陕西省西安安区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理(1)
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陕西省西安安区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理(1)
2016—-2017学年度第二学期期中考试
高二数学试题
考试时间:120分钟 第I卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1。已知(x+i)(1—i)=y,则实数x,y分别为( )
A.x=—1,y=1 B. x=-1,y=2 C。 x=1,y=1 D. x=1,y=2
2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A.588
B.480
C.450
D.120
( )
3.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
1111A. B. C。 D。 475.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n个样本点,
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陕西省西安安区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理(1)
直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以 下结论中正确的是( )
A.x和y的相关系数为直线l的斜率 B.x和y的相关系数在0到1之间
C.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l过点(x,y)
5.设an是公差为正数的等差数列,若a1a2a315,a1a2a380,则a11a12a13( )
A.120 B.105 C.90 D.75
6。 a、b为非零向量。“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7. (x110)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( ) 3xA.0 B.2 C.4 D.6
8.已知两定点A2,0,B1,0,如果动点P满足PA2PB,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A.9 B.8 C.4 D. 9.设a0,对于函数fxsinxa(0x),下列结论正确的是( )
sinxA.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
10。我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径。 “开立圆术\"相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d316V。 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.141599判断,下列近似公式中最
精确的一个是( )
3213300163V B.d2V C.dV D.dV A。d915711311.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意的x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式e·f
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x陕西省西安安区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理(1)
x(x)〉e+1的解集是( )
A.{x|x>0} B.{x|x〈0}
C.{x|x〈-1或x〉1} D.{x|x<-1或0〈x<1}
12.已知F是抛物线y2x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是( )
A.2 B.3 C.172 D.10 8第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4 小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)=-错误!x+4x-3lnx在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.
14.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .
15.设1〈x<2,则错误!,(错误!),错误!的大小关系是_______________.(用“〈”连接) 16.设O是坐标原点,AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦,M是弦AB的中点,kAB,kOM分别表示直线AB,OM的斜率。在圆x2y2r2中,kAB.kOM-1,在椭圆
x2y221(ab0)中,类比上述结论可得 。 2ab22
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17。(本小题满分10分) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-cosB=0。
(1) 求角B的大小;
(2) 若a+c=1,求b的取值范围
sinA)
18.(本小题满分12分)
如图5所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点。
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(Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?证明你的结论。
A1 D1
B1 C1 E
A D B C
19。 (本小题满分12分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数
小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
20.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x-anx-an=0有一根为Sn-1,
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n=1,2,3,….
(Ⅰ)求a1,a2;
(Ⅱ){an}的通项公式.
21.(本小题满分12分)
x2y2如图,椭圆22=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且
ab
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椭圆的离心率e=
32。 (Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段A F2的中点, 求证:∠ATM=∠AF1T。
22。 (本小题满分12分)已知函数f(x)(x1)lnxx1。 (Ⅰ)若xf'(x)x2ax1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x1)f(x)0 。
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陕西省西安安区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理(1)
长安一中2016——2017学年度第一学期期中考试
高二数学(理科)试题参
一、选择题
1-——-—6:DBCDBB 7—————-12.:BCBDAB
二、填空题
13. (0,1)∪(2,3) 14。36 15. (错误!)〈2
错误!<错误! 三、解答题
17。 (本小题满分10分)
解:(1)由已知得cos(AB)cosAcosB3sinAcosB0 即有sinAsinB3sinAcosB0
因为sinA0,所以sinB3cosB0,又cosB0,所以tanB3, 又0B,所以B3.
(2)由余弦定理,有b2a2c22accosB.
因为ac1,cosB1,有b23(a1)21224。 又0a1,于是有114b21,即有2b1。
kABkOMb2a27
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19。 (本小题满分12分)
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解:设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市\"( i=1,2,,13)。
根据题意, P(A1i)13,且AiAj(ij)。
(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则BA5A8,
所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)213。 (II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且
P(X=1)=P(A43∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=
13, P(X=2)=P(A41∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= 13,
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 513,
所以X的分布列为:
X012P4 131313故X的期望EX04131132121313。 (III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 20. 解:(Ⅰ)当n=1时,x2
-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1, 于是(a2
-a11-1)1(a1-1)-a1=0,解得a1=2.
当n=2时,x2
-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-错误!, 于是(a22-错误!)-a2(a2-错误!)-a2=0,解得a1=错误!. (Ⅱ)由题设(S2
n-1)-an(Sn-1)-an=0, 即 S2
n-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得
Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①
由(Ⅰ)知S1=a1=错误!,S2=a1+a2=错误!+错误!=错误!.
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由①可得S3
3=4
.
由此猜想Sn=错误!,n=1,2,3,…. ……8分 下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1时已知结论成立.
(ii)假设n=k时结论成立,即Sk=错误!,
当n=k+1时,由①得Sk+1=错误!,即Sk+1=错误!, 故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知Sn=错误!对所有正整数n都成立. ……10分于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=错误!-错误!=错误!, 又n=1时,a1=错误!=错误!,所以
{an}的通项公式an=错误!,n=1,2,3,…. ……12分
21。 (本小题满分12分)
解:(I)过点A、B的直线方程为x2y1.因为由题意得
x2y2a2b21, 有惟一解,
y12x1
即(b21a2)x2a2x2a2a2b240有惟一解,
所以a2b2(a24b24)0 (ab0),
故 a24b240.又因为 e3a22,即 b2a234, 所以 a24b2.从而得 a22,b212,
x2故所求的椭圆方程为 2y221.
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陕西省西安安区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理(1)
(II)由(I)得 c62,故F661(2,0),F2(2,0), 从而M(1,0).由 x22y221,
y12x1
解得x(1,11x21,所以 T2).
因为tanAFT621,又tanTAM1212,tanTMF26,得 21tanATM6261, 1126因此ATMAFT1. 22。 (本小题满分12分)
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