郎溪县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

郎溪县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1x2,x1,311． 若函数f(x)则函数yf(x)x的零点个数为（ ）

32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4 2． 已知函数f（x）=围是（ ）

A．（0，1） B．（1，+∞）

C．（﹣1，0）

D．（﹣∞，﹣1）

=（ ）

若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范

3． 已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3

4． 已知全集为R，且集合A{x|log2(x1)2}，B{x|A．(1,1) B．(1,1] C．[1,2) D．[1,2]

x20}，则A(CRB)等于（ ） x1【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题. 5． 已知i是虚数单位，则复数A．﹣ +i B．﹣ +i C．﹣i

等于（ ） D．﹣i

xn(1)sin2n,x2n,2n126． 已知函数f(x)（nN），若数列am满足

(1)n1sinx2n2,x2n1,2n22amf(m)(mN*)，数列am的前m项和为Sm，则S105S96（ ） A.909 B.910 C.911 D.912

【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

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7． 设0＜a＜1，实数x，y满足

，则y关于x的函数的图象形状大致是（ ）

A． B． C． D．

8． 阅读右图所示的程序框图，若m8,n10，则输出的S的值等于（ ） A．28 B．36 C．45 D．120 9． 已知tan（A．

﹣α）=，则tan（

B．﹣

+α）=（ ）

C．

D．﹣

10．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的（ ） A．①④

B．①⑤

C．②⑤

D．③⑤

11．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

12．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q B．￢p∧q

C．p∧￢q

D．￢p∧￢q

二、填空题

13．已知f（x）=

，则f（﹣）+f（）等于 ．

14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an= ．

15．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围 ．

16．在4次重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是 ．

17．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm） ．

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18．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．

三、解答题

19．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）． （1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an的表达式； （2）设数列（3）设Cn=

20．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y） （1）求f（1）的值，

（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．

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的前n项和为Pn，求证：Pn＜；

，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较Tn与

的大小．

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21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m，鸡舍侧面的造价为20元/m，地面及其他费用合计为

2

2

1800元．

（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域． （2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

22．设集合Ax|x3x20,Bx|x2a1xa50.

222（1）若A（2）A

B2,求实数的值；

BA,求实数的取值范围.1111]

23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点． （1）求证：BC1∥平面A1CD；

（2）若四边形BCC1B1是正方形，且A1D=

，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．

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24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）． （1）求圆弧C2的方程；

（2）曲线C上是否存在点P，满足

？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．

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郎溪县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D 【

解

析

】

考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

2． 【答案】A

【解析】解：函数f（x）=

的图象如下图所示：

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由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点， 即方程f（x）=k有两个不同的实根， 故选：A

3． 【答案】C

【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值， 即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，

32

∵f（x）=ax+bx+cx+d， 2

∴f′（x）=3ax+2bx+c， 2

由f′（x）=3ax+2bx+c=0，

=﹣5，

得2+（﹣1）=﹣1×2=

=﹣2，

=1，

即c=﹣6a，2b=﹣3a，

22

即f′（x）=3ax+2bx+c=3ax﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），

则故选：C

=

=

【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．

4． 【答案】C

5． 【答案】A

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【解析】解：复数故选：A．

===，

【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

6． 【答案】A.

【

解

析

】

7． 【答案】A

，即y=

，故函数y为偶函数，它的图象关于y

【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足轴对称， 故选：A．

在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），

【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．

8． 【答案】C

【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．Sm82CnC10C1045，选C．

nn1n2123nm1mCn,n10时，，当m8m第 8 页，共 16 页

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9． 【答案】B

【解析】解：∵tan（

故选：B．

﹣α）=，则tan（

+α）=﹣tan[π﹣（

+α）]=﹣tan（

﹣α）=﹣，

【点评】本题主要考查诱导公式，两角和的正切公式，属于基础题．

10．【答案】D

【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m∥β， 故选D

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．

11．【答案】A

【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，

取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，

故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选：A．

【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．

12．【答案】B

11xx

【解析】解：因为x=﹣1时，2﹣＞3﹣，所以命题p：∀x∈R，2＜3为假命题，则￢p为真命题．

3232

令f（x）=x+x﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x+x﹣1在（0，1）上存在零点，32

即命题q：∃x∈R，x=1﹣x为真命题．

．

则￢p∧q为真命题． 故选B．

二、填空题

13．【答案】 4 ．

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【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=． f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣∴f（）+f（﹣）=+

故答案为：4．

14．【答案】 2n﹣1 ．

n

【解析】解：∵a1=1，an+1=an+2， ∴a2﹣a1=2， a3﹣a2=22， …

an﹣an﹣1=2n﹣1，

23n1

相加得：an﹣a1=2+2+2+2…+2﹣，

）=f（）=2×=，

．

an=2n﹣1，

n

故答案为：2﹣1，

15．【答案】 （﹣∞，3] ．

2

【解析】解：f′（x）=3x﹣2ax+3，

∵f（x）在[1，+∞）上是增函数， ∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，

2

即3x﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．

则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0， ∴a≤3；

实数a的取值范围是（﹣∞，3]．

16．【答案】 [

] ．

13222

【解析】解：由题设知C4p（1﹣p）≤C4p（1﹣p）， 解得p∵0≤p≤1，

，

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∴，

]． cm3 ．

故答案为：[

17．【答案】

【解析】解：如图所示， 由三视图可知：

该几何体为三棱锥P﹣ABC．

该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，

2

由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm，

由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm， 故几何体的体积V=×8×4=故答案为：

cm3

cm3，

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．

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18．【答案】 84 ．

29

【解析】解：（x﹣）的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

•（﹣1）r•x18﹣3r，

令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7=故答案为：84．

==84，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）证明：∵Sn=nan﹣n（n﹣1） ∴Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n… ∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣2n… ∴nan+1﹣nan﹣2n=0 ∴an+1﹣an=2，

∴{an}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列 … 由等差数列的通项公式可知：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1， 数列{an}通项公式an=2n﹣1；… （2）证明：由（1）可得

…

=（3）∴

=两式相减得=

， ，

…

…

，

，

=，

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==∴∴∵n∈N，

*

，

，

…

…

∴2＞1，

n

∴∴

， …

20．【答案】

【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中， 令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1）， ∴f（1）=0；

（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6）， ∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2

等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6）， ∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6）， 即f（

）＜f（6），

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数， ∴

，解得﹣3＜x＜9，

即不等式的解集为（﹣3，9）．

21．【答案】 【解析】解：（1）=

…

…

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定义域是（0，7]… （2）∵当且仅当

，…

即x=6时取=…

∴y≥80×12+1800=2760…

答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…

22．【答案】（1）a1或a5；（2）a3． 【解析】

（2）A1,2,AB1,2 .

22①B,x2a1xa50无实根,0, 解得a3; 22② B中只含有一个元素，x2a1xa50仅有一个实根,

0,a3,B2,AB2,1,2故舍去;

22③B中只含有两个元素，使 x2a1xa50 两个实根为和,

212a1需要满足方程组无根，故舍去, 综上所述a3.1111.Com]

221=a5考点：集合的运算及其应用. 23．【答案】

【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点， ∵D为AB的中点，

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∴DO∥BC1，

∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD．

解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点， 四边形BCC1B1是正方形，且A1D=∴CD⊥AB，CD=∵

，∴

=

222

∴AD+AA1=A1D，∴AA1⊥AB，

，

，AD=1，

，

∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，

∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD， ∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC， ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC， ∵底面△ABC是等边三角形， ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．

以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， B（2，0，0），A（1，0，

=（，﹣2，﹣

），D（，0，

），A1（1，2，

），

），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），

设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ， 则sinθ=

=

=

．

．

∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为

24．【答案】

22

【解析】解：（1）圆弧 C1所在圆的方程为 x+y=169，令x=5，

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解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分

则直线AM的中垂线方程为 y﹣6=2（x﹣17）， 令y=0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0）， 又圆弧C2 所在圆的半径为29﹣14=15，

22

所以圆弧C2 的方程为（x﹣14）+y=225（5≤x≤29）…5分

（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=由由

PO，得x2+y2+2x﹣29=0 …8分

，解得x=﹣70 （舍去） 9分

，解得 x=0（舍去），

综上知，这样的点P不存在…10分

【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．

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