函数单调性和最值专题

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相对应函数的哪些变化规律：

y

-1 -1 1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x 1 随x的增大，y的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○

3 函数图象是否具有某种对称性？ ○

2、从上面的观察分析，能得出什么结论？

不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 【判断函数单调性的常用方法】 1、根据函数图象说明函数的单调性． 例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以 及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

【针对性练习】

下图是借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间．

2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 例2、证明函数yx

例3、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是

减函数？试证明你的结论．

1在（1，+∞）上为减函数． x例4、已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取

值范围．

例5、判断一次函数ykxb(k0)单调性.

例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．

【归纳小结】

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 〖针对性练习〗

11.函数y的单调区间是（ ）

xA．（-，+） B.（-，0） （1，，） C.（-，1） 、（1，） D. （-，1）

（1，）

2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).

3

C．yx24x5 D．y3x28x10 x

A．y3x2 B．y

3．函数yx22x3的增区间是（ ）。

1(,3) D．(1,) 3 A．[-3，-1] B．[-1,1] C．1a4、已知函数f(x)x

1判断f(x)在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。x，

5、定义在（－1，1）上的函数f(x)是减函数，且满足：f(1a)f(a)，求实数a的取值范围。

6、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减

函数？试证明你的结论．

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆ 1、定义：

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，所以变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为

y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)

2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

函数 单调性

ug(x) 增 增 减 减 yf(u) 增 减 增 减

yfg(x) 增 减 减 增

例1、已知yf(u)u1,ug(x)3x2，求yfg(x)的单调性。

例2、已知yf(u)u21,ug(x)x1，求函数yfg(x)的单调性。

〖针对性训练〗

1、已知yf(u)u21,ug(x)x1，求函数yfg(x)的单调性。

2、已知f(x)82xx2，如果g(x)f(2x2)，那么g(x)（ ） A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数 C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数

三、函数的最大（小）值 1．函数最大（小）值定义

1）最大值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0I，使得f(x0)M． 那么，称M是函数yf(x)的最大值．

2）最小值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0I，使得f(x0)M． 那么，称M是函数yf(x)的最小值．

注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，f(x)M(f(x)m)．

2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．

①配方法 ②换元法 ③数形结合法

例1、求函数yx22x3当自变量x在下列范围内取值时的最值．

①1x0 ② 0x3 ③x(,)

例2、求函数yx1x的最大值．

都有

例3、求函数y2x1在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

【针对性练习】 一、选择题

1．函数y＝4x－x2，x∈[0，3]的最大值、最小值分别为( )

(A)4，0 (B)2，0 (C)3，0 (D)4，3

2．函数y1xx2的最小值为( )

(A)12 (B)1

(C)2 (D)4

3、函数y3x2(x2) 在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（A. 37,0 B.33332,0 C. 2,7 D. 最大值7，无最小值。

二、填空题

1．函数y＝2x2－4x－1 x∈(－2，3)的值域为______． 2．函数y2xx2的值域为______．

3、函数yx24x5(x0,3的值域是 。

4、函数y2x3134x的值域是 。

三、解答题

1．求函数f(x)2x,x0的值域．x,x0

）

2．设函数f(x)＝(x＋a)2对于任意实数t∈R都有f(1－t)＝f(1＋t)．

(1)求a的值；

(2)如果x∈[0，5]，那么x为何值时函数y＝f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值．

3．如图，在边长是a的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值．

4．已知函数y＝－3x2＋2ax－1，x∈[0，1]，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求

f(a)的最大值．