初中数学 因式分解(一)

因式分解（一）

1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．

2．因式分解结果的要求： 因式分解结果的标准形式 符合定义，结果一定是乘积的形式 既约整式，不能含有中括号 最后的因式的不能再次分解 单项式因式写在多项式因式的前面 相同的因式写成幂的形式 每个因式第一项系数一般不为负数 每个因式第一项系数一般不为分数 因式中不能含有分式 因式中不能含有无理数 常见典型错误或者不规范形式 (x)(x)(x) (x)(x) (x)(x) (x)x(x) x(x)(x)(x) x(x)(x) xxx xx x(x)(x)(x) 3．因式分解基本解法：

“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．

①提取公因式法

几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如：mambmcm(abc)

把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法

因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式(ab)(ab)ab 完全平方公式：(ab)aabb

(ab)aabb

立方差公式：(ab)(aabb)ab 立方和公式：(ab)(aabb)ab

三项完全平方公式：(abc)abcabacbc 完全立方公式：(ab)aababb

(ab)aababb

大立方公式：abcabc(abc)(abcabacbc)

模块一 因式分解的概念

（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）

A．ab(ab)abab B．xxx

xC．ab(ab)(ab) D．xxyxx(xy)

（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．

①xy(xy)；②m(m)；③(ab)(ab)；④(y)[(x)]；⑤⑥x(x)x；⑦y(x)(x)；⑧(xy)(xy)(xy)(xy)． xx；x例1

（1）C；

（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．

【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：

（1）因式分解是一种恒等变形．

（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．

模块二 提取公因式法 例2

（1）多项式xyxyxy的公因式是___________．

（2）多项式xyz(ab)xyz(ab)xyz(ab)公因式是_________．

（3）观察下列各式：①ab和ab；②m(ab)和ab；③(ab)和ab；④xy和xy，其中有公因式的是___________．

（1）xy；（2）xyz(ab)；（3）②③．

【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，

式子找公因式．

例3

因式分解：（1）axabxyacx

（3）(xy)(xy)(xy) （4）abxacxax

（5）(xy)(xy)(yx)(xy)

（6）ababab



（2）ab(xy)(bc)ab(xy)(bc)

这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：

（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式

提出来，使留下的式子没有公因式可以提取． 原式ax(axbyc)

（2）视“多”为一：把多项式（如xy，bc等）分别整个看成是一个字母．

原式2a2b(xy)(bc)(xy3ab33ab2c)

（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下

“1”，千万不要忽略掉．

原式(2xy)[(2xy)2(2xy)1](2xy)(4x24xyy22xy1) （4）提负数：原式ax(3bx3cx21)

（5）提相反数：原式(3x2y)[(2x3y)(2x3y)]6y(3x2y）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们

总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．

13322322原式(12ab24ab27ab)ab(4ab8ab9)．

44例4

因式分解（随堂练习）：（1）xyxyzxy

（2）a(xa)b(ax)(xa) （3）x(x)a(x)(x)

（4）x(mx)(my)m(mx)(my)

（5）bnbn（n是正整数）

（6）p(x)p(x)p(x)

（1）原式=xy(xz)；

（2）原式=a(xa)b(xa)(xa)(xa)(ab)； （3）原式(x)(xa)(x)(xa)；

（4）原式(mx)(my)；

（5）原式bn(bn)；

（6）原式p(x)[(x)p]p(x)(xp)． 【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．

模块三 公式法 例5

因式分解：（1）(x) （2）(mn)(mn)

（3）(ab)(ab) （4）(ab)(ab) （5）xxyy （6）aa （7）(cab)ab

（1）(x)(x)；

（2）原式[(mn)(mn)][(mn)(mn)]

(mnmn)(mnmn) (mn)(mn)；

（3）原式=(ab)(ab)；

（4）原式(abab)(abab)

(ab)(ab)(ab)(ab)(ab )；

（5）原式(xy)；

（6）原式(aa)(a)；

（7）原式=(cab)(cab)(cab)(cab)．

例6 因式分解（随堂练习）：（1）(ab) （2）xyxy

（3）abc （7）mm

（4）(ab)(ab)

（5）(xy)z(xy)z （6）(xy)xy

（1）原式(ab)(ab)；

（2）原式xy(xy)xy(xy)(xy)；

（3）原式(cab)(cab)(cab)(cab)(cab)； （4）原式(abab)(abab)

(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)；

（5）原式=(xyz)； （6）原式(xy)(xy)；

（7）原式(m)(m)(m)(m)(m)． 【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．

例7

因式分解：（1）x （2）y

（3）xxy （4）ab （5）ab

（1）原式(x)(xx)； （2）原式(y)(yy)；

（3）原式x(xy)x(xy)(xxyy)； （4）原式(a)(b)(ab)(aabb)； （5）原式(a)(b)(ab)(ab)

(ab)(ab)(aabb)(aabb)

另解：

原式(a)(b)(ab)(aabb)

(ab)(ab)(aabbab) (ab)(ab)(aabb)(aabb)；

【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式． 例8 因式分解：（1）abcbccaab

（2）xxyxyy

（1）原式(abc)；（2）原式(xy)．

【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．

复 习 巩 固

模块一 因式分解的概念

演练1

下列因式分解正确的是（ ）

A．ab(ab)(ab)(ab) B．mmm(m)

C．xyxyxy(xy) D．m(m)(m)

D．

模块二 提取公因式法

演练2

因式分解：（1）abcabab （2）aaa （3）x(ax)ax

（4）(p)q(p)

（5）(ab)(mp)(ab)(mp） （6）(xy)(xy)(xy)

（1）原式ab(acab)； （2）原式=a(aa)； （3）原式(ax)(x)； （4）原式(p)(pq)； （5）原式=(mp)(ab)；

（6）原式(xy)[(xy)(xy)]

(xy)(xyxyxy)．

演练3

已知bca，求a(abc)bcabc(bca)的值．



原式(abc)(abc)(abc)．

∵bca，∴abc，则原式．

模块三 公式法

演练4 （3）xy

mn （2）m(xy）因式分解：（1）y(zx)

（4）xx

（6）(x)x(x)x

（5）(xx)(xx) （7）ananan

（1）原式=(yzx)(yzx)；

（2）原式=m(xyn)(xyn)；

（3）原式=(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)

(xy)(xy)(xy)(xy)；

（4）原式x(x)x(x)(x)x(x)(x)(x)； （5）原式(x)(xx)(x)(x)x(x)x(x)(x)； （6）原式(xx)(x)；

（7）原式an(aa)an(a)．

演练5

（2）abb

（3）xyy

因式分解：（1）abc

（1）原式(abc)(abcabc)；

（2）原式b(ab)b(ab)(aabb)； （3）原式y(xy)y(xy)(xxyy)．