2015-2016学年某某市巴蜀中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求．） 1．集合M={﹣1，1，3，5}，集合N={﹣3，1，5}，则以下选项正确的是（ ） A．N∈M B．N⊆M C．M∩N={1，5} D．M∪N={﹣3，﹣1，3}
2．“x≥3”是“x＞3”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．sin585°的值为（ ） A．
4．若θ是第四象限角，且|cos
|=﹣cos
，则
是（ ）
B．
C．
D．
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
x
5．f（3）=x，则f（10）=（ ）
310
A．log310 B．lg3 C．10 D．3
6．为了得到函数y=sin（2x﹣A．向右平移C．向左平移
）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
个单位 个单位
个单位 B．向右平移个单位 D．向左平移
7．下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也
相同的是（ ） A．
B．y=x+2
2
C．y=x﹣3 D．
3
8．tan70°•cos10°（tan20°﹣1）等于（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
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9．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）的对称轴为x=1，f（x+1）=（f（x）
≠0），且在区间上单调递减．已知α，β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＜f（cosβ） C．f（sinα）=f（cosβ） D．以上情况均有可能
xx2
10．已知关于x的方程4+m•2+m﹣1=0有实根，则实数m的取值X围是（ ） A．[﹣
11．设函数f（x）=
22
，] B．[﹣，1） C．[﹣，1] D．[1，]
，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，
满足f（f（x））=2ay+ay，则正实数a的最小值是（ ） A．
B．
C．2
D．4
22
12．若函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）没有零点，则a+b的取值X围是（ ） A．[0，1） B．[0，π） C．
2
D．[0，π）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f（x）=
的定义域为．
14．函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值X围为．
15．当t∈[0，2π）时，函数f（t）=（1+sint）（1+cost）的最大值为．
16．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊂D（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数． ①f（x）=3﹣不可能是k型函数；
②若函数y=﹣x+x是3型函数，则m=﹣4，n=0； ③设函数f（x）=|3﹣1|是2型函数，则m+n=1； ④若函数y=正确的序号是．
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（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为
x2
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三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤．
2
17．已知A={x|x+2x﹣8＞0}，B={x||x﹣a|＜5|}，且A∪B=R，求a的取值X围．
18．已知0＜α＜
，tanα=
（1）求的值；
（2）求sin（
﹣α）的值．
19．已知f（x）=x（1）求f（x）的表达式； （2）若函数g（x）=loga[a某某数a的取值X围．
20．函数f（x）=＜φ＜
为偶函数（t∈z），且在x∈（0，+∞）单调递增．
﹣x]在区间[2，4]上单调递减函数（a＞0且a≠1），
cos（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）•sin（ωx+φ+
2
）﹣（ω＞0，0
）同时满足下列两个条件：
①f（x）图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形 ②（，0）是f（x）的一个对称中心、
（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）令g（x）=f（x﹣）+f（x﹣）+m，若g（x）在x∈[，]时有零点，求此时m的取值X围．
2
21．已知二次函数f（x）=x﹣16x+q+3．
（1）若函数在区间[﹣1，1]上最大值除以最小值为﹣2，某某数q的值； （2）问是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度为12﹣t（此区间[a，b]的长度为b﹣a）
22
22．已知集合A={t|t使{x|x+2tx﹣4t﹣3≠0}=R}，集合B={t|t使{x|x+2tx﹣2t=0}≠∅}，其中x，t均为实数． （1）求A∩B；
（2）设m为实数，g（α）=﹣sinα+mcosα﹣2m，α∈[π，π]，求M={m|g（α）∈A∩B}．
2
2
3 / 19
word
四、附加题：本题满分0分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤．本题所得分数计入总分．
23．已知函数f（x）的定义域为0，1]，且f（x）的图象连续不间断．若函数f（x）满足：对于给定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x0∈[0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．
（1）已知函数f（x）=，若f（x）具有性质P（m），求m最大值；
（2）若函数f（x）满足f（0）=f（1），求证：对任意k∈N且k≥2，函数f（x）具有性质P（）．
2015-2016学年某某市巴蜀中学高一（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求．） 1．集合M={﹣1，1，3，5}，集合N={﹣3，1，5}，则以下选项正确的是（ ） A．N∈M B．N⊆M C．M∩N={1，5} D．M∪N={﹣3，﹣1，3} 【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合思想；分析法；集合；简易逻辑．
【分析】由元素与集合之间的关系，判断A不正确，由集合N中的元素不都是集合M中的元素，判断B不正确，再由交集以及并集运算判断C，D则答案可求． 【解答】解：集合M={﹣1，1，3，5}，集合N={﹣3，1，5}， N∈M不正确，∈是元素与集合之间的关系，故A不正确，
N⊆M不正确，集合N中的元素不都是集合M中的元素，故B不正确， 对于C，M∩N={﹣1，1，3，5}∩{﹣3，1，5}={1，5}，故C正确，
对于D，M∪N={﹣1，1，3，5}∪{﹣3，1，5}={﹣3，﹣1，1，3，5}，故D不正确． 故选：C．
【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．
2．“x≥3”是“x＞3”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若x=3满足x≥3，但x＞3不成立， 若x＞3，则x≥3成立，
即“x≥3”是“x＞3”成立的必要不充分条件，
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*
word
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．
3．sin585°的值为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】诱导公式的作用．
【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之． 【解答】解：sin585°=sin=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣故选A．
【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．
4．若θ是第四象限角，且|cos
|=﹣cos
，则
是（ ）
，
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【考点】三角函数值的符号；象限角、轴线角． 【专题】数形结合；定义法；三角函数的求值． 【分析】根据θ是第四象限角，得出出
是第二象限角．
是第二或第四象限角，再由|cos
|=﹣cos
，得
【解答】解：∵θ是第四象限角， ∴2kπ+∴kπ+又|cos∴
≤θ≤2kπ+2π，k∈Z； ≤
≤kπ+π，k∈Z；
，
|=﹣cos
是第二象限角．
故选：B．
【点评】本题考查了象限角与三角函数符号的判断问题，是基础题目．
x
5．f（3）=x，则f（10）=（ ）
310
A．log310 B．lg3 C．10 D．3 【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
x
【分析】设3=t，求出f（t）=log3t，由此能求出f（10）．
x
【解答】解：∵f（3）=x，
x
∴设3=t，则x=log3t， ∴f（t）=log3t， ∴f（10）=log310． 故选：A．
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【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．
6．为了得到函数y=sin（2x﹣A．向右平移C．向左平移
）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
个单位 个单位
个单位 B．向右平移个单位 D．向左平移
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：y=sin（2x﹣
）=sin2（x﹣
），
）的图象，
故将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7．下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也
相同的是（ ） A．
B．y=x+2
2
C．y=x﹣3 D．
3
【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】运用奇偶性的定义判断已知函数为偶函数，在x＜0上递减，再由常见函数的奇偶性和单调性及定义，即可得到满足条件的函数．
【解答】解：函数y=，
当x=0时，f（0）=1；
当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=（）=e=f（x），
当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=e=f（x）， 则有在R上，f（﹣x）=f（x）．
则f（x）为偶函数，且在x＜0上递减． 对于A．f（﹣x）=﹣f（x），则为奇函数，则A不满足； 对于B．则函数为偶函数，在x＜0上递减，则B满足；
33
对于C．f（﹣x）=（﹣x）﹣3=﹣x﹣3≠f（x），则不为偶函数，则C不满足；
﹣x
﹣x
x
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对于D．f（﹣x）=f（x），则为偶函数，当x＜0时，y=递增，则D不满足．
故选B． 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查常见函数的奇偶性和单调性及定义的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．
8．tan70°•cos10°（tan20°﹣1）等于（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值． 【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】将原函数式中的“切”化“弦”后，通分整理，用辅助角公式整理即可． 【解答】解：tan70°•cos10°（====
•cos10°（
•
×2sin（20°﹣30°）
•
tan20°﹣1） ﹣1）
=﹣1． 故选C．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，“切”化“弦”后通分整理是关键，考查化简与运算能力，属于中档题．
9．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）的对称轴为x=1，f（x+1）=
（f（x）
≠0），且在区间上单调递减．已知α，β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＜f（cosβ） C．f（sinα）=f（cosβ） D．以上情况均有可能 【考点】抽象函数及其应用．
【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
【分析】由平移图象可得y=f（x）的对称轴为x=0，由f（x）f（x+1）=4，将x换为x+1，可得f（x）的周期为2，由题意可得f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增，由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β＜
，运用诱导公式和正弦函数的单调性，即
可判断大小，得到结论．
【解答】解：f（x﹣1）的对称轴为x=1， 可得y=f（x）的对称轴为x=0， 即有f（﹣x）=f（x），又f（x）f（x+1）=4， 可得f（x+1）f（x+2）=4，即为f（x+2）=f（x）， 函数f（x）为最小正周期为2的偶函数． f（x）在区间上单调递减，
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可得f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增， 由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β＜即有0＜α＜
﹣β＜
，
，
则0＜sinα＜sin（﹣β）＜1，即为0＜sinα＜cosβ＜1，
则f（sinα）＜f（cosβ）． 故选：B．
【点评】本题考查函数的对称性和周期性的运用，考查偶函数的单调性的运用，同时考查三角形函数的诱导公式和正弦函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
xx2
10．已知关于x的方程4+m•2+m﹣1=0有实根，则实数m的取值X围是（ ） A．[﹣
，
] B．[﹣
，1） C．[﹣
，1] D．[1，
]
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．
x22
【分析】令2=t（t＞0），可得t+mt+m﹣1=0有正根，分类讨论，即可某某数m的取值X围．
x22
【解答】解：令2=t（t＞0），可得t+mt+m﹣1=0有正根，
①有两个正根，，∴﹣≤m＜﹣1；
②一个正根，一个负数根，m﹣1＜0，∴﹣1＜m＜1；
2
③m=﹣1时，t﹣t=0，t=0或1，符合题意， 综上所述，﹣
≤m＜1．
2
故选：B．
【点评】本题考查根的分布，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
11．设函数f（x）=
22
，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，
满足f（f（x））=2ay+ay，则正实数a的最小值是（ ） A．
B．
C．2
D．4
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域X围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．
【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，
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又∵f（x）=2，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R， ∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
22
要想f（f（x））=2ay+ay，在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
22
必有f（f（x））＞1 （因为2ay+ay＞0）， 所以：f（x）＞2， 解得：x＞4，
当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
22
∴2ay+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0， 所以有：（2ay﹣1）（ay+1）＞0， 解得：y＞∴∴a
≤2， ，
或者y＜﹣（舍去），
x
故选：A
22
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把2ay+ay当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于y的函数．
22
12．若函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）没有零点，则a+b的取值X围是（ ） A．[0，1） B．[0，π） C．
2
D．[0，π）
【考点】函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用． 【专题】转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 【分析】先假设函数存在零点x0，得出方程：
sin（x0+φ）=2kπ+
，再根据三
角函数的性质得出结果．
【解答】解：假设函数f（x）存在零点x0，即f（x0）=0， 由题意，cos（asinx0）=sin（bcosx0）， 根据诱导公式得：asinx0+bcosx0=2kπ+即，
sin（x0+φ）=2kπ+
，
（k∈Z），
|min，
要使该方程有解，则即，所以，a+b≥
2
2
≥|2kπ+
≥（k=0，取得最小）， ，
2
2
因此，当原函数f（x）没有零点时，a+b＜所以，a+b的取值X围是：[0，故答案为：C．
2
2
，
）．
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【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及三角函数的诱导公式，辅助角公式，方程有解条件的转化，以及运用假设的方式分析和解决问题，属于难题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f（x）=
的定义域为{x|x≥1或x≤0}．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得：
x（x﹣1）≥0，解得：x≥1或x≤0，
故函数f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤0}， 故答案为：：{x|x≥1或x≤0}．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
14．函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值X围为[﹣3，3]． 【考点】带绝对值的函数． 【专题】计算题；推理和证明．
【分析】化简函数，分别确定其X围，即可得出函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值X围． 【解答】解：当﹣1＜x＜2时，y=2﹣x﹣x﹣1=1﹣2x∈（﹣3，3）； 当x≤﹣1时，y=2﹣x+（x+1）=3； 当x≥2时，y=x﹣2﹣（x+1）=﹣3， 所以y的取值X围是[﹣3，3]． 故答案为：[﹣3，3]．
【点评】本题考查求函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值X围，正确讨论是关键．
15．当t∈[0，2π）时，函数f（t）=（1+sint）（1+cost）的最大值为【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】由f（t）=1+（sint+cost）+sintcost，令m=sint+cost=
sin（t+
）∈[﹣
，
．
]，sintcost=，则f（t）=1+m+=，运用二次函数的值域求法，
可得最大值．
【解答】解：f（t）=（1+sint）（1+cost） =1+（sint+cost）+sintcost， 令m=sint+cost=
sin（t+
）∈[﹣
，
]，
即有m=1+2sintcost，即sintcost=
2
，
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则f（t）=1+m+=，
即有m=﹣1时，f（t）取得最小值0； m=
，即t=
时，f（t）取得最大值，且为．
．
故答案为：
【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用三角换元和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．
16．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊂D（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数． ①f（x）=3﹣不可能是k型函数；
②若函数y=﹣x+x是3型函数，则m=﹣4，n=0； ③设函数f（x）=|3﹣1|是2型函数，则m+n=1； ④若函数y=
（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为
x2
正确的序号是②③④．
【考点】命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法；函数的值域． 【专题】新定义；转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．
【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．
【解答】解：①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2， ∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；
②y=﹣x+x是3型函数，即﹣x+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，∴②正确； ③设函数f（x）=|3﹣1|是2型函数，则当定义域为[m，n]时，函数值域为[2m，2n]，
xx
若n≤0，则函数f（x）=|3﹣1|=1﹣3，为减函数， 则
，即
m
nx
2
2
，即2﹣（3+3）=2（m+n），
m
n
mn
若m+n=1，则2﹣（3+3）=2，即3+3=0不成立， xx
若m≥0，则函数f（x）=|3﹣1|=3﹣1为增函数， 则
m
n
，则（3+3）﹣2=2（m+n），
m
n
mn
若m+n=1，则（3+3）﹣2=2，即3+3=4，
当m=0，n=1时，等式成立，则③正确，
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④，y=（a≠0）是1型函数，即（a+a）x﹣1=ax，∴ax﹣（a+a）x+1=0，
222222
∴方程的两根之差x1﹣x2==≤，即n﹣m的最大值为
，∴④正确；
故答案为：②③④
【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是易错题．综合性较强，有一定的难度．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤．
2
17．已知A={x|x+2x﹣8＞0}，B={x||x﹣a|＜5|}，且A∪B=R，求a的取值X围． 【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合． 【分析】利用一元二次不等式的解法可化简集合A，利用绝对值不等式的解法可化简集合B，再利用集合的运算即可得出答案．
2
【解答】解：对于集合A：由x+2x﹣8＞0，化为（x+4）（x﹣2）＞0， 解得x＞2或x＜﹣4，
∴A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
对于集合B：由|x﹣a|＜5，化为a﹣5＜x＜a+5， ∴B=（a﹣5，a+5）． ∵A∪B=R， ∴
，
解得﹣3≤a≤1．
∴a的取值X围是[﹣3，1]． 【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，属于基础题．
18．已知0＜α＜
，tanα=
（1）求的值；
（2）求sin（﹣α）的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；规律型；三角函数的求值． 【分析】（1）化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
（2）利用同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦函数化简求解即可．
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【解答】解：0＜α＜，tanα=
（1）===20；
（2）0＜α＜sin（
，tanα=，可得sinα=，cosα=，
cos
sinα=
=
．
﹣α）=
【点评】本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，考查计算能力．
19．已知f（x）=x（1）求f（x）的表达式； （2）若函数g（x）=loga[a
﹣x]在区间[2，4]上单调递减函数（a＞0且a≠1），为偶函数（t∈z），且在x∈（0，+∞）单调递增．
某某数a的取值X围．
【考点】复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质． 【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性的性质，即可求出t的值，从而求f（x）的解析式；
（2）利于换元法，结合复合函数单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵在x∈（0，+∞）单调递增，
2
∴﹣t+2t+3＞0，
2
即t﹣2t﹣3＜0，得﹣1＜t＜3， ∵t∈z，
∴t=0，1，2，
3
若t=0，则f（x）=x为奇函数，不满足条件．
4
若t=1，则f（x）=x为偶函数，满足条件．
3
若t=2，则f（x）=x为奇函数，不满足条件．
4
故f（x）的表达式为f（x）=x；
4
（2）∵f（x）=x， ∴g（x）=loga[a
2
﹣x]=loga（ax﹣x）
2
设t=ax﹣x，则y=logat，
若g（x）=loga[af（x）﹣x]（a＞0，且 a≠1﹚在区间[2，4]上是单调递减函数，
2
则t=ax﹣x和y=logat的单调性相反，
若a＞1，则t=ax﹣x在区间[2，4]上是单调递减函数，则对称轴x=此时不满足条件．
若0＜a＜1，则t=ax﹣x在区间[2，4]上是单调递增函数，则对称轴x=时，t=4a﹣2＞0，
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2
2
，即a，
，且当x=2
word
解得，即．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及复合函数单调性之间的关系，利于换元法是解决本题的关键．
20．函数f（x）=＜φ＜
cos（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）•sin（ωx+φ+
2
）﹣（ω＞0，0
）同时满足下列两个条件：
①f（x）图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形 ②（，0）是f（x）的一个对称中心、
（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）令g（x）=f（x﹣）+f（x﹣）+m，若g（x）在x∈[，]时有零点，求此时m的取值X围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】压轴题；转化思想；配方法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2ωx+2φ+﹣
），令2ωx+2φ+
=0，可得函数的一个最大值点O的坐标，令2ωx+2φ+
=
2
，可得函数的一个最大值点O的左相邻的对称点A的坐标，
=
，可得函数的一个最大值点O的右相邻的对称点B的坐标，由
．由cos（
+2φ+
）=0，结合X围0＜φ∈[
，
]，
令2ωx+2φ+
2
2
|AB|=2|OB|，结合X围ω＞0，解得＜
，可得φ=
，可得函数解析式，由x∈[0，2]时，可得πx+
利用余弦函数的图象可得单调递减区间． （2）由（1）及配方法可得g（x）=﹣
+m﹣（sinπx+），由题意，m=（sinπx+）
2
2
在x∈[，]时有解，利用正弦函数的有界性即可求解．
【解答】（本小题满分12分） 解：（1）∵f（x）==
cos（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）•sin（ωx+φ+
﹣sin（2ωx+2φ）﹣
﹣
2
）﹣
cos（2ωx+2φ）﹣
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word
=[cos（2ωx+2φ）﹣sin（2ωx+2φ）]
），
=cos（2ωx+2φ+∴函数周期T=
，
∵令2ωx+2φ+令2ωx+2φ+
=0，可得函数的一个最大值点O的坐标为：（﹣=﹣
，），
，可得函数的一个最大值点O的左相邻的对称点A的坐标为：（﹣
，0），
令2ωx+2φ+0），
=，可得函数的一个最大值点O的右相邻的对称点B的坐标为：（，
∴由题意可得：|AB|=2|OB|，即得：（得ω=
2
22
）=2[（
2
+）+（﹣）]，解
22
，
．
），
+2φ+，k∈Z，
）=0，
∵ω＞0，解得：
∴f（x）=cos（πx+2φ+
∵（，0）是f（x）的一个对称中心，即：cos（∴
+2φ+
=kπ+
，k∈Z，解得：φ=
．
﹣
∴由0＜φ＜，可得：φ=
）， ∈[
∴f（x）=cos（πx+∵x∈[0，2]时，πx+
，]， ∈[
π]，πx+
∈[2π，
]时单调递
∴当利用余弦函数的图象可得，当πx+减，
即函数f（x）的单调递减区间为：[0，]∪[，2]． （2）∵由（1）可得：f（x﹣）=cosπx，
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word
f（x﹣）=﹣sinπx．
∴g（x）=f（x﹣）+f（x﹣）+m=cosπx﹣sinπx+m=∵g（x）在x∈[，]时有零点，即方程：解，
∴m=（sinπx+）﹣
2
2
2
+m﹣（sinπx+），
2
2
+m﹣（sinπx+）=0在x∈[，]时有
在x∈[，]时有解，
2
∵x∈[，]，sinπx∈[﹣1，]，sinπx+∈[﹣，]，（sinπx+）∈[0，∴m∈[﹣
，﹣]．
]，
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数，余弦函数的图象和性质，
二次函数的图象和性质，考查了数形结合思想和转化思想的应用，考查了配方法的应用，综合性强，计算量大，属于难题．
2
21．已知二次函数f（x）=x﹣16x+q+3．
（1）若函数在区间[﹣1，1]上最大值除以最小值为﹣2，某某数q的值； （2）问是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度为12﹣t（此区间[a，b]的长度为b﹣a） 【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到函数f（x）的单调性，求出其最大值和最小值，得到关于q的方程，解出即可； （2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12﹣t求出t的值，验证X围后即可得到答案．
2
【解答】解：（1）∵二次函数f（x）=x﹣16x+q+3的对称轴为x=8， ∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，
∴f（x）max=f（﹣1）=20+q，f（x）min=f（1）=﹣12+q， 由题意得：
=﹣2，解得：q=；
（2）当时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，
即[q﹣61，t﹣16t+q+3]．
22
∴t﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t﹣16t+=12﹣t． ∴t﹣15t+52=0，∴t=经检验不合题意，舍去．
2
2
．
当时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，
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word
即[q﹣61，q﹣57]．
∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t． ∴t=8
经检验t=8不合题意，舍去．
当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，
2
即[t﹣16t+q+3，q﹣57]
22
∴q﹣57﹣（t﹣16t+q+3）=﹣t+16t﹣60=12﹣t 2
∴t﹣17t+72=0，∴t=8或t=9． 经检验t=8或t=9满足题意， 所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t． 【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．
22
22．已知集合A={t|t使{x|x+2tx﹣4t﹣3≠0}=R}，集合B={t|t使{x|x+2tx﹣2t=0}≠∅}，其中x，t均为实数． （1）求A∩B；
（2）设m为实数，g（α）=﹣sinα+mcosα﹣2m，α∈[π，π]，求M={m|g（α）∈A∩B}． 【考点】交集及其运算；集合的表示法． 【专题】综合题；转化思想；综合法；集合． 【分析】（1）分别求出集合A、B，取交集即可；（2）令t=cosα，则t∈[﹣1，0]，令h（m）22
=t+mt﹣2m﹣1，得到：﹣2＜t+mt﹣2m﹣1＜﹣1，求出m的X围即可．
2
【解答】解：（1）∵集合A={t|t使{x|x+2tx﹣4t﹣3≠0}=R}，
2
∴△1=（2t）+4（4t+3）＜0， ∴A={t|﹣3＜t＜﹣1}，
2
∵集合B={t|t使{x|x+2tx﹣2t=0}=∅}，
2
∴△2=4t﹣4（﹣2t）＜0， ∴B={t|﹣2＜t＜0}， ∴A∩B=（﹣2，﹣1）； （2）∵g（α）=﹣sinα+mcosα﹣2m，α∈[π，π]， ∴g（α）=
﹣
﹣2m，
2
2
令t=cosα，则t∈[﹣1，0]，
2
∴h（m）=t+mt﹣2m﹣1，
2
∴﹣2＜t+mt﹣2m﹣1＜﹣1， 解得：﹣
＜m＜﹣
，
由t∈[﹣1，0]，得：0＜m＜ 故M={m|0＜m＜}．
【点评】本题考察了集合的运算以及表示，考察转化思想，是一道中档题．
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word
四、附加题：本题满分0分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤．本题所得分数计入总分．
23．已知函数f（x）的定义域为0，1]，且f（x）的图象连续不间断．若函数f（x）满足：对于给定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x0∈[0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．
（1）已知函数f（x）=，若f（x）具有性质P（m），求m最大值；
（2）若函数f（x）满足f（0）=f（1），求证：对任意k∈N且k≥2，函数f（x）具有性质P（）．
【考点】分段函数的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域． 【专题】新定义；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）m的最大值为．分类进行证明，当m=时，函数f（x）具有性质P（）；假设存在＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1﹣m＜，证明不存在x0∈（0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m）即可；
（2）任取k∈N且k≥2，设g（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，可得g（0）+g（）+…+g（）+…+g（g（）、…、g（g（
*
*
]，利用叠加法
）=f（1）﹣f（0）=0，分类讨论：当g（0）、
）中有一个为0时，函数f（x）具有性质P（）；当g（0）、g（）、…、
）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，进而可证函数f（x）具有
性质P（）．
【解答】解：（1）m的最大值为．
首先当m=时，取x0=，则f（x0）=f（）=1，f（x0+m）=f（所以函数f（x）具有性质P（）
假设存在＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1﹣m＜． 当x0=0时，x0+m∈
，f（x0）=1，f（x0+m）＞1，f（x0）≠f（x0+m）；
）=f（1）=1
当x0∈（0，1﹣m]时，x0+m∈（，1]，f（x0）＜1，f（x0+m）≥1，f（x0）≠f（x0+m）；
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word
所以不存在x0∈（0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m），
所以，m的最大值为． … （2）证明：任取k∈N且k≥2
设g（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，g（）=f（）﹣f（） … g（）=f（… g（
）=f（1）﹣f（
）
）=f（1）﹣f（0）=0
）﹣f（）
]，则有g（0）=f（）﹣f（0）
*
以上各式相加得：g（0）+g（）+…+g（）+…+g（当g（0）、g（）、…、g（k﹣1}，
）中有一个为0时，不妨设为g（）=0，i∈{0，1，…，
即g（）=f（+）﹣f（）=0，则函数f（x）具有性质P（）； 当g（0）、g（）、…、g（
）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，
不妨设g（）＞0，g（）＜0，其中i≠j，i，j∈{0，1，…，k﹣1}， 由于g（x）是连续的，所以当j＞i时，至少存在一个存在一个使得g（x0）=0， 即g（x0）=f（
）﹣f（x0）=0
）
（当j＜i时，至少
所以，函数f（x）具有性质P（） …
【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
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