高中数学函数解题技巧方法总结(高考)47928

1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法：  分式中的分母不为零；  偶次方根下的数（或式）大于或等于零；  指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。   

正切函数ytanx xR,且xk,k

2余切函数ycotx xR,且xk,k 反三角函数的定义域

，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是

值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，

值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。 （答：a，a）

复合函数定义域的求法：已知yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，可由mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域。

1例 若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为 。

2111分析：由函数yf(x)的定义域为,2可知：x2；所以yf(log2x)中有log2x2。

222解：依题意知：

1log2x2 2 解之，得 2x4 ∴ f(log2x)的定义域为x|2x4

4、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1例 求函数y=的值域

x2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=x2-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x4例 求函数y=值域。

5x65、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

ex12sin12sin1例 求函数y=x，y，y的值域。

e11sin1cos6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=2x5log3x1（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+x1的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上， 例求函数y=

(x2)2+

(x8)2的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=

x26x13+

x24x5的值域

2解：原函数可变形为：y=

(x3)(02)+

2(x2)2(01)

2上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ymin=∣AB∣=故所求函数的值域为[43，+∞）。 注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法

(32)(21)22=43，

利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

2例：

x2(x0)10.倒数法 x有时，直接看不出函数的1111223值域时，把它倒过 =xxx3xxx3来之后，你会发现另一番境况

(应用公式a+b+c33abc时，注意使3者的乘积变成常数）例 求函数y=

x2的值域 x3多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯

我当年的错误，与到手的满分失之交臂

6. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：

(2004.全国理)函数yx11(x1)的反函数是（ B ） A．y=x－2x+2(x<1) C．y=x2－2x (x<1)

2

B．y=x－2x+2(x≥1) D．y=x2－2x (x≥1)

2

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.

我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？ 7. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x） 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称 ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04. 上海春季高考）已知函数f(x)log3(2)，则方程f1(x)4的解x__________. 8 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

4xf(x1)f(x2)f(x1)可以变形为求的正负号或者与1的关系

x1x2f(x2)(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与

1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

∴……） f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g(9. 如何利用导数判断函数) ) )] x) x) 都是的单调性？ 正数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 如：已知a0，函数f(x)x3ax在减 增 减 / / 值是（ ） 减 减 增 减 减 A. 0

∴a的最大值为3）

10. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 11.判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

三、 复合函数奇偶性 f(g) g(x) 奇 奇 偶 奇 偶 奇 f[g(x)] 奇 偶 偶 f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 12. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这

f(x)f(xt)0个函数周期2t. 推导：f(xt)f(x2t)0f(x)f(x2t)，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 如：

13. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y) f(x)与f(x)的图象关于x轴对称（x,y）,(x,-y)

f(x)与f(x)的图象关于原点对称（x,y）,(-x,-y)

f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 联想点

（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 联想点（x,y）,(2a-x,y) f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 联想点（x,y）,(2a-x,0)

（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。） 注意如下“翻折”变换：

14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ （1）一次函数：ykxbk0

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

联

想

点

联

想

点

的双曲线。

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

15. 你在基本运算上常出现错误吗？ 16. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1 几类常见的抽象函数

1. 正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）

2. 幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（

xf(x)）＝ yf(y)3. 指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝

f(x) f(y)4. 对数函数型的抽象函数

x）＝ f（x）－f（y） yf（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（5.

三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝

f(x)f(y) 1f(x)f(y)f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝

f(x)f(y)1

f(x)f(y)例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，

2

f(3)＝ 5，求不等式 f（a－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1]. （1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围. 分析：（1）令y＝－1； （2）利用f（x1）＝f（

x1x·x2）＝f（1）f（x2）； x2x2 （3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求： （1）f（0）；

(2)对任意值x，判断f（x）值的符号. 分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0. 例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1） f（1）；

（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝

g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b， 进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ①

x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)1；

f(x2)f(x1)② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0. 试问： （1） f（x）的奇偶性如何？说明理由； （2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数； （3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）， （1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0； （2） 求证：f（x）为偶函数；

1（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.

2分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0） （1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1； （2） 令y＝ －1； （3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证： （1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1； （2） f（x）在x∈R上是减函数. 分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x； （3） 受指数函数单调性的启发： 由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝

f(x)， f(y)进而由x1＜x2，有

f(x1)＝f（x1－x2）＞1. f(x2)练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ） （A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对 2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）

1（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x）

x（C）f（

x）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N） y3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ） （A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）

（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)，则f（x）为（ ）

1f(x1)f(x2)（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）

（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 参考答案：

1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B

函数典型考题

1.若函数f(x)(m1)x(m2)x(m7m12)为偶函数，则m的值是 （B ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递减，求满足

22f(x22x3)f(x24x5)的x的集合．

．解：

f(x)在R上为偶函数，在(,0)上单调递减

f(x)在(0,)上为增函数 又f(x24x5)f(x24x5)

x22x3(x1)220，x24x5(x2)210

由f(x2x3)f(x4x5)得 x22x3x24x5

22x1 解集为{x|x1}.

3.若f(x)是偶函数，它在0,上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ C ）

A. (

11，1) B. (0，)1010(1，) C. (

1，10) D. (0，1)10(10，)

4.若a、b是任意实数，且a>b,则 （ D ）

a11A. a2>b2 B. <1 C. lgab >0 D.<

b22abc5.设a,b,c都是正数，且346，则下列正确的是 （B ）

ab(A) 1c1a122112212babab (B) C (C) C (D) 2cab

6．对于函数fxaxbxb1（a0）．

2（Ⅰ）当a1,b2时，求函数f(x)的零点；

（Ⅱ）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围． 7. 二次函数yaxbxc中，ac0，则函数的零点个数是（ C ）

2A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定

8．若函数fxxaxb的两个零点是2和3,则函数gxbxax1的零点是（D）

22A．1 和2 B．1 和2 C．

1111和 D．和 23239．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是

奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0（x∈R），其中正确命题的个数是（ D ） A 4 B 3 C 2 D 1

x210.已知函数f(x-3)=lg2,

x62

(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；

(3)求f(x)的反函数; (4)若f[(x)]=lgx,求(3)的值。

x2(x23)3x30得x2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+）解：（1）∵f(x-3)=lg2,∴f(x)=lg,又由2。

x6x3(x3)32

（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。

3(10y1)3(10x1)x3-1

(x0) （3）由y=lg,x>3,解得y>0, ∴f(x)=,得x=yx101x3101(4) ∵f[(3)]=lg

(3)3(3)3lg3,∴3，解得(3)=6。

(3)3(3)311.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ C ）

exex1x（A）y=（B）y=lg（C）y=-x3 （D）y=x

21x零点问题