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郊区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(1)

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郊区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 设0<a<1,实数x,y满足

,则y关于x的函数的图象形状大致是( )

A. B. C. D.

2. 下列函数中,既是奇函数又是减函数的为( ) A.y=x+1

B.y=﹣x2

C.

D.y=﹣x|x|

3. 已知数列an是各项为正数的等比数列,点M(2,log2a2)、N(5,log2a5)都在直线yx1上,则数列

an的前n项和为( )

A.22 B.2殖成( ) A.512个

B.256个

nn12 C.2n1 D.2n11

C.128个

D.个

4. 某种细菌在培养过程中,每20分钟一次(一个为两个).经过2个小时,这种细菌由1个可繁

5. 直线: (为参数)与圆:(为参数)的位置关系是( )

A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心

6. 在高校自主招生中,某学校获得5个推荐名额,其中清华大学2名,北京大学2名,复旦大学1名.并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有( )

A.20种 B.22种 C.24种 D.36种

7. 已知函数f(x)满足f(x)=f(π﹣x),且当x∈(﹣A.

D.

B.

x

)时,f(x)=e+sinx,则( )

C.

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8. 实数x,y满足不等式组,则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是( )

A.(1,1) B.(0,3) C.(,2) D.(,0)

29. fx2axa 在区间0,1上恒正,则的取值范围为( )

A.a0 B.0a10.双曲线A.

2 C.0a2 D.以上都不对

的渐近线方程是( ) B.

C.

D.

11.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(0<X<4)=0.8,则P(X>4)的值等于( ) A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6

12.(2015秋新乡校级期中)已知x+x﹣1=3,则x2+x﹣2等于( ) A.7

B.9

C.11

D.13

二、填空题

13.如图:直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V,点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上,AP=C′Q,则四棱锥B﹣APQC的体积为 .

14.如果椭圆

+

=1弦被点A(1,1)平分,那么这条弦所在的直线方程是 .

15.某种产品的加工需要 A,B,C,D,E五道工艺,其中 A必须在D的前面完成(不一定相邻),其它工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种.(用数字作答) 16.已知双曲线的标准方程为为 .

,则该双曲线的焦点坐标为, 渐近线方程

第 2 页,共 18 页

17.设O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,焦点为F,过F斜率为相交于A,B两点,直线AO与l相交于D,若|AF|>|BF|,则

18.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,则数列的通项an= .

= .

的直线与抛物线C

三、解答题

19.(本小题满分14分)

设函数f(x)ax2bx1cosx,x0,(其中a,bR).

21,求f(x)的单调区间; 2(2)若b0,讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2(1)若a0,b【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,最值、通过研究函数图象与性质,讨论函数的零点个数,考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力,是难题.

20.如图,四棱锥PABC中,PAABCD,AD//BC,ABADAC3,PABC4,M 为线段AD上一点,AM2MD,N为PC的中点.

(1)证明:MN//平面PAB;

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值;

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21.已知和均为给定的大于1的自然数,设集合

,,,...,.

,其中

,集合

..。

(1)当(2)设、.证明:若

,..。.

,,

,,...,;

..。

,,

时,用列举法表示集合

,,,...,

,则

22.如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,AC=BC=BD=2AE=(1)求证:CM⊥EM;

(2)求MC与平面EAC所成的角.

,M是AB的中点.

第 4 页,共 18 页

23.已知矩阵A=

24.已知函数f(x)=ax2﹣2lnx.

(Ⅰ)若f(x)在x=e处取得极值,求a的值; (Ⅱ)若x∈(0,e],求f(x)的单调区间; (Ⅲ) 设a>

,g(x)=﹣5+ln,∃x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)﹣g(x2)|<9成立,求a的取值范围.

,向量=

.求向量

,使得A2=.

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郊区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参)

一、选择题

1. 【答案】A

,即y=

,故函数y为偶函数,它的图象关于y

【解析】解:0<a<1,实数x,y满足轴对称, 故选:A.

在(0,+∞)上单调递增,且函数的图象经过点(0,1),

【点评】本题主要指数式与对数式的互化,函数的奇偶性、单调性以及特殊点,属于中档题.

2. 【答案】D

【解析】解:y=x+1不是奇函数; y=﹣x2不是奇函数;

是奇函数,但不是减函数; y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数, 故选:D.

【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性,难度不大,属于基础题.

3. 【答案】C

【解析】解析:本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式.log2a21,log2a54,∴a22,a516,∴a11,q2,数列an的前n项和为21,选C.

n4. 【答案】D =6次,

【解析】解:经过2个小时,总共了故选:D.

6

则经过2小时,这种细菌能由1个繁殖到2=个.

【点评】本题考查数列的应用,考查了等比数列的通项公式,是基础的计算题.

5. 【答案】D

【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为:直线:

圆心(2,1),半径2. 圆心到直线的距离为:

又圆心不在直线上,所以直线不过圆心。

,所以直线与圆相交。

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故答案为:D 6. 【答案】C

【解析】解:根据题意,分2种情况讨论:

①、第一类三个男生每个大学各推荐一人,两名女生分别推荐北京大学和清华大学, 共有共有

=12种推荐方法; =12种推荐方法;

②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学,其余2个女生从剩下的2个大学中选, 故共有12+12=24种推荐方法; 故选:C.

7. 【答案】D

【解析】解:由f(x)=f(π﹣x)知, ∴f(

)=f(π﹣

,<

)=f(

),

∵当x∈(﹣∵∴f(∴f(

<)<f(

x

)时,f(x)=e+sinx为增函数

, )<f()<f(

), ),

)<f(

故选:D

8. 【答案】 D

【解析】解:由题意作出其平面区域,

将u=2x+y化为y=﹣2x+u,u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距, 故由图象可知,

使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内, 故(1,1),(0,3),(而点(故选D.

,2)成立,

,0)在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内,

故不成立;

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【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,注意点在阴影区域内;属于中档题.

9. 【答案】C 【解析】

2试题分析:由题意得,根据一次函数的单调性可知,函数fx2axa在区间0,1上恒正,则

a0f(0)0,即,解得0a2,故选C. 2f(1)02aa0考点:函数的单调性的应用.

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10.【答案】B

【解析】解:∵双曲线标准方程为其渐近线方程是整理得y=±x. 故选:B.

=0,

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程.属于基础题.

11.【答案】A

2

【解析】解:∵随机变量ξ服从正态分布N(2,o), ∴正态曲线的对称轴是x=2 P(0<X<4)=0.8,

∴P(X>4)=(1﹣0.8)=0.1, 故选A.

12.【答案】A

1

【解析】解:∵x+x﹣=3,

22122

则x+x﹣=(x+x﹣)﹣2=3﹣2=7.

故选:A.

【点评】本题考查了乘法公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

二、填空题

13.【答案】V

【解析】

【分析】四棱锥B﹣APQC的体积,底面面积是侧面ACC′A′的一半,B到侧面的距离是常数,求解即可. 【解答】解:由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半,不妨把P移到A′,Q移到C, 所求四棱锥B﹣APQC的体积,转化为三棱锥A′﹣ABC体积,就是:故答案为:

14.【答案】 x+4y﹣5=0 .

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【解析】解:设这条弦与椭圆+=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2),

由中点坐标公式知x1+x2=2,y1+y2=2,

22

把P(x1,y1),Q(x2,y2)代入x+4y=36,

得,

①﹣②,得2(x1﹣x2)+8(y1﹣y2)=0, ∴k=

=﹣,

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣(x﹣1), 即为x+4y﹣5=0,

由(1,1)在椭圆内,则所求直线方程为x+4y﹣5=0. 故答案为:x+4y﹣5=0.

【点评】本题考查椭圆的方程的运用,运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键.

15.【答案】 24

【解析】解:由题意,B与C必须相邻,利用捆绑法,可得故答案为:24.

【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础.

16.【答案】 (± ,0) y=±2x . 【解析】解:双曲线c=

=2

,0),

的a=2,b=4,

=48种方法,

因为A必须在D的前面完成,所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种,

可得焦点的坐标为(±

渐近线方程为y=±x,即为y=±2x. 故答案为:(±

,0),y=±2x.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是焦点的求法和渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题.

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17.【答案】 .

2

【解析】解:∵O为坐标原点,抛物线C:y=2px(p>0)的准线为l,焦点为F, 过F斜率为

的直线与抛物线C相交于A,B两点,

直线AO与l相交于D, ∴直线AB的方程为y=联立

(x﹣),l的方程为x=﹣, ,解得A(﹣

P),B(,﹣

∴直线OA的方程为:y=

联立,解得D(﹣,﹣)

∴|BD|==,

∵|OF|=,∴ ==.

故答案为:.

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌握抛物线的简单性质.

18.【答案】 2n﹣1 .

n

【解析】解:∵a1=1,an+1=an+2, ∴a2﹣a1=2, a3﹣a2=22,

第 11 页,共 18 页

an﹣an﹣1=2n﹣1,

23n1

相加得:an﹣a1=2+2+2+2…+2﹣,

an=2n﹣1,

n

故答案为:2﹣1,

三、解答题

19.【答案】

【解析】(1)∵a0,b∴f(x)1, 211x1cosx,f(x)sinx,x0,. (2分) 222令f(x)0,得x.

6当0x时,f(x)0,当x时,f(x)0,

662所以f(x)的单调增区间是,,单调减区间是0,. (5分)

626第 12 页,共 18 页

110,a,10,则f()a又f()f(由零点存在定理,00,,使f(00))0,222所以f(x)在(0,0)上单调增,在0,上单调减.

22a1. 又f(0)0,f()24214a10,此时f(x)在0,上有两个零点; 故当a2时,f()2242241a10,此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时,f()242第 13 页,共 18 页

20.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】

85. 25试

题解析:

第 14 页,共 18 页

(2)在三角形AMC中,由AM2,AC3,cosMAC2,得 3

CM2AC2AM22ACANcosMAC5, AM2MC2AC2,则AMMC, ∵PA底面ABCD,PA平面PAD,

∴平面ABCD平面PAD,且平面ABCD平面PADAD,

∴CM平面PAD,则平面PNM平面PAD,

在平面PAD内,过A作AFPM,交PM于F,连结NF,则ANF为直线AN与平面PMN所成角。 在RtPAM中,由PAAMPMAF,得AF所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为4585,∴sinANF, 52585.1 25

第 15 页,共 18 页

考点:立体几何证明垂直与平行. 21.【答案】

【解析】22.【答案】

【解析】(1)证明:∵AC=BC=∴△ABC为等腰直角三角形, ∵M为AB的中点, ∴AM=BM=CM,CM⊥AB, ∵EA⊥平面ABC, ∴EA⊥AC,

设AM=BM=CM=1,则有AC=

,AE=AC=

, ==

, ,

AB,

在Rt△AEC中,根据勾股定理得:EC=在Rt△AEM中,根据勾股定理得:EM=

222

∴EM+MC=EC,

∴CM⊥EM;

(2)解:过M作MN⊥AC,可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角, 则MC与平面EAC所成的角为45°.

第 16 页,共 18 页

23.【答案】=【解析】A2=设

.由A2=,得

.

,从而

解得x=-1,y=2,所以=24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ) f′(x)=2ax﹣=经检验,a=(Ⅱ)

符合题意.

由已知f′(e)=2ae﹣=0,解得a=.

1)当a≤0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是减函数. 2)当a>0时,①若②若

<e,即≥e,即0<a≤

,则f(x)在(0,

)上是减函数,在(

,e]上是增函数;

,则f(x)在[0,e]上是减函数.

综上所述,当a≤时,f(x)的减区间是(0,e],

第 17 页,共 18 页

当a>(Ⅲ)当

时,f(x)的减区间是,增区间是. )=1+lna;

时,由(Ⅱ)知f(x)的最小值是f(

易知g(x)在(0,e]上的最大值是g(e)=﹣4﹣lna; 注意到(1+lna)﹣(﹣4﹣lna)=5+2lna>0, 故由题设知,

解得

<a<e2

故a的取值范围是(,e2)

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