2021-2022学年北京第二中学高一数学文下学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 方程x﹣sinx=0的根的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

参：

A

【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．

【分析】方程x﹣sinx=0的根的个数可转化为函数f（x）=x﹣sinx的零点个数，有导数证明函数是单调函数，f（x）零点有且只有一个为0．从而方程x﹣sinx=0的根有且只有一个为0 【解答】解：方方程x﹣sinx=0的根的个数可转化为函数f（x）=x﹣sinx的零点个数， ∵f′（x）=1﹣cosx，﹣1≤cosx≤1，所以1﹣cosx≥0，即f′（x）≥0， 所以f（x）=x﹣sinx在R上为增函数．

又因为f（0）=0﹣sin0=0，所以0是f（x）唯一的一个零点， 所以方程x﹣sinx=0的根的个数为1， 故选：A． 2. 若α满足

，则

的值为（ ）

A． B． C． D．

参：

A

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】由=cos[﹣（）]，由此利用诱导公式能求出结果．

【解答】解：∵，

∴=cos[

﹣（）]=．

故选：A．

3. 数列{an}满足，则的前10项和为（ ）

A. B. C. D.

参：

B 【分析】

根据裂项相消法求和.

【详解】因为，

所以的前10项和为，选B.

【点睛】本题考查裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.

4. 直线经过斜率为2，则这条直线的方程是（ ）； A．

B．

C．

D．

参：

C

5. 已知集合

集合

则

（A． B． C． 参：

C

6. 已知函数为幂函数，则

（ ）

A．

或 2

B．

或 1 C．

参：

C

．

D．1 ） D

7. 设，，，则 A.

B.

C.

D.

参：

A 因为

，所以

，因为

，所以

，所以

．

8. 函数的周期是（ ）

A． B． C． D．

参： C

略

9. 函数 的零点的个数是 ( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

参：

D 【分析】

由

得

，再在同一坐标系下画出函数

的图像，观察函数

的图像即得解.

【详解】由

得

,

在同一坐标系下画出函数的图像，如图所示，

，

从图像上看，两个函数有5个交点，所以原函数有5个零点.

故选：D

【点睛】本题主要考查函数的零点的个数，考查三角函数的图像和对数函数的图像，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

10. 在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，［a，b］是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为

，该组上的直方图的高为，则

（ ）

A．

B． C． D．

参： A

略

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. =_____________.

参：

9.6 略

12. 设集合，则____▲______．

参：

13.

.

参：

; 14. （

）

+log3+log3= ．

参：

【考点】对数的运算性质．

【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可． 【解答】解：（）

+log3+log3=

+log35﹣log34+log34﹣log35

=

．

故答案为：

．

【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力． 15. 已知定义在R上的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=0.001x

，则

= ．

参：

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】先由函数是偶函数得f（﹣x）=f（x），再利用x＞0时，f（x）=0.001x，即可求出

．

【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， ∵x＞0时，f（x）=0.001x

，

∴=f（）=．

故答案为：

．

【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个基础题． 16. 已知函数

是定义在R上的奇函数，当

时，

＝

，则当

时，

＝

。

参：

17. 已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a= ．

参：

0或1

【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．

【分析】当a=0 时，其中有一条直线的斜率不存在，经检验满足条件，当a≠0 时，两直线的斜率都存在，

由斜率之积等于﹣1，可求 a．

【解答】解：当a=0 时，两直线分别为 y=0，和x=0，满足垂直这个条件，

当a≠0 时，两直线的斜率分别为a 和，由斜率之积等于﹣1得：a?=﹣1，

解得 a=1． 综上，a=0 或a=1． 故答案为 0或1．

【点评】本题考查两条直线垂直的条件，注意当直线的斜率不存在时，要单独检验，体现了分类讨论的数学思想，属于

基础题．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. （本小题满分12分）

求的值．

参：

原式

…12分

19. 等比数列{an}的各项均为正数，且． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设

，求数列{bn}的前n项和

．

参：

（1）设数列

的公比为

因为

所以

得

（2）由（1）

20. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x名员工从事第三产业，调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造利

润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若要调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？ 参： （1）由题意得…………………………2分， 即

，解得

，又

，所以，

，…………4分

即最多调整出500名员工从事第三产业.…………………………5分

（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总

利润为

.

则，…………………………8分

，，

即

恒成立，…………………………10分

因为

，

当且仅当，即

时，等号成立.

所以，

，即a的取值范围是

.…………………………12分

21. 已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1. （1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.

参：

略

22. （本小题满分12分）

函数(1) 讨论

的奇偶性；

．

(2) 若函数参：

的图象经过点(2，), 求的值.