初中三角函数练习试题和答案解析

初中三角函数练习题及答案

（一）精心选一选

1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（ ） A、缩小2倍 B、扩大2倍 C、不变 D、不能确定

412、在Rt△ABC中，∠C=90，BC=4，sinA=5，则AC=（ ）

0

A、3 B、4 C、5 D、6

13、若∠A是锐角，且sinA=3，则（ ）

A、0<∠A<30 B、30<∠A<45 C、45<∠A<60 D、60<∠A<90

00000000

13sinAtanA4、若cosA=3，则4sinA2tanA=（ ）

411 A、7 B、3 C、2 D、0

5、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则a：b：c=（ ）

2 A、1：1：2 B、1：1：2 C、1：1：3 D、1：1：2

6、在Rt△ABC中，∠C=90，则下列式子成立的是（ ）

A、sinA=sinB B、sinA=cosB C、tanA=tanB D、cosA=tanB 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）

0

2223 A．sinB=3 B．cosB=3 C．tanB=3 D．tanB=2

8．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）

11313133A．（2，2） B．（-2，2） C．（-2，-2） D．（-2，-2）

9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）

A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米

10．王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 （ ）

（A）503m （B）100 m （C）150m （D）1003m 11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30，

30 学习指导参考

A45DC图1

BWORD格式整理版

向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45，则该高楼的高度大约为（ ） A.82米 B.163米 C.52米 D.70米

12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）．

（A）30海里 （B）40海里 （C）50海里 （D）60海里 （二）细心填一填

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________． 3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．

4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇

624，

的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624cos15°=)

5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、

乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．

北 y

A 乙 北

B

第4题图

甲 O x

第5题图

第6O题图 6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B点后观察到原点在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．

22

7．求值：sin60°+cos60°=___________．

8．在直角三角形ABC中，∠A=90，BC=13，AB=12，那么tanB___________． 9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.28，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）

10．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为___________米（结果用含α的三角比表示）．

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0WORD格式整理版

43° 40° 52m 第9题图

D C B  A

B A 第10题图

C

(1) (2)

11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，•这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（•保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）

三、认真答一答

1，计算：sin30cos60cot45tan60tan30 分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；

12(2cos45sin90)(44)(21)2计算：

分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意分母有理化，

3 如图1，在ABC中，AD是BC边上的高，tanBcosDAC。 （1）求证：AC＝BD

sinC（2）若

12，BC1213，求AD的长。

图1

分析：由于AD是BC边上的高，则有RtADB和RtADC，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。

4如图2，已知ABC中CRt，ACm，BAC，求ABC的面积（用

的三角函数及m表示）

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图2

分析：要求ABC的面积，由图只需求出BC。

解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解.

5. 甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.

A 300 0

45

D E r

C B

6. 从A处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B处,观测铁塔的顶部的仰角是 45°,求铁塔高. D

300 450 A B C 分析:求CD,可解RtΔBCD或RtΔACD.

但由条件RtΔBCD和RtΔACD不可解,但AB=100

若设CD为x,我们将AC和BC都用含x的代数式表示再解方程即可.

7、如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD，斜坡BC的坡度为2:3，路基高

AE为3m，底CD宽12m，求路基顶AB的宽

BCAA

EDE C 学习指导参考

H

F D

B

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8.九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD3m，标杆与旗杆的水平距离BD15m，人的眼睛与地面的高度EF1.6m，人与标杆CD的水平距离DF2m，求旗杆AB的高度．

9.如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B，取ABD145，BD500米，D55。要使A、C、E成一直S线，那么开挖点E离点D的距离是多少？

图3

分析：在RtBED中可用三角函数求得DE长。

10 如图8-5，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?

分析：本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．

11、如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米

北

C B A D

E

东

图8-4

处，以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。

问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ 若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？

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12. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。

（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。

（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。

13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追

.）赶方向（精确到01（如图4）

图4

参考数据：

sin66.80.9191，cos66.80.3939sin67.40.9231，cos67.40.3846sin68.40.9298，cos68.40.3681sin70.60.9432，cos70.60.3322

分析：（1）由图可知ABO是直角三角形，于是由勾股定理可求。 （2）利用三角函数的概念即求。

14. 公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP=160m，

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一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？

N P A Q M

.

15、如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）

16、一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？

929（参考数据：sin21.3°≈25，tan21.3°≈5， sin63.5°≈10，tan63.5°≈北2）

17、如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C处．问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到1海里）

友情提示：以下数据可以选用：sin40≈0.28，cos40≈0.7660，

C东ABtan40≈0.8391，3≈1.732．

北

P Q

C 30 B

40 A 18、如图10，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷 学习指导参考

B A WORD格式整理版

达站测得AC的距离是6km，仰角是43．1s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是

6.13km，仰角为45.，解答下列问题：

（1）火箭到达B点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？ （2）火箭从A点到B点的平均速度是多少（精确到0.1km/s）？

19、经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得ACB68.

sin680.93,cos680.37,tan682.48.） （1）求所测之处江的宽度（；

 （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.

20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台图② 图① 高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66. 5°．

(1)求点D与点C的高度差DH；

B C (2)求所用不锈钢材料的总长度l(即AD+AB+BC，结果精确到0.1米)．(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)

答案

一、选择题

1——5、CAADB 6——12、BCABDAB 二、填空题

731，5 2，3 3，30°（点拨：过点C作AB的垂线CE，构造直角三角形，利

用勾股定理CE）

4．62（点拨：连结PP＇，过点B作BD⊥PP＇，因为∠PBP＇=30°，所以∠PBD=15°，

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624利用sin15°=，先求出PD，乘以2即得PP＇）

5．48（点拨：根据两直线平行，内错角相等判断）

46．(0，

433)（点拨：过点B作BC⊥AO，利用勾股定理或三角函数可分别求得

AC与OC的长）

22

7．1（点拨：根据公式sin+cos=1）

5ACtanBAB求出结果） 8．12（点拨：先根据勾股定理求得AC=5，再根据

9．4.86（点拨：利用正切函数分别求了BD，BC的长） 10．20sin（点拨：根据11．35

三，解答题可求得 1． 1； 2． 4

3．解：（1）在RtABD中，有tanBsinBCAB，求得BCABsin）

ADAD， RtADC中，有cosDAC BDACtanBcosDAC ADAD，故ACBDBDACAD12；可设AD12x，ACBD13x AC13由勾股定理求得DC5x， BC12BDDC18x12

22即x AD128

33BC4．解：由tanBAC

ACBCACtanBAC（2）由sinCACm，BACBCmtanSABC111ACBCmmtanm2tan222

5解过D做DE⊥AB于E

∵∠MAC=45° ∴∠ACB=45° BC=45

A 学习指导参考

300 450

E r D WORD格式整理版

在RtΔACB中,tgACBAB BCABBCtg4545(米)

在RtΔADE中,∠ADE=30°

tgADE3AE153 AEDEtg30453DECDABAE45153(米)

答:甲楼高45米,乙楼高45153米. 6 解:设CD=x

BC ∴BC=x(用x表示BC) CDAC在RtΔACD中,ctgDAC ACCDctgDAC3x

CD在RtΔBCD中，ctgDBC∵AC-BC=100 3xx100 (31)x100 ∴x50(31) 答:铁塔高50(31)米. 7、解：过B作BFCD，垂足为F

AEBF 在等腰梯形ABCD中 AD=BC CD iBC2:3 AE=3m DE=4.5m

AD=BC，CD,CFBDEA90 BCFADE CF=DE=4.5m EF=3m

BFEAEF90 BF//CD

四边形ABFE为平行四边形 AB=EF=3m

8解：CD⊥FB，AB⊥FB，CD∥AB △CGE∽△AHE

A

CGEGCDEFFD，即： AHEHAHFDBD31.62，AH11.9 AH215 学习指导参考

C E H

F D

B

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ABAHHBAHEF11.91.613.5(m)

9 解：A、C、E成一直线

ABD145，D55，BED90

在RtBED中，cosDDE，DEBDcosD BDBD500米，D55 DE500cos55米，

所以E离点D的距离是500cos55

o

10 解：在Rt△ABD中，AD16∠BAD=90°-65°45′=24°15′. ∵cos24°15′=

7， 28（海里）

4ADAD28， ∴AB30.71(海里). ABcos24150.9118CE， ACAC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里). 在Rt△ACE中，sin24°15′=

∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.(海里). ∵17.＜18.6，∴有触礁危险。

【答案】有触礁危险，不能继续航行。 11、（1）过A作ACBF，垂足为C

160

ABC30在RTABC中 AB=300km

FABC30AC150kmA城会受到这次台风的影响(2)

B60º A在BF上取D，使AD200km在BF上取E，使AEADAC150km,ad200km CD507km

DE1007kmv107kmht1007km10hkm107h答：A城遭遇这次台风影响10个小时。

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12 解：（1）在A处放置测倾器，测得点H的仰角为α 在B处放置测倾器，测得点H的仰角为β

（2）在RtHAI中，AIHItanDIHItanAIDIm

HItantanm

tantantantanmn

tantanHGHIIG 13解：设需要t小时才能追上。 则AB24t，OB26t

222（1）在RtAOB中，OBOAAB，(26t)10(24t)

222则t1（负值舍去）故需要1小时才能追上。 （2）在RtAOB中

AB24t0.9231 AOB67.4 OB26t即巡逻艇沿北偏东67.4方向追赶。 sinAOB（1）在RtAPB中，APAPsin3080100 14 解：

会影响

N B D 100 o 30 P 160 A Q M

（2）在RtABD中BD1008060（米）22

6022（分钟）1000 3.6

602分钟15 解： ∵∠BFC =30，∠BEC =60，∠BCF =90 ∴∠EBF =∠EBC =30 ∴BE = EF = 20

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在Rt⊿BCE中， BCBEsin6020317.3(m) 2答：宣传条幅BC的长是17.3米。

16 解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD． 设BD＝x海里，

CD在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，

BD∴CD＝x ·tan63.5°． A

CD在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝，

AD∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°．

2∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即 2x60x．

5解得，x＝15．

答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近

17 解：过B点作BEAP，垂足为点E；过C点分别作CDAP， CFBE，垂足分别为点D，F，则四边形CDEF为矩形． CDEF，DECF，…………………………3分

C

B D

QBC30，

CBF60．

AB20，BAD40，

AEABcos40≈200.7660≈15.3； BEABsin40≈200.2812.856≈12.9． BC10，CBF60，

CFBCsin60≈100.8668.66≈8.7； BFBCcos60100.55．

北

P D E 40Q

C 30 F B

A CDEFBEBF12.957.9． DECF≈8.7，

ADDEAE≈15.38.724.0．

由勾股定理，得ACAD2CD2≈24.027.92638.41≈25．

即此时小船距港口A约25海里

18 解（1）在Rt△OCB中，sin45.OB 1分 CB 学习指导参考

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OB6.13sin45.≈4.375（km） 3分

火箭到达B点时距发射点约4.38km 4分 （2）在Rt△OCA中，sin43OA 1分 CAOA6sin434.09(km) 3分

v(OBOA)t(4.384.09)1≈0.3(km/s) 5分

答：火箭从A点到B点的平均速度约为0.3km/s 19解：（1）在RtBAC中，ACB68， ∴ABACtan681002.48248（米）

答：所测之处江的宽度约为248米……………………………………………………（3分） （2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识 来解决问题的，只要正确即可得分 20 解：(1)DH=1.6×

3=l.2(米)．(2)过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM4是矩形．

MH=BC=1 ∴AM=AH-MH=1+1.2一l=l.2． 在RtAMB中，∵∠A=66.5° ∴AB=

AM1.23.0(米)．

cos66.50.40∴S=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0(米)．

答：点D与点C的高度差DH为l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米

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