八年级数学上册《等边三角形的性质》同步训练(含解析)

一．选择题 1．（2013•吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）

A．100° B．80° C．60° D．40° 2．（2014秋•贵港期末）如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（ ）

A．3 B．4 D．6 3．（2014秋•岑溪市期中）在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32 4．（2015•港南区二模）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB的长为（ ）

C．5

A．

B．

C．

D．

5．（2015春•张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．

A．30 B．20 C．25 D．15 6．（2014•路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）

A．60° B．45° C．40° D．30° 7．（2013秋•沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2014春•赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（ ）

A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8

二．填空题 9．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °．

10．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为 ．

11．（2015春•扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2= °．

12．（2015秋•湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE+OF的值为 ．

13．（2014•武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为 ．

三．解答题 14．（2014秋•上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm． （1）求BE的长；

（2）判断△BDE的形状，并说明理由．

15．（2014秋•维扬区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M． （1）求∠E的度数．

（2）求证：M是BE的中点．

16．（2013秋•宜春期末）△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点， （1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．

17．（2014秋•北京校级期中）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．

（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；

（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．

人教版八年级数学上册

13.3.2.1 《等边三角形的性质》同步训练习题（教师版）

一．选择题 1．（2013•吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）

A．100° B．80° C．60° D．40° 考点： 等边三角形的性质．

分析： 先根据△ABC是等边三角形，求出∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠3的度数，再根据对顶角相等，即可求出∠2的度数； 解答： 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵∠1=20°， ∴∠3=100°， ∴∠2=100°； 故选A．

点评： 此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角形内角和定理，此题较简单，是一道基础题． 2．（2014秋•贵港期末）如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．

分析： 过点E作EF⊥BC于F，先根据含30°的直角三角形的性质求出BF，再根据等腰三角形的三线合一性质求出DF，即可得出BD． 解答： 解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示： 则∠BFE=90°，

∵△ABC是等边三角形，∠B=60°，

∴∠FEB=90°﹣60°=30°， ∵BE=AB+AE=8+4=12， ∴BF=BE=6， ∴CF=BC﹣BF=2， ∵ED=EC，EF⊥BC， ∴DF=CF=2， ∴BD=BF﹣DF=4； 故选：B．

点评： 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 3．（2014秋•岑溪市期中）在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32 考点： 等边三角形的性质． 分析： 根据等边三角形三线合一可知AD就是∠BAC的平分线，从而求得∠BAC的平分线长． 解答： 解：∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC的平分线长为16． 故选C．

点评： 本题主要考查了等边三角形三线合一的性质． 4．（2015•港南区二模）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB的长为（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 分析： 根据等边三角形性质，直角三角形性质求△BDE≌△AFD，得BE=AD，再求得BD的长． 解答： 解：∵∠DEB=90° ∴∠BDE=90°﹣60°=30°

∴∠ADF=180﹣30°﹣90°=90° 同理∠EFC=90°

又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF ∴△BED≌△ADF≌△CFE ∴AD=BE

设BE=x，则BD=2x，∴由勾股定理得BE=， ∴BD=．

故选C．

点评： 本题利用了：1、等边三角形的性质，2、勾股定理，3、全等三角形的判定和性质． 5．（2015春•张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．

A．30 B．20 C．25 D．15 考点： 等边三角形的性质． 分析： 由AD是等边三角形ABC的中线，根据三线合一与等边三角形的性质，即可求得∠ADC与∠DAC的度数，又由AE=AD，根据等边对等角的性质，即可求得∠ADE的度数，继而求得∠EDC的度数．

解答： 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°， ∵AD是△ABC的中线， ∴∠DAC=

BAC=30°，AD⊥BC，

∴∠ADC=90°， ∵AE=AD， ∴∠ADE=∠AED=

=

=75°，

∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°． 故选D．

点评： 此题考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意三线合一与等边对等角的性质的应用，注意数形结合思想的应用． 6．（2014•路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）

A．60° B．45° C．40° D．30°

考点： 等边三角形的性质；平行公理及推论；平行线的性质． 专题： 计算题．

分析： 过C作CE∥直线m，由l∥m，推出l∥m∥CE，根据平行线的性质得到∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，即∠α+∠CBF=∠ACB=60°，即可求出答案． 解答： 解：过C作CE∥直线m ∵l∥m， ∴l∥m∥CE，

∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°， ∵等边△ABC， ∴∠ACB=60°，

∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°， ∴∠α=40°． 故选C．

点评： 本题主要考查对平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好． 7．（2013秋•沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质． 分析： 因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC，即DB=DE（③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题．

解答： 解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线， ∴∠ADB=∠CDB=90°，BD平分∠ABC； ∴BD⊥AC；

∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°， 又CD=CE，

∴∠CDE=∠DEC=30°， ∴∠CBD=∠DEC， ∴DB=DE．

∠BDE=∠CDB+∠CDE=120° 所以这四项都是正确的．

故选：D．

点评： 此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用． 8．（2014春•赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（ ）

A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8 考点： 等边三角形的性质． 专题： 数形结合．

分析： 设A的边长为x，根据等边三角形的性质和已知图形得到H和G的边长都为x，B的边长为2x，由于阴影部分是边长为1的小正三角形，易得C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，所以D的边长可表示为2x﹣1或x+2，则2x﹣1=x+2，然后解方程求出x即可得到A和B的边长．

解答： 解：如图，

设A的边长为x，则H和G的边长都为x，B的边长为2x， ∵阴影部分是边长为1的小正三角形， ∴C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1， ∴D的边长为2x﹣1或x+2， ∴2x﹣1=x+2， 解得x=3，

∴A和B的边长分别3和6． 故选C．

点评： 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了观察图形的能力．

二．填空题 9．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= 30° °．

考点： 等边三角形的性质．

分析： 根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．

解答： 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°，

故答案为：30°．

点评： 本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键． 10．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为 2 ．

考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质． 分析： 延长BC至F点，使得CF=BD，证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F，然后证得AC∥EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长． 解答： 解：延长BC至F点，使得CF=BD， ∵ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD， ∴∠EDB=∠ECF， 在△EBD和△EFC中，

，

∴△EBD≌△EFC（SAS）， ∴∠B=∠F

∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB， ∴∠ACB=∠F，

∴AC∥EF， ∴

=

，

∵BA=BC， ∴AE=CF=2， ∴BD=AE=CF=2， 故答案为：2．

点评： 本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．

0

11．（2015春•扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=140 ．

考点： 等边三角形的性质．

分析： 先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 解答： 解：∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，

∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2， ∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，

∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°， ∴∠1+∠2=140°． 故答案为：140

点评： 本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键． 12．（2015秋•湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE+OF的值为 5 ．

考点： 等边三角形的性质．

分析： 利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．

解答： 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°

又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°， ∴OE=OB•sin60°=∴OE+OF=

OB，同理OF=

BC． AB=

BC．

OC．

（OB+OC）=

在等边△ABC中，高h=

∴OE+OF=h．

又∵等边三角形的高为5， ∴OE+OF=5， 故答案为5．

点评： 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；三条边都相等． 13．（2014•武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为

．

考点： 等边三角形的性质；勾股定理． 专题： 规律型．

分析： 做题首先要知道经过连续翻转2010次后P点的位置，然后求出此点坐标． 解答： 解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，

P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，

P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，P2008、P2009的横坐标就是2008． ∴P2010的纵坐标为 ∴P2007（2007，

，横坐标=2008+1.5=2009.5．

）．

点P2010处于顶点上， ∵三角形边长为1， 故P2010（2009，故答案为（2009，

）． ）．

点评： 本题主要考查等边三角形的性质和坐标等知识点．

三．解答题 14．（2014秋•上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm． （1）求BE的长；

（2）判断△BDE的形状，并说明理由．

考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质． 专题： 计算题．

分析： （1）根据等边三角形的性质得BC=AB=6cm，再根据“三线合一”得AD=CD=AC=3cm，而CD=CE=3cm，所以BE=BC+CE=9cm；

（2）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，再根据“三线合一”得∠CBD=

∠ABC=30°，而CD=CE，则∠CDE=∠E，接着利用三角形外角性质得

∠CDE+∠E=∠ACB=60°，所以∠E=30°，于是得到∠CBD=∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得到△BDE为等腰三角形． 解答： 解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴BC=AB=6cm， ∵BD⊥AC， ∴AD=CD=AC=3cm，

∵CD=CE=3cm，

∴BE=BC+CE=6cm+3cm=9cm；

（2）△BDE为等腰三角形．理由如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵BD⊥AC，

∴∠CBD=∠ABC=30°， ∵CD=CE， ∴∠CDE=∠E，

而∠CDE+∠E=∠ACB=60°， ∴∠E=30°， ∴∠CBD=∠E，

∴△BDE为等腰三角形．

点评： 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．也考查了等腰三角形的判定与性质． 15．（2014秋•维扬区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M． （1）求∠E的度数．

（2）求证：M是BE的中点．

考点： 等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．

分析： （1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB=∠ABC=60°，然后根据等边对等角可得：∠E=∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；

（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC=∠ABC=×60°=30°，结合（1）的结论可得：∠DBC=∠E，然后根据等角对等边，可得：DB=DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点．

解答： （1）解：∵三角形ABC是等边△ABC， ∴∠ACB=∠ABC=60°， 又∵CE=CD， ∴∠E=∠CDE，

又∵∠ACB=∠E+∠CDE， ∴∠E=∠ACB=30°； （2）证明：连接BD，

∵等边△ABC中，D是AC的中点， ∴∠DBC=∠ABC=×60°=30° 由（1）知∠E=30° ∴∠DBC=∠E=30° ∴DB=DE

又∵DM⊥BC

∴M是BE的中点．

点评： 此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质． 16．（2013秋•宜春期末）△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点， （1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．

考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题．

分析： （1）根据已知条件，利用SAS定理即可证明△ABM≌△BCN． （2）根据△ABM≌△BCN（已证），可得∠AMB=∠BNC，然后利用△BQM∽△BCN即可得出结论． 解答： 证明；（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60° ∵在△ABM和△BCN中

，

∴△ABM≌△BCN（SAS）；

（2）∵△ABM≌△BCN（已证）． ∴∠AMB=∠BNC，

∵∠MBQ=∠NBC（公共角）， ∴△BQM∽△BCN， ∴∠BQM=∠C=60°

∵∠BQM和∠AQN是对顶角， ∴∠AQN=60°．

点评： 此题主要考查学生对等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，有点难度，属于中档题． 17．（2014秋•北京校级期中）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．

（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；

（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请

说明理由．

考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 探究型．

分析： （1）EC=BD，理由为：由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性质得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：由三角形ADC为等边三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠EOD为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠EOD=∠ADC+∠ACD，可求出∠EOD的度数，利用邻补角定义求出∠DOC的度数，即为BD与CE的夹角． 解答： 解：（1）EC=BD，理由为： ∵△ABE和△ACD都为等边三角形， ∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，

∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△AEC和△ABD中，

，

∴△AEC≌△ABD（SAS）， ∴EC=BD；

（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为： ∵△ADC为等边三角形， ∴∠ADC=∠ACD=60°， ∵△AEC≌△ABD， ∴∠ACE=∠ADB，

∵∠EOD为△COD的外角，

∴∠EOD=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD=∠ADC+∠ACD=120°，即∠DOC=60°，

则BD和CE的夹角大小为60°．

点评： 此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．