解答】解：第1圈第10号箱子丢进的为红球，第2圈第10号箱子丢进的为绿球，第3圈第10号箱子丢进的为黄球，第4圈第10号箱子丢进的为红球，…， 即第10号箱子得球颜色分别为：红、绿、黄、红、绿、黄、红、…， 672+2， ∵2018＝3×

∴2018个球中有673个红球、673个绿球、672个黄球． 故选：B．

【点评】本题考查了规律型中图形的变化类，根据箱子里面得球颜色的变化找出变化规律是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：原式＝（x﹣3）（x﹣6）， 故答案为：（x﹣3）（x﹣6）

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 14．【分析】首先运用平行线的性质求出∠AOB的大小，然后借助平角的定义求出∠3即可解决问题．

【解答】解：如图，∵直线l4∥l1， ，而∠1＝124°， ∴∠1+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝56°

﹣∠2﹣∠AOB ∴∠3＝180° ＝180°﹣88°﹣56°＝36°， 故答案为：36°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．

15．【分析】根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与两次取出的小球颜色相同的情况，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球颜色相同的有8种结果， ∴两次取出的小球颜色相同的概率为故答案为：

【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

16．【分析】作AC⊥OB、O′D⊥A′B，由点A、B坐标得出OC＝3、AC＝tan∠ABC＝O′D＝

＝

、BC＝OC＝3，从而知

＝

，设

＝，

，由旋转性质知BO′＝BO＝6，tan∠A′BO′＝tan∠ABO＝

x、BD＝3x，由勾股定理求得x的值，即可知BD、O′D的长即可得．

【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，

∵A（3，），

，

∴OC＝3，AC＝∵OB＝6， ∴BC＝OC＝3， 则tan∠ABC＝

＝，

由旋转可知，BO′＝BO＝6，∠A′BO′＝∠ABO， ∴

＝

＝

，

设O′D＝x，BD＝3x，

x）2+（3x）2＝62，

由O′D2+BD2＝O′B2可得（

解得：x＝或x＝﹣（舍）， 则BD＝3x＝，O′D＝∴OD＝OB+BD＝6+＝∴点O'的坐标为（

，

x＝， ），

，

故答案为：（， ）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理、解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

17．【分析】先证明△ABC是等边三角形，得AC＝BC＝6，证明△AOE∽△COB，则得OC＝4，再证明△OFC∽△AEC，则得结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝6， ， ∵∠ABC＝60°

∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝6， ∵E是AD的中点， ∴AE＝AD＝3， ∵AD∥BC， ∴△AOE∽△COB， ∴

＝，

＝，

，得OF＝2，由平行线分线段成比例线段定理可

∴AO＝2，OC＝4， ∵OF∥BC，BC∥AD， ∴OF∥AE， ∴△OFC∽△AEC， ∴∴

， ，OF＝2，

∵OF∥BC， ∴∴

， ，

∵OM+MC＝4， ∴OM＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定等知识，依次得AO、OC、OM、MC的关系是解题的关键．

18．【分析】先过点C作CE⊥OA，CF⊥OD，可知四边形CEOF是矩形，然后根据△OAC的面积 求出CE的长度，进而求出三角形OCD与三角形OAD的面积，最后根据割补求出△ACD的面积．【解答】解：过点C作CE⊥OA于点E，CF⊥OD于点F． ∵AB为⊙P直径， ， ∴∠AOB＝90°

∴四边形CEOF是矩形， ，CF＝OE， ∴∠OEC＝90°

∵OA＝OC＝OD＝5，△OAC的面积为12 ∴∴

，

＝

，

，即

，

在Rt△OCE中，∴∴

， ，

∴S△ACD＝S△OAC+S△OCD﹣S△OAD＝故答案为3．

，

【点评】本题考查了圆与正方形的相关知识，正确运用勾股定理和割补三角形面积是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共计86分）

19．【分析】（1）先化简二次根式、计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再依次计算乘法、加减运算即可得；

（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可得． 【解答】解：（1）原式＝3＝3＝

（2）原式＝＝＝

．

•

﹣﹣1﹣2﹣；

﹣﹣1﹣4×

【点评】本题考查了实数的混合运算与分式的化简求值．解题的关键是对分式的分子分母因式分解及分式混合运算顺序和运算法则．

20．【分析】（1）根据选C的有50人，占50%，从而可以求得本次本次接受问卷调查的人数以及在扇形统计图中“D”选项所占的百分比；

（2）根据条形统计图中选B的人数和（1）求得的调查的总人数可以求得扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角的度数；

（3）根据题意可以求得选A的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（4）根据统计图中的数据可以求得该小区使用共享单车的时间在“A”选项的有多少人． 【解答】解：（1）由题意可得，

50%＝100（人）， 本次接受问卷调查的有：50÷

在扇形统计图中“D”选项所占的百分比为：故答案为：100，10%； （2）由题意可得，

×扇形统计图中，“B”选项所对应扇形圆心角为：360°故答案为：72；

（3）选A的有：100﹣20﹣50﹣10＝20， 补全的条形统计图如右图所示； （4）由题意可得，

该小区使用共享单车的时间在“A”选项的有：1200×

＝240（人）， ＝72°，

×100%＝10%，

即该小区使用共享单车的时间在“A”选项的有240人．

【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

21．【分析】（1）由AE＝FB＝x知EF＝60﹣2x，据此得包装盒的高为﹣x），根据题意列出方程，解之可得； （2）由AE＝x知包装盒的宽为

x，从而得出包装盒的侧面积S＝

x•

（30﹣x）•4＝﹣8（x×（60﹣2x）＝

（30

﹣15）2+1800，根据二次函数的性质求解可得． 【解答】解：（1）设AE＝FB＝x（cm）， 则EF＝60﹣2x， ∴包装盒的高为由题意得

×（60﹣2x）＝

（30﹣x），

（30﹣x）＝20，

；

解得：x＝30﹣10

（2）∵AE＝x， ∴包装盒的宽为

x，

x•

（30﹣x）•4＝﹣8x2+240x＝﹣8（x﹣15）2+1800，

则包装盒的侧面积S＝

∴当x＝15时，S取得最大值．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质得出包装盒的高、宽，并列出侧面积的函数解析式．

22．【分析】（1）根据点A、B都在反比例函数的图象上，先计算k，再计算m，然后用待定系数法求出一次函数的解析式；

（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据线段AD、BD的长，得到特殊的直角三角形：△ABD和△ADC，从而得到点C的坐标．

【解答】解：（1）因为点A、B都在反比例函数的图象上，

3＝3，所以反比例函数的解析式为：y1＝， 所以k＝1×

当x＝﹣3时，m＝﹣1，所以点B（﹣3，﹣1） 由于点A、B都在一次函数y2＝ax+b的图象上， 所以

，解得

所以一次函数的解析式为：y2＝x+2

（2）如图所示：作∠BAC＝90°，过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵点A（1，3），点B（﹣3，﹣1），所以点D（1，﹣1） ∴AD＝3﹣（﹣1）＝4，BD＝1﹣（﹣3）＝4 ∵AD⊥BC，

，又∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠DAC＝∠C＝45°∴AD＝CD＝4 设点C（m，﹣1）， ∴m＝1+CD＝5． 所以点C（5，﹣1）

答：点C的坐标为（5，﹣1）

【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数解析式及等腰直角三角形的性质和判定．解决本题的关键是作AD⊥BC，构造了等腰直角三角形． 23．【分析】（1）想办法证明∠DCM＝∠CAD即可解决问题；

（2）连接OD交BC于H．设CD＝BD＝a．利用相似三角形的性质求出a即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵D为∴

＝

，

的中点，

∴∠DCB＝∠CAD， ∵∠CDM＝∠ADC，

∴△ACD∽△CMD．

（2）解：连接OD交BC于H．设CD＝BD＝a．

∵AB是直径，

， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°∵

＝

，

∴∠CBD＝∠DAB，OD⊥BC， ∴tan∠CBD＝tan∠DAB＝∴AD＝2a， ∵△ACD∽△CMD， ∴

＝

＝

＝，∵AC＝3，

＝，

∴CM＝，DM＝a，AM＝a， 在Rt△ACM中，AM＝∴a＝∴AD＝2

，

，BD＝CD＝

，

＝5， ＝

＝a，

在Rt△ADB中，AB＝∴OD＝， ∵OD⊥BC，

∴CH＝HB，∵OA＝OB， ∴OH＝AC＝， ∴DH＝1，

在Rt△ACB中，BC＝

＝4，

4×1＝2． ∴S△BCD＝•BC•DH＝×

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

24．【分析】（1）把B点坐标代入y＝x2﹣ax中求出a的值即可得到抛物线解析式；

（2）作BH⊥x轴于H，如图，先解方程得到x2﹣2x＝0得A（2，0），利用待定系数法表示出直线BC的解析式为y＝（m﹣3）x+m，则解方程x2﹣2x＝（m﹣3）x+m得E（m，m2﹣2m），根•1+•m•m据三角形面积公式，利用S四边形ABCD＝S梯形OCBH+S△OCD﹣S△ABH列方程得到（m+3）﹣•3•3＝25，然后解方程求出m即可得到C点坐标；

（3）易得直线CD的解析式为y＝﹣x+m，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，根据平行四边形的判定方法当BC∥AF时，四边形ABCF为平行四边形，则可设直线AF的解析式为y＝（m﹣3）x+n，把A（2，0）代入得2m﹣6+n＝0得到直线AF的解析式为y＝（m﹣3）x+6﹣2m，再解方程组

得F（3，m﹣3），然后把F（3，m﹣3）代入y＝x2﹣2x得关于m的方程，最

后解关于m的方程即可

【解答】解：（1）把B（﹣1，3）代入y＝x2﹣ax得1+a＝3，解得a＝2， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x； （2）作BH⊥x轴于H，如图，

当y＝0时，x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则A（2，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+m，

把B（﹣1，3）代入得﹣k+m＝3，解得k＝m﹣3， ∴直线BC的解析式为y＝（m﹣3）x+m， 解方程x2﹣2x＝（m﹣3）x+m，

整理得x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，解得x1＝﹣1，x2＝m， ∴E（m，m2﹣2m）， ∴D（m，0），

∵S四边形ABCD＝S梯形OCBH+S△OCD﹣S△ABH， ∴（m+3）•1+•m•m﹣•3•3＝25，

整理得m2+m﹣56＝0，解得m1＝7，m2＝﹣8（舍去），

∴C点坐标为（0，7）；

（3）易得直线CD的解析式为y＝﹣x+m，直线AB的解析式为y＝﹣x+2， ∴AB∥CD，

当BC∥AF时，四边形ABCF为平行四边形， 而直线BC的解析式为y＝（m﹣3）x+m， ∴直线AF的解析式可设为y＝（m﹣3）x+n， 把A（2，0）代入得2m﹣6+n＝0，解得n＝6﹣2m， ∴直线AF的解析式为y＝（m﹣3）x+6﹣2m 解方程组

得

，则F（3，m﹣3），

把F（3，m﹣3）代入y＝x2﹣2x得m﹣3＝9﹣6，解得m＝6， ∴当m为6时，四边形ABCF是平行四边形．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定；会利用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，理解两直线平行的问题；理解坐标与图形性质．

25．【分析】（1）如图1中，连接AC．只要证明AB＝BC即可解决问题；

（2）如图1﹣1中，设AC交MN于G，延长MC到H，使得CH＝BM＝m．连接HN．想办法证明△NCH∽△ACB，可得

＝

，即＝

，推出CN＝

m即可解决问题；

（3）如图2中，连接AC、PC、AQ，作PH∥AC交CD于H．设AC交EF于J．由△APQ∽△CHP，可得

＝

，想办法求出CH：PH的值即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1中，连接AC．

∵A（﹣8，0），B（﹣5，4），BC∥x轴， ∴AB＝∴AB＝BC＝5， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵BC∥AD， ∴∠BCA＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠CAB， ∵A、D关于y轴对称， ∴CA＝CD，

∴∠CAD＝∠CDA＝α， ∴∠BAD＝2α．

（2）如图1﹣1中，设AC交MN于G，延长MC到H，使得CH＝BM＝m．连接HN．

＝5，BC＝5，

∵∠BAC＝∠BCA＝∠CAD＝∠CDA＝α， ∴∠ABC＝∠ACD， ∵∠AMN＝∠ABC，

∴∠AMG＝∠NCG，∵∠AGM＝∠NGC， ∴△AGM∽△NGC， ∴

＝

，

∴＝，∵∠MGC＝∠AGN，

∴△MGC∽△AGN， ∴∠ANG＝∠MCG＝α， ∴∠MAN＝∠ANM＝α， ∴AM＝MN，

∵∠HMA＝∠HMN+∠AMN＝∠BAM+∠ABM， ∴∠HMN＝∠BAM，∵AB＝BC＝MH， ∴△BAM≌△HMN， ∴∠H＝∠ABM， ∵∠ACB＝∠NCH， ∴△NCH∽△ACB， ∴

＝

， ， m，

∴＝∴CN＝

∴N（m，4﹣m）．

（3）如图2中，连接AC、PC、AQ，作PH∥AC交CD于H．设AC交EF于J．

同法可证：∠PAQ＝∠PCH， ∵AC∥PH， ∴∠ACH＝∠CHP， ∵∠ACD＝∠APQ， ∴∠APQ＝∠CHP， ∴△APQ∽△CHP，

∴＝，

易知E（﹣6，），F（，），J（﹣，）， ∴FJ＝∵

，EF＝

，

＝t，

，

∴PF＝

∵PH∥CJ，

∴FH：FC＝PF：FJ＝

：

＝13：8t，

∴FH：CH＝13：（13+8t） ∵CJ＝CF，

∴∠CJF＝CFJ＝∠HPF＝∠PFH， ∴HP＝HF，

∴PH：CH＝13：（1+8t），

∴PA：PQ＝CH：PH＝（13+8t）：13．

【点评】本题考查相似三角形综合题、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．