郊区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(1)

一、选择题

1． 设0＜a＜1，实数x，y满足

，则y关于x的函数的图象形状大致是（ ）

A． B． C． D．

2． 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A．y=x+1

B．y=﹣x2

C．

D．y=﹣x|x|

3． 已知数列an是各项为正数的等比数列，点M(2,log2a2)、N(5,log2a5)都在直线yx1上，则数列

an的前n项和为（ ）

A．22 B．2殖成（ ） A．512个

B．256个

nn12 C．2n1 D．2n11

C．128个

D．个

4． 某种细菌在培养过程中，每20分钟一次（一个为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁

5． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心

6． 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）

A．20种 B．22种 C．24种 D．36种

7． 已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当x∈（﹣A．

D．

B．

，

x

）时，f（x）=e+sinx，则（ ）

C．

第 1 页，共 18 页

8． 实数x，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（ ）

A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）

29． fx2axa 在区间0,1上恒正，则的取值范围为（ ）

A．a0 B．0a10．双曲线A．

2 C．0a2 D．以上都不对

的渐近线方程是（ ） B．

C．

D．

11．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6

12．（2015秋新乡校级期中）已知x+x﹣1=3，则x2+x﹣2等于（ ） A．7

B．9

C．11

D．13

二、填空题

13．如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为 ．

14．如果椭圆

+

=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．

15．某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答） 16．已知双曲线的标准方程为为 ．

，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程

第 2 页，共 18 页

17．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则

18．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an= ．

= ．

的直线与抛物线C

三、解答题

19．（本小题满分14分）

设函数f(x)ax2bx1cosx，x0,（其中a，bR）.

21，求f(x)的单调区间； 2（2）若b0，讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2（1）若a0，b【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.

20．如图，四棱锥PABC中，PAABCD,AD//BC,ABADAC3,PABC4，M 为线段AD上一点，AM2MD,N为PC的中点．

（1）证明：MN//平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值；

第 3 页，共 18 页

21．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合

，，，...，.

，其中

、

，集合

..。

（1）当（2）设、.证明：若

，..。.

，，

，，...，；

..。

，，

时，用列举法表示集合

，，，...，

，则

22．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=（1）求证：CM⊥EM；

（2）求MC与平面EAC所成的角．

，M是AB的中点．

第 4 页，共 18 页

23．已知矩阵A＝

24．已知函数f（x）=ax2﹣2lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=e处取得极值，求a的值； （Ⅱ）若x∈（0，e]，求f（x）的单调区间； （Ⅲ） 设a＞

，g（x）=﹣5+ln，∃x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范围．

，向量＝

.求向量

，使得A2＝.

第 5 页，共 18 页

郊区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】A

，即y=

，故函数y为偶函数，它的图象关于y

【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足轴对称， 故选：A．

在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），

【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．

2． 【答案】D

【解析】解：y=x+1不是奇函数； y=﹣x2不是奇函数；

是奇函数，但不是减函数； y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数， 故选：D．

【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．

3． 【答案】C

【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式．log2a21，log2a54，∴a22,a516,∴a11,q2，数列an的前n项和为21，选C．

n4． 【答案】D =6次，

【解析】解：经过2个小时，总共了故选：D．

6

则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到2=个．

【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．

5． 【答案】D

【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：

圆心（2,1），半径2． 圆心到直线的距离为：

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。

圆

：

，所以直线与圆相交。

第 6 页，共 18 页

故答案为：D 6． 【答案】C

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学， 共有共有

=12种推荐方法； =12种推荐方法；

②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选， 故共有12+12=24种推荐方法； 故选：C．

7． 【答案】D

【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知， ∴f（

）=f（π﹣

，＜

）=f（

），

∵当x∈（﹣∵∴f（∴f（

＜

＜）＜f（

x

）时，f（x）=e+sinx为增函数

， ）＜f（）＜f（

）， ），

）＜f（

故选：D

8． 【答案】 D

【解析】解：由题意作出其平面区域，

将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距， 故由图象可知，

使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内， 故（1，1），（0，3），（而点（故选D．

，2）成立，

，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，

故不成立；

第 7 页，共 18 页

【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．

9． 【答案】C 【解析】

2试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数fx2axa在区间0,1上恒正，则

a0f(0)0，即，解得0a2，故选C. 2f(1)02aa0考点：函数的单调性的应用.

第 8 页，共 18 页

10．【答案】B

【解析】解：∵双曲线标准方程为其渐近线方程是整理得y=±x． 故选：B．

=0，

，

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．

11．【答案】A

2

【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o）， ∴正态曲线的对称轴是x=2 P（0＜X＜4）=0.8，

∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1， 故选A．

12．【答案】A

1

【解析】解：∵x+x﹣=3，

22122

则x+x﹣=（x+x﹣）﹣2=3﹣2=7．

故选：A．

【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】V

【解析】

【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可． 【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C， 所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：故答案为：

14．【答案】 x+4y﹣5=0 ．

第 9 页，共 18 页

【解析】解：设这条弦与椭圆+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，

22

把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x+4y=36，

得，

①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0， ∴k=

=﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1）， 即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0． 故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．

15．【答案】 24

【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得故答案为：24．

【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．

16．【答案】 （± ，0） y=±2x ． 【解析】解：双曲线c=

=2

，

，0），

的a=2，b=4，

=48种方法，

因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，

可得焦点的坐标为（±

渐近线方程为y=±x，即为y=±2x． 故答案为：（±

，0），y=±2x．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．

第 10 页，共 18 页

17．【答案】 ．

2

【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F， 过F斜率为

的直线与抛物线C相交于A，B两点，

直线AO与l相交于D， ∴直线AB的方程为y=联立

（x﹣），l的方程为x=﹣， ，解得A（﹣

，

，

P），B（，﹣

）

∴直线OA的方程为：y=

联立，解得D（﹣，﹣）

∴|BD|==，

∵|OF|=，∴ ==．

故答案为：．

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．

18．【答案】 2n﹣1 ．

n

【解析】解：∵a1=1，an+1=an+2， ∴a2﹣a1=2， a3﹣a2=22，

第 11 页，共 18 页

…

an﹣an﹣1=2n﹣1，

23n1

相加得：an﹣a1=2+2+2+2…+2﹣，

an=2n﹣1，

n

故答案为：2﹣1，

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）∵a0，b∴f(x)1， 211x1cosx，f(x)sinx，x0,. （2分） 222令f(x)0，得x.

6当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，

662所以f(x)的单调增区间是,，单调减区间是0,. （5分）

626第 12 页，共 18 页

若

110，a，10，则f()a又f()f(由零点存在定理，00,，使f(00))0，222所以f(x)在(0,0)上单调增，在0,上单调减.

22a1. 又f(0)0，f()24214a10，此时f(x)在0,上有两个零点； 故当a2时，f()2242241a10，此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时，f()242第 13 页，共 18 页

20．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

85. 25试

题解析：

第 14 页，共 18 页

（2）在三角形AMC中，由AM2,AC3,cosMAC2，得 3

CM2AC2AM22ACANcosMAC5， AM2MC2AC2，则AMMC， ∵PA底面ABCD,PA平面PAD，

∴平面ABCD平面PAD，且平面ABCD平面PADAD，

∴CM平面PAD，则平面PNM平面PAD，

在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连结NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角。 在RtPAM中，由PAAMPMAF，得AF所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为4585，∴sinANF， 52585．1 25

第 15 页，共 18 页

考点：立体几何证明垂直与平行． 21．【答案】

【解析】22．【答案】

【解析】（1）证明：∵AC=BC=∴△ABC为等腰直角三角形， ∵M为AB的中点， ∴AM=BM=CM，CM⊥AB， ∵EA⊥平面ABC， ∴EA⊥AC，

设AM=BM=CM=1，则有AC=

，AE=AC=

， ==

， ，

AB，

在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC=在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM=

222

∴EM+MC=EC，

∴CM⊥EM；

（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角， 则MC与平面EAC所成的角为45°．

第 16 页，共 18 页

23．【答案】＝【解析】A2＝设

＝

.由A2＝，得

.

，从而

解得x＝-1，y＝2，所以＝24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ） f′（x）=2ax﹣=经检验，a=（Ⅱ）

符合题意．

由已知f′（e）=2ae﹣=0，解得a=．

1）当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数． 2）当a＞0时，①若②若

＜e，即≥e，即0＜a≤

，则f（x）在（0，

）上是减函数，在（

，e]上是增函数；

，则f（x）在[0，e]上是减函数．

综上所述，当a≤时，f（x）的减区间是（0，e]，

第 17 页，共 18 页

当a＞（Ⅲ）当

时，f（x）的减区间是，增区间是． ）=1+lna；

时，由（Ⅱ）知f（x）的最小值是f（

易知g（x）在（0，e]上的最大值是g（e）=﹣4﹣lna； 注意到（1+lna）﹣（﹣4﹣lna）=5+2lna＞0， 故由题设知，

解得

＜a＜e2

．

故a的取值范围是（，e2）

第 18 页，共 18 页