人版高中一年级数学必修一第一章单元检测试题与答案

.

高一数学第一章集合与函数概念单元检测试题

一、选择题：共 12题每题 5分共60分

1． 已知函数

的图象如下图所示，则函数 的图象为

2． 下列各组函数为相等函数的是

A. B.

C.

3． 函数

D.

的定义域为

若对于任意的

的 =

= 当

=

时, 都有

则称函

数 在 上为非减函数 . 设函数

②

③

上为非减函数 , 且满足以下三个条件 : ① 则

等于

A. B. C. D.

4． 设函数 , 则 的最小值为

A.

B.

C.

D.

5 ． 函数 f ( x)= x2- 4x+6( x∈ [1,5)) 的值域是

A.(3,11]

6 ．若函数

B.[2,11)

C.[3,11)

在区间

D.(2,11] 的取值围为

上单调 , 则实数

A. C.

7 ． 定义运算 :

B. D.

= , 如 1 2=1, 则函数

( )=2 x

2-x 的值域为

*

a*b

. . .

*

f x

.

A. R

B.(0, +∞) C.(0,1] D.[1, +∞)

8． 已知集合 E={ x| 2-x ≥0}, 若 F? E, 则集合 F 可以是

A.{ x|x <1} B.{ x|x >2} C.{ x|x >3} D.{ x| 19．已知偶函数 f(x) 在区间 [0,+ ∞) 上单调递增 , 则满足 f(2x-1)A.( , )

B.[ , ) C.( , )

10． 某练习发射炮弹，炮弹的高度 与时间 ( 秒 ) 的函数关系式是

，则炮弹在发射几秒后最高呢？

A. B. C. D.

11．已知 ,且

B.

,则 等于

A.

12．已知集合

C.

和集合

D.

，则两个集合间

的关系是

A. B. C. D.M， P 互不包含

. . .

.

二、填空题：共 4题每题5分共20分

13．已知函数 f ( x)= a﹣x2(1 ≤ x ≤2) 与

的图象上存在关于 轴对称的点，则

实数 的取值围是

A.

C.

14． 设集合 M={ x| 0≤ x≤2}, N={ y| 0≤ y≤2}. 给出下列四个图 , 其中能构成从集合 M到集

合 N的函数关系的是

.

15．给出下列二次函数 , 将其图象画在同一平面直角坐标系中

, 则图象的开口按从小到大

的顺序排列为

2

.

2

(1) f ( x)= - x ;(2) f ( x)= ( x+5) ; (3)

f x

( )=

x -

2

6;(4)

f x - x-

( )= 5(

16． 若函数

+

的图像关于 y 轴对称，则

.

8) 2 9.

的单调减区间

为

17．

三、解答题：共 6题共70分

( 本题 10 分 ) 如果对函数 f ( x) 定义域任意的

x , x 都有 |f ( x ) -f ( x ) | ≤ |x -x | 成立 ,

12 1 2 1 2

就称函数 f ( x) 是定义域上的“平缓函数”.

(1) 判断函数 f ( x)= x2-x , x∈ [0,1] 是否为“平缓函数”;

(2) 若函数 f ( x) 是闭区间 [0,1] 上的“平缓函数” , 且 f (0)= f (1), 证明 : 对任意的 x1, x2∈ [0,1],

都有 |f ( x1) -f ( x2) | ≤ 成立 .

( 注 : 可参考绝对值的基本性质① |ab| ≤|a||b| , ② |a+b| ≤|a|+|b| )

18． ( 本题 12 分) 记函数 的定义域为集合

，集合

.

(1) 求 和

. . .

；

.

(2) 若

，求实数 的取值围 .

19． ( 本题 12 分 ) 设全集 U={ x|0< x<9, 且 x∈ Z}, 集合 S={1,3,5},

T={3,6},

求 :

(1) S∩ T; (2)

.

20． ( 本题 12 分 ) 已知函数 f(x)= .

(1) 用定义证明 f(x) 在区间 [1,+ ∞) 上是增函数 ;

(2) 求该函数在区间 [2,4] 上的最大值与最小值 .

21． ( 本题 12 分 ) 定义在非零实数集上的函数

对任意非零实数足:

,且当

时

.

(Ⅰ)求

及

的值;

(Ⅱ)求证: 是偶函数 ;

(Ⅲ)解不等式 : .

22． ( 本题 12 分 )(1) 证明 : 函数 f ( x)= 在 ( - ∞,0) 上是减函数 ;

3

. . .

满

.

参

1.B

【解析】本试题主要考查函数的图象 轴上方，在 y 轴左侧的图象在 C,D，对于选项 A，由于在 对称，故选 B. 【备注】无

. 根据题意，由于函数图象可知，函数在 y 轴右侧图象在 x

x 轴的下方，而函数 在 x>0 时图象保持不变，因此排除

时偶函数，故在 y 轴左侧的图象与 y 轴右侧的图象关于 y 轴

2.C

【解析】 本题主要考查相等函数、 函数的定义域、 值域与对应关系 .A. 因为这两个函数的值域不同, 所以这两个函数不是相等函数 ;B. 这两个函数的定义域不同 , 所以这两个函数不是相等函

数;C. 这两个函数的定义域、 值域与对应关系均相同 , 所以这两个函数为相等函数 ;D. 这两个函数的定义域不同 , 所以这两个函数不是相等函数 .

【备注】无

3.D

【解析】本题主要考查新定义问题、函数的性质及其综合应用

. 由题意 , 令 x=0, 由 则

则

=

=

=同理

同理

=

可得 = = .因为

= =

由

= =

可得

= =

所以

令

令

=

. 非减函数的性质 :当

所以

时,都有

=

.

【备注】无

4.A

【解析】 本题主要考查分段函数的最值问题

. 由题意， 函数 的图象如图所示：

. . .

.

红色图象即为所求解的函数的图象，可知最小值为

0.

【备注】无

5.B

【解析】 f ( x)= x2- 4x+6=( x- 2) 2+2. ∵ f ( x) 图象的对称轴是直线 x=2, ∴ f ( x) 在 [1,2] 上单调递减 , 在(2,5) 上单调递增 , ∴ f ( x) 的值域是 [2,11). 故选 B.

【备注】无

6.C

【解析】本题主要考查二次函数

.依题意 ,函数 ,得

或

,故选C.

在区间 上单调,则

函数的对称轴

或

【备注】无

7.C

【解析】本题主要考查在新型定义的前提下函数值域的求解

. 根据题目定义知

f ( x)=2 x* 2-x =

, 结合图象知其值域为 (0,1]. 故选 C.

【备注】无

8.A

【解析】由题意知

E={ x| 2-x ≥0}={ x|x ≤2}, F? E, 观察选项知应选

A.

【备注】无

9.A

. . .

.

【解析】偶函数 f(x) 在区间 [0,+ ∞) 上单调递增

, 所以函数 f(x) 在区间 (- ∞,0] 上单调递减 . 由于

f(x) 是偶函数 , 所以 f(-x)=f(x), 则 f(- )= f( ).

由 f(2x-1)② ,

解①得 ≤x< , 解②得 综上可得 , ).

【备注】无

10.C

【解析】本题主要考查二次函数

. 依题意，根据二次函数得性质，函数的开口向下，对称轴为

后最高，故选 C.

，故炮弹在发射

【备注】无

11.B

【解析】本题主要考查函数的解析式与求值

.

因为

,设

,解得

,故选 B.

,则 ,所以 ,因为 ,所以

【备注】无

12.D

【解析】无

【备注】无

13.D

【解析】本题主要考查二次函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力与计算能力

. 因为函数 f ( x)= a﹣

有解，令

f ( x)= a﹣ x2(1 ≤ x ≤2) 与 x2(1 ≤ x ≤2) 与

的图象上存在关于

的图象上存在交点，所以

, 则

轴对称的点，所以函数

, 求解可得 ，故答案为 D.

【备注】无

. . .

.

14. ④

【解析】图①中函数的定义域是 [0,1]; 图②中函数的定义域是 [ - 1,2]; 图③中对任意的 x∈ (0,2], 其对应的 y 值不唯一 . 故①②③均不能构成从集合 M到集合 N的函数 , 图④满足题意 .

【备注】无

15.(4)(3)(2)(1)

【解析】因为二次函数

y=ax2+bx+c( a≠0) 的图象在同一平面直角坐标系中 |a| 越小 , 图象开口越

大, 又 |- | <| | <| | <|- 5| , 所以图象开口按从小到大的顺序排列为

(4)(3)(2)(1).

【备注】无

16.

【解析】本题考查函数的图象

. 若函数 的图像关于 y 轴对称，则 a=0，

，所以 f(x) 的单调减区间为

.

【备注】无

17.(1) 对任意的 x1, x2∈ [0,1], 从而 |f ( x ) -f ( x ) | =| (

1

2 2

有 - 1≤ x1+x2- 1≤1, 即 |x 1+x2- 1| ≤1.

-x ) - (

1

-x ) | =|x -x ||x +x - 1| ≤ |x -x | ,

2

1

2

1

2

1

2

所以函数

( )= , ∈ [0,1] 是“平缓函数”.

f x x -x x

(2) 当 |x 1-x 2| < 时 ,

由已知 , 得 |f ( x1) -f ( x2) | ≤ |x 1-x 2| < ;

当|x 1-x 2| ≥ 时 , 因为 x1, x2∈ [0,1],

不妨设 0≤ x1因为 f (0)= f (1),

所以 |f ( x1) -f ( x2) | =|f ( x1) -f (0) +f (1) -f ( x2) |

≤ |f ( x1) -f (0) |+|f (1) -f ( x2) | ≤ |x 1- 0|+| 1-x 2| =x1 -x 2+1

≤ - +1

= .

. . .

.

所以对任意的 x1, x2∈ [0,1], 都有 |f ( x1) -f ( x2) | ≤ 成立 . 【解析】无

【备注】无

18. 由条件可得 A { x | x 2} , (1) (2)

={ x | 2 x 3} , A

B { x | x

可得

3} ;

C

{ x | x p} , 由

p 2

.

【解析】本题考查函数的定义域与集合的运算 利用数轴进行分析即可得出结论 .

.(1) 先求出函数的定义域 , 再进行运算即可 ;(2)

【备注】与不等式有关的集合运算或集合之间的关系问题通常可以借助数轴进行求解 .

19. U={1,2,3,4,5,6,7,8} (1) S∩ T={3} (2) S∪ T={1,3,5,6}

={2,4,7,8}

【解析】本题主要考查集合的基本运算

.(1) 由交集的定义求解 ;(2) 由并集与补集的定义求解 .

【备注】无

20.(1) 任取 x1,x 2∈ [1,+ ∞), 且 x1f(x 1)-f(x

2

)= - = .

∵ 1≤ x10, ∴ f(x 1)-f(x 2)<0, 即 f(x 1)∴函数 f(x) 在区间 [1,+ ∞) 上是增函数

.

(2) 由 (1) 知函数 f(x) 在区间 [2,4] 上是增函数 ,

∴f(x)

max

=f(4)= = ,

f(x)

min

=f(2)= = .

【解析】无 【备注】无

21.(1) f (1)=0, f (-1)=0;

. . .

.

(2) f (- x)= f ( x)+ f (-1)= f ( x ) ∴f (- x )= f ( x) ，所以函数 (3) 据题意可知，

是偶函数 ;

(2)+ ( 2-1/2)= (2 2- 1)≤0∴ -1 ≤2 2-1 ＜0 或 0＜2

2- 1≤1∴ 0≤ 2＜ 1/2 或

f f x f

x

x

x

x

＜x 2≤1, 所以不等式的解集为

【解析】本题主要考查特殊函数的性质的判断与应用以及一元二次不等式的解法

;(3) 根据题意与 与 — 1 即可求出结果 ;(2) 利用函数奇偶性的定义即可证明

x=

f

.(1) 分别令 x=1

(1)=0, (-1)=0 ，

f

原不等式可化为 - 1≤2x2-1 ＜ 0 或 0＜ 2x2 - 1≤1然后求解即可 . 【备注】无

22.(1) 设 x , x 是( - ∞,0) 上的任意两个实数

1

2

, 且 x 1

2

1

2

.

因为 x1, x2∈ ( - ∞,0), 所以 x1x2>0, 又因为 x10, 则 于是 f ( x1) -f ( x2)>0, 即 f ( x1)> f ( x2).

>0.

因此函数 f ( x)= 在 ( - ∞,0) 上是减函数 .

(2) 设 x1, x2 是 R上的任意两个实数 , 且 x10,

而 f ( x2) -f ( x1)=(

+x2) - ( +x1)

=( x2-x 1)( =( x2-x 1)(

+x2x1+ ) +( x2-x 1) +x2x1+ +1)

=(

2

1

)[(

2

)

2

1].

x -x

2

x +

) +

2

+

+

因为 ( x + +1>0, x -x >0, 所以 f ( x ) -f ( x )>0, 即 f ( x )> f ( x ).

2

1

2

1

2

1

因此函数 f ( x)= x3+x 在 R 上是增函数 . 【解析】用定义证明函数

f x D

且 x1在给定区间 D上的单调性 .

( ) 在给定区间

上的单调性的一般步骤 : ①取值——任取

x x

1 ,

2

∈ ,

D

, 向有

利于判断差值的符号的方向变形 ; ④定号——判断 f ( x1) -f ( x2) 的正负 ; ⑤下结论——指出函数 f ( x)

【备注】无

. . .