郎溪县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1x2,x1,311. 若函数f(x)则函数yf(x)x的零点个数为( )
32lnx,x1,A.1 B.2 C.3 D.4 2. 已知函数f(x)=围是( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(﹣1,0)
D.(﹣∞,﹣1)
=( )
若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范
3. 已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则
A.﹣1 B.2 C.﹣5 D.﹣3
4. 已知全集为R,且集合A{x|log2(x1)2},B{x|A.(1,1) B.(1,1] C.[1,2) D.[1,2]
x20},则A(CRB)等于( ) x1【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算,同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法,属于容易题. 5. 已知i是虚数单位,则复数A.﹣ +i B.﹣ +i C.﹣i
等于( ) D.﹣i
xn(1)sin2n,x2n,2n126. 已知函数f(x)(nN),若数列am满足
(1)n1sinx2n2,x2n1,2n22amf(m)(mN*),数列am的前m项和为Sm,则S105S96( ) A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
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7. 设0<a<1,实数x,y满足
,则y关于x的函数的图象形状大致是( )
A. B. C. D.
8. 阅读右图所示的程序框图,若m8,n10,则输出的S的值等于( ) A.28 B.36 C.45 D.120 9. 已知tan(A.
﹣α)=,则tan(
B.﹣
+α)=( )
C.
D.﹣
10.已知平面α、β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.为使m∥β,应选择下面四个选项中的( ) A.①④
B.①⑤
C.②⑤
D.③⑤
11.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( ) A.
B.
C.
D.
12.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬p∧¬q
二、填空题
13.已知f(x)=
,则f(﹣)+f()等于 .
14.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,则数列的通项an= .
15.已知函数f(x)=x3﹣ax2+3x在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围 .
16.在4次重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是 .
17.多面体的三视图如图所示,则该多面体体积为(单位cm) .
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18.在(x2﹣)9的二项展开式中,常数项的值为 .
三、解答题
19.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan﹣n(n﹣1). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别求出an的表达式; (2)设数列(3)设Cn=
20.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f()=f(x)﹣f(y) (1)求f(1)的值,
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)﹣f()<2.
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的前n项和为Pn,求证:Pn<;
,Tn=C1+C2+…+Cn,试比较Tn与
的大小.
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21.某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍,由于地理位置的,鸡舍侧面的长度x不得超过7m,墙高为2m,鸡舍正面的造价为40元/m,鸡舍侧面的造价为20元/m,地面及其他费用合计为
2
2
1800元.
(1)把鸡舍总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域. (2)当侧面的长度为多少时,总造价最低?最低总造价是多少?
22.设集合Ax|x3x20,Bx|x2a1xa50.
222(1)若A(2)A
B2,求实数的值;
BA,求实数的取值范围.1111]
23.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,D为AB中点. (1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)若四边形BCC1B1是正方形,且A1D=
,求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值.
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24.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上,圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0). (1)求圆弧C2的方程;
(2)曲线C上是否存在点P,满足
?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.
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郎溪县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参)
一、选择题
1. 【答案】D 【
解
析
】
考点:函数的零点.
【易错点睛】函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令f(x)0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法:先把所求函数分解为两个简单函数,再画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
2. 【答案】A
【解析】解:函数f(x)=
的图象如下图所示:
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由图可得:当k∈(0,1)时,y=f(x)与y=k的图象有两个交点, 即方程f(x)=k有两个不同的实根, 故选:A
3. 【答案】C
【解析】解:由三次函数的图象可知,x=2函数的极大值,x=﹣1是极小值, 即2,﹣1是f′(x)=0的两个根,
32
∵f(x)=ax+bx+cx+d, 2
∴f′(x)=3ax+2bx+c, 2
由f′(x)=3ax+2bx+c=0,
=﹣5,
得2+(﹣1)=﹣1×2=
=﹣2,
=1,
即c=﹣6a,2b=﹣3a,
22
即f′(x)=3ax+2bx+c=3ax﹣3ax﹣6a=3a(x﹣2)(x+1),
则故选:C
=
=
【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系,以及根与系数之间的关系的应用,考查学生的计算能力.
4. 【答案】C
5. 【答案】A
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【解析】解:复数故选:A.
===,
【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题.
6. 【答案】A.
【
解
析
】
7. 【答案】A
,即y=
,故函数y为偶函数,它的图象关于y
【解析】解:0<a<1,实数x,y满足轴对称, 故选:A.
在(0,+∞)上单调递增,且函数的图象经过点(0,1),
【点评】本题主要指数式与对数式的互化,函数的奇偶性、单调性以及特殊点,属于中档题.
8. 【答案】C
【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.Sm82CnC10C1045,选C.
nn1n2123nm1mCn,n10时,,当m8m第 8 页,共 16 页
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9. 【答案】B
【解析】解:∵tan(
故选:B.
﹣α)=,则tan(
+α)=﹣tan[π﹣(
+α)]=﹣tan(
﹣α)=﹣,
【点评】本题主要考查诱导公式,两角和的正切公式,属于基础题.
10.【答案】D
【解析】解:当m⊂α,α∥β时,根据线面平行的定义,m与β没有公共点,有m∥β,其他条件无法推出m∥β, 故选D
【点评】本题考查直线与平面平行的判定,一般有两种思路:判定定理和定义,要注意根据条件选择使用.
11.【答案】A
【解析】解:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10个,
取出的3个数可作为三角形的三边边长,根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共3个,
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选:A.
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件.
12.【答案】B
11xx
【解析】解:因为x=﹣1时,2﹣>3﹣,所以命题p:∀x∈R,2<3为假命题,则¬p为真命题.
3232
令f(x)=x+x﹣1,因为f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数f(x)=x+x﹣1在(0,1)上存在零点,32
即命题q:∃x∈R,x=1﹣x为真命题.
.
则¬p∧q为真命题. 故选B.
二、填空题
13.【答案】 4 .
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【解析】解:由分段函数可知f()=2×=. f(﹣)=f(﹣+1)=f(﹣)=f(﹣∴f()+f(﹣)=+
故答案为:4.
14.【答案】 2n﹣1 .
n
【解析】解:∵a1=1,an+1=an+2, ∴a2﹣a1=2, a3﹣a2=22, …
an﹣an﹣1=2n﹣1,
23n1
相加得:an﹣a1=2+2+2+2…+2﹣,
)=f()=2×=,
.
an=2n﹣1,
n
故答案为:2﹣1,
15.【答案】 (﹣∞,3] .
2
【解析】解:f′(x)=3x﹣2ax+3,
∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,
2
即3x﹣2ax+3≥0在[1,+∞)上恒成立.
则必有≤1且f′(1)=﹣2a+6≥0, ∴a≤3;
实数a的取值范围是(﹣∞,3].
16.【答案】 [
] .
13222
【解析】解:由题设知C4p(1﹣p)≤C4p(1﹣p), 解得p∵0≤p≤1,
,
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∴,
]. cm3 .
故答案为:[
17.【答案】
【解析】解:如图所示, 由三视图可知:
该几何体为三棱锥P﹣ABC.
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD,高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体,
2
由几何体的俯视图可得:△PCD的面积S=×4×4=8cm,
由几何体的正视图可得:AD+BD=AB=4cm, 故几何体的体积V=×8×4=故答案为:
cm3
cm3,
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积,根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键.
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18.【答案】 84 .
29
【解析】解:(x﹣)的二项展开式的通项公式为 Tr+1=
•(﹣1)r•x18﹣3r,
令18﹣3r=0,求得r=6,可得常数项的值为T7=故答案为:84.
==84,
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:(1)证明:∵Sn=nan﹣n(n﹣1) ∴Sn+1=(n+1)an+1﹣(n+1)n… ∴an+1=Sn+1﹣Sn=(n+1)an+1﹣nan﹣2n… ∴nan+1﹣nan﹣2n=0 ∴an+1﹣an=2,
∴{an}是以首项为a1=1,公差为2的等差数列 … 由等差数列的通项公式可知:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, 数列{an}通项公式an=2n﹣1;… (2)证明:由(1)可得
…
=(3)∴
=两式相减得=
, ,
…
…
,
,
=,
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==∴∴∵n∈N,
*
,
,
…
…
∴2>1,
n
∴∴
, …
20.【答案】
【解析】解:(1)在f()=f(x)﹣f(y)中, 令x=y=1,则有f(1)=f(1)﹣f(1), ∴f(1)=0;
(2)∵f(6)=1,∴2=1+1=f(6)+f(6), ∴不等式f(x+3)﹣f()<2
等价为不等式f(x+3)﹣f()<f(6)+f(6), ∴f(3x+9)﹣f(6)<f(6), 即f(
)<f(6),
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数, ∴
,解得﹣3<x<9,
即不等式的解集为(﹣3,9).
21.【答案】 【解析】解:(1)=
…
…
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定义域是(0,7]… (2)∵当且仅当
,…
即x=6时取=…
∴y≥80×12+1800=2760…
答:当侧面长度x=6时,总造价最低为2760元.…
22.【答案】(1)a1或a5;(2)a3. 【解析】
(2)A1,2,AB1,2 .
22①B,x2a1xa50无实根,0, 解得a3; 22② B中只含有一个元素,x2a1xa50仅有一个实根,
0,a3,B2,AB2,1,2故舍去;
22③B中只含有两个元素,使 x2a1xa50 两个实根为和,
212a1需要满足方程组无根,故舍去, 综上所述a3.1111.Com]
221=a5考点:集合的运算及其应用. 23.【答案】
【解析】证明:(1)连AC1,设AC1与A1C相交于点O,连DO,则O为AC1中点, ∵D为AB的中点,
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∴DO∥BC1,
∵BC1⊄平面A1CD,DO⊂平面A1CD, ∴BC1∥平面A1CD.
解:∵底面△ABC是边长为2等边三角形,D为AB的中点, 四边形BCC1B1是正方形,且A1D=∴CD⊥AB,CD=∵
,∴
=
222
∴AD+AA1=A1D,∴AA1⊥AB,
,
,AD=1,
,
∴CD⊥DA1,又DA1∩AB=D,
∴CD⊥平面ABB1A1,∵BB1⊂平面ABB1A1,∴BB1⊥CD, ∵矩形BCC1B1,∴BB1⊥BC, ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC, ∵底面△ABC是等边三角形, ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱.
以C为原点,CB为x轴,CC1为y轴,过C作平面CBB1C1的垂线为z轴,建立空间直角坐标系, B(2,0,0),A(1,0,
=(,﹣2,﹣
),D(,0,
),A1(1,2,
),
),平面CBB1C1的法向量=(0,0,1),
设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ, 则sinθ=
=
=
.
.
∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为
24.【答案】
22
【解析】解:(1)圆弧 C1所在圆的方程为 x+y=169,令x=5,
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解得M(5,12),N(5,﹣12)…2分
则直线AM的中垂线方程为 y﹣6=2(x﹣17), 令y=0,得圆弧 C2所在圆的圆心为 (14,0), 又圆弧C2 所在圆的半径为29﹣14=15,
22
所以圆弧C2 的方程为(x﹣14)+y=225(5≤x≤29)…5分
(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PA=由由
PO,得x2+y2+2x﹣29=0 …8分
,解得x=﹣70 (舍去) 9分
,解得 x=0(舍去),
综上知,这样的点P不存在…10分
【点评】本题以圆为载体,考查圆的方程,考查曲线的交点,同时考查距离公式的运用,综合性强.
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