例谈数学解题的思维过程

作者：徐肖丽 詹 玉

来源：《现代职业教育.高职本科》 2017年第7期

［摘 要］ 数学始于问题，终于问题。解题中的思维过程包括三个阶段：思维定向、思维展开、思维控制。仅举一例与大家交流。

［关键 词］ 思维定向；思维展开；思维控制

［中图分类号］ G712 ［文献标志码］ A ［文章编号］ 2096-0603（2017）１９-0０78-0１

数学方认为，数学对于一个人素质的养成，并不仅仅是掌握一定的数学知识，而是通过数学知识的学习，培养能力，锻炼思维，进而通过思维的训练，提高解决问题的能力和创新能力，成为具有数学素养的一员，为本职工作提供帮助。

在现今的高职数学教学中，由于数学是一门基础课不是专业课，加之学生数学基础差，底子薄，所以许多数学教师就把数学知识、结论直接灌输给学生，要求他们记忆模仿做大量的练习，以期通过“题海战术”来提高学生解决问题的能力，结果往往事与愿违。笔者认为，要想从根本上提高学生的思维能力和解决问题的能力，除了要让学生掌握概念、定理等基础知识外，还必须让学生学会如何利用这些概念、定理去解决问题，以及在解决问题过程中出现障碍时，如何控制和调节自己的思维，使问题得到有效解决。因此，剖析解题的思维过程，使思维在解题过程中得以有效展开，对于培养学生的思维能力，进而提高解决问题的能力是非常必要的。

一、数学问题与数学思维

美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos)指出：数学定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏，解决问题是数学活动的基本形式。数学家波利亚的“怎样解题表”给出了解题的四个步骤：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。因此，不断地提出问题、分析和解决问题成为数学学习和研究的根本。

许多专家认为，所谓数学问题主要是指对于解题者具有一定的接受性、障碍性和探究性的一些情形或问题。而解决数学问题可以看作是数学思维的一个基本过程。由于解题重视的是使用信息和事实的能力，是解题的思维过程和思维策略，是构造算法或模型的设计技巧，是把非常规题变换为常规题的转化能力，因此数学思维贯穿于解题过程的始终。

二、解题过程的三个阶段

数学思维理论指出，数学解题思维过程是主体以解决数学问题为目的，运用有关思维方式或方法达到认识数学问题的内在的信息加工活动。

（一）思维定向

所谓思维定向是指解题开始时的思维指向，是解题的起点，要求全面正确地理解题意。解题者往往根据以往的知识和经验，采取适当的策略，对问题中的各种量进行分离和重组，并利用元认知的知识对所采取的策略进行评价和修改，从而找出各种量之间实质性的联系。

（二）思维展开

所谓思维展开是指在解题过程中，在思维定向的基础上，选择思维方式，并进行组织和实施的过程。它的载体是数学语言和数学知识，借助外部操作逐步变换数学问题的状态，从而获得数学对象的本质属性和内在联系。

（三）思维控制

由于思维展开的相对随意性和问题答案的确定性有一定的矛盾，加上问题的复杂性或主体思维的缺陷等主客观因素，思维展开的过程可能中断或偏离正确的方向。因此，及时对思维定向、思维展开进行控制和调节是非常必要的。

纵观思维过程的三个阶段可以看出：思维定向是基础，思维展开是在定向的基础上不断摸索和尝试的过程，而思维控制则对整个解题思维过程起作用，为顺利解题提供保障。具体这三个方面是怎样相互作用的呢？

三、举例说明

思维控制：运用直线外一点到直线的距离不大于该点和直线上任一点连线的距离，此不等式得证。

此题的证明过程反映出，思维过程的三个阶段是密不可分的一个整体。通过思维定向，主体激活了原有认知结构中与此问题有关的各种信息，如比较法、综合法等不等式的证明方法，思维展开时发现用常规的方法不能解决问题。通过思维控制对问题重新定向，发现结论与距离公式、定比分点坐标公式有密切联系，由此构造出相应的点的坐标概念，运用常识使不等式得证。最后将答案有条理地整理出来，反思一下有没有将此题推广的可能，使思维向纵深方向发展。

参考文献：

［1］任章辉.数学思维理论［M］.南宁：广西教育出版社，2001．

［2］郑毓信.数学方［M］.南宁：广西教育出版社，1996．