北师版九年级数学下册教案：第1章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数

1 锐角三角函数

第1课时 正 切

教学目标

一、基本目标

1．理解正切(tan A)的意义及与现实生活的联系．

2．运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算． 3．从实践中引导学生学会观察、思考,探索发现客观事物中存在的数学规律． 二、重难点目标 【教学重点】 理解正切的意义． 【教学难点】

会根据已知条件计算某个角的正切值．

教学过程

环节1 自学提纲,生成问题 【5 min阅读】

阅读教材P2～P4的内容,完成下面练习． 【3 min反馈】

∠A的对边1．如图,在Rt△ABC中,∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tan A＝.

∠A的邻边

2．正切经常用来描述山坡的坡度．坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)． 3．如图,下面四个梯子最陡的是( B )

4．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝5,AC＝12,AB＝13,求tan A、tan B的值．

BC5

解：tan A＝＝,

AC12AC12

tan B＝＝.

BC5

环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】如图是甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡？

【互动探索】(引发学生思考)分别求出tan α、tan β的值→比较大小,值越大,扶梯就越陡． 【解答】甲梯中,tan α＝63乙梯中,tan β＝＝.

84∵tan β＞tan α, ∴乙梯更陡．

【互动总结】(学生总结,老师点评)tan A的值越大,梯子越陡． 活动2 巩固练习(学生独学)

1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍,那么锐角A的正切值( C ) A．扩大为原来的两倍 C．不变

1

B．缩小为原来的

2D．不能确定

55

＝,

132－5212

2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4,AB＝5,则tan A的值是( C ) 2A．

33C．

4

3B．

54D．

5

3．在正方形网格中,△ABC在网格中的位置如图,则tan B的值为2.

活动3 拓展延伸(学生对学)

【例2】如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝AC,D为AC的中点,求tan∠ABD的值．

【互动探索】设AC＝BC＝2a,根据勾股定理可求得AB＝22a,再根据等腰直角三角形的性质,可得DE与AE的长,根据线段的和差,可得BE的长,最后根据正切的定义,可得答案．

【解答】如题图,过点D作DE⊥AB于点E. 设AC＝BC＝2a.

根据勾股定理,得AB＝22a. ∵D为AC中点, 1

∴AD＝AC＝a.

2

∵∠A＝∠ABC＝45°, DE⊥AB, ∴△ADE是等腰直角三角形, ∴DE＝AE＝

2a

, 2

32a

∴BE＝AB－AE＝,

22a2DE1

∴tan∠ABD＝＝＝.

BE32a3

2

【互动总结】(学生总结,老师点评)求三角函数值必须在直角三角形中解答,当所求的角不在直角三角形内时,可作辅助线构造直角三角形进行解答．

环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)

1．梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系)． ∠A的对边

2．如图,tan A＝.

∠A的邻边

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时 正弦与余弦

教学目标

一、基本目标

1．理解正弦与余弦的意义,根据边长求出锐角的正弦值和余弦值,准确分清三种函数值的求法．

2．经历探索直角三角形中边角关系的过程,进一步理解当锐角度数一定,其对边、邻边、斜边三边比值也一定．能根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算．

二、重难点目标 【教学重点】

理解正弦与余弦的意义． 【教学难点】

会用正弦、余弦正确地进行计算．

教学过程

环节1 自学提纲,生成问题 【5 min阅读】

阅读教材P5～P6的内容,完成下面练习． 【3 min反馈】

1．如图,在Rt△ABC中．

(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sin A＝

∠A的对边

；

斜边∠A的邻边

.

斜边

(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦,记作cos A＝

2．锐角A的正弦、余弦和正切叫做∠A的三角函数． 3．sin A的值越大,梯子越陡；cos A的值越小,梯子越陡．

4．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝13,BC＝5,AC＝12,求sin A、cos A. BC5解：sin A＝＝, AB13AC12

cos A＝＝. AB13

环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】在Rt△ABC中,∠B＝90°,AC＝200,sin A＝0.6,求BC的长．

BC

【互动探索】(引发学生思考)根据正弦的意义,有sin A＝,代入数据即可求出BC的值．

ACBCBC

【解答】在Rt△ABC中,∵sin A＝,即＝0.6,

AC200

∴BC＝200×0.6＝120.

【互动总结】(学生总结,老师点评)在直角三角形中,已知正弦、余弦或正切,需要先找出对应的边角关系,再代入数据进行求解．

12【例2】在Rt△ABC中,∠C＝90°,若sin A＝,求cos A、sin B、tan B的值．

13

12

【互动探索】(引发学生思考)画出直角三角形草图→由sin A＝,表示出三角形各边长→

13得出AC长→由三角函数定义解题．

【解答】在Rt△ABC中, 12BC

∵∠C＝90°,sin A＝＝,

13AB∴设AB＝13x,BC＝12x,

∴由勾股定理,得AC＝AB2－BC2＝13x2－12x2＝5x, AC5

∴cos A＝＝,

AB13AC5

sin B＝＝,

AB13AC5

tan B＝＝.

BC12

12

【互动总结】(学生总结,老师点评)根据sin A＝能得到BC与AB的关系,进而通过设未

13知数,根据勾股定理求出AC,最后根据正弦、余弦、正切的定义求解．

活动2 巩固练习(学生独学)

1

1．在Rt△ABC中,∠C＝90°,如果sin A＝,那么sin B的值是( A )

322A．

3C．

2 4

B．22 D．3

2．在下列网格中,小正方形的边长为1,点A、B、O都在格点上,则∠A的正弦值是( A )

A．

5

5

B．

5 10

25C．

51D．

2

3．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN＝3,AM＝4,

求cos B的值．

解：∵∠C＝90°,MN⊥AB, ∴∠C＝∠ANM＝90°. 又∵∠A＝∠A, ∴△ABC∽△AMN, ∴

ACAN3

＝＝. ABAM4

设AC＝3x,AB＝4x.

由勾股定理,得BC＝AB2－AC2＝7x, BC7x7

∴在Rt△ABC中,cos B＝＝＝.

AB4x4活动3 拓展延伸(学生对学)

【例3】如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,根据三角函数定义尝试说明： (1)sin2A＋cos2A＝1； (2)sin A＝cos B； sin A

(3)tan A＝.

cos A

【互动探索】用定义表示出sin A、cos A、cos B、tan A→计算等式的左边与右边→得出结论．

【证明】(1)由勾股定理,得a2＋b2＝c2, ∴sin2A＋cos2A＝

a2b2c2

＋＝＝1. c2c2c2

aa

(2)∵sin A＝,cos B＝, cc∴sin A＝cos B.

a

aacasin Aa

(3)∵tan A＝,＝＝,

bcos Abb

aacsin A

∴tan A＝. cos A

【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．

环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)

∠A的对边∠A的邻边

sin A＝,cos A＝. 斜边斜边

练习设计

请完成本课时对应练习！