2019-2020年高中物理教科版必修2教学案：第三章 第3节 万有引力定律的应用(含解析)

2019-2020年高中物理教科版必修2教学案：第三章 第3节 万有引力定律的应用(含解析)

1.根据万有引力理论预言了哈雷彗星再次出现的时间，推

算出未知天体的轨道。

2．利用地球表面物体的重力等于地球对物体的万有引力，

GMm

即mg＝2，可以计算出地球的质量。

R

3．利用万有引力提供向心力，可以计算中心天体的质量。

4

利用M＝πR3ρ，可以计算中心天体的平均密度。

3

一、预言彗星回归

1．哈雷根据万有引力理论，对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间。

2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了运动经过近日点的时间。

3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的。 二、预言未知星体

1．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星——海王星。

2．1930年，汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载发现了冥王星。 三、计算天体质量 1．测量地球的质量

若不考虑地球的自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力。即有MmgR2

mg＝G2，所以地球质量为M＝G。

R

2．计算太阳的质量

(1)基本思路：行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是它们间的万有引力提供的。测量出环绕周期T和环绕半径r。

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mSm4π2r34π2

(2)公式：G2＝mr2，由此可得太阳质量mS＝。

rTGT2

1．自主思考——判一判

(1)利用万有引力理论，可以预言哈雷彗星再次出现的时间。(√)

(2)天王星、海王星、冥王星都是先理论预言其存在，后观测发现的行星。(×) (3)天王星是人们经过长期的太空观测而发现的。(√) (4)牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量。(×)

(5)只要测量出行星的公转周期及它和太阳间距离，就能计算出太阳的质量。(√) 2．合作探究——议一议

(1)如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？如果能，还需要知道哪些物理量？ G′GMG′R2

提示：能。若用G′表示重力，设自身质量为m，则重力加速度g＝＝2，故M＝，

mmGR所以还需知道地球半径R、引力常量G就可算出地球质量M。

(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？

图3-3-1

2π2Mm4π2r3提示：能求出地球的质量。利用G2＝mTr求出的质量M＝为中心天体的质量。做

rGT2

圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。

天体质量和密度的计算

1．天体质量的计算

(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近

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MmgR2

似等于天体对物体的引力，得mg＝G2，解得天体质量为M＝G，因g、R是天体自身的参量，

R故称“自力更生法”。

(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星，计算中心天体的质量，常见的情况：

v2rv2Mm

G2＝mr⇒M＝G rMmr3ω2

2

G2＝mωr⇒M＝G r2π2Mm4π2r3G2＝mTr⇒M＝ rGT22．天体密度的计算

若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝

M43

πR3

。

4π2r33πr3

将M＝代入上式得：ρ＝23。

GT2GTR

特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝

[典例] 我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员就会登上月球。假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为θ，如图3-3-2所示。将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，则月球的密度为( )

图3-3-2

3v0tan θ

A. 4πGRt3v0tan θC. 2πGRt

3v0tan θB. πGRtv0tan θ D. πGRt

3π。 GT2

[思路点拨] 利用平抛运动的规律可确定月球表面的重力加速度g，然后利用“自力更生法”求出月球的质量，从而得到月球的密度。

gt2

[解析] 根据平抛运动规律有MN·sin θ＝，MN·cos θ＝v0t，两式相比得月球表面的重力加速

22v0tan θGMmM度g＝，月球对物体的万有引力等于物体的重力，有＝mg，月球的密度ρ＝，解

tR24πR3

3

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3v0tan θ得ρ＝，C正确。

2πGRt

[答案] C

(1)计算天体质量和密度的公式，既可以计算地球质量，也可以计算太阳等其他星体的质量，需明确计算的是中心天体的质量。

(2)要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，只有在近“地”轨道运行时才有r＝R。

1.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道。观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图3-3-3所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )

图3-3-3

l3A. Gθt2lC. Gθt2

l3θ B.2

Gtl2

D. Gθt2

l

解析：选A 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝θ，根据转过的角度θ

和时间，可得ω＝t，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，Mml3

2

可得G2＝mωr，由以上三式可得M＝2，A正确。

rGθt

2．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。

(1)则该天体的密度是多少？

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

2π2Mm

解析：(1)由万有引力提供卫星的向心力有G2＝mT1R， R4根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3

3

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M4π2R33π

故该天体的密度为ρ＝V＝＝。

43GT122

GT1·πR

3(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有 4π2

G＝m2(R＋h)，

T2R＋h2

Mm

4π2R＋h3

M＝，

GT22

M4πR＋h3πR＋hρ＝V＝＝。

43GT22R32

GT2·πR

33πR＋h33π

答案：(1) (2)

GT12GT22R3

天体运动的分析与计算 1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。

2．常用关系

v2Mm4π2

2

(1)G2＝ma＝m＝mωr＝m2r。

rrT

Mm

(2)忽略自转时，mg＝G2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2

R＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。

3．四个重要结论

设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 v2Mm

(1)由G2＝mr得v＝

rMm

(2)由G2＝mω2r得ω＝

r

GMr，r越大，v越小。 GM，r越大，ω越小。 r3

r3，r越大，T越大。 GM

2

3

3

2π2Mm

(3)由G2＝mTr得T＝2πr

MmGM

(4)由G2＝ma向得a向＝2，r越大，a向越小。

rr

[典例] 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”。

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1

该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。

480假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )

360

A．轨道半径之比约为

480B．轨道半径之比约为

360 480233

60×4802 60×480

C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为 [思路点拨]

(1)“超级地球”绕母星的运动规则与地球绕太阳的运动规则相同。 (2)绕行天体的向心加速度由中心天体对它的万有引力产生。

3GMT22π2Mm[解析] 由公式G2＝mTr，可得通式r＝，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，地

r4π2

r13M1T12360Mm

球轨道半径为r2，则＝·2＝，从而判断A错，B对；再由G＝ma得通式a＝

r2M2T24802r23Ma1M1r223M1T24G2，则＝·2＝·4＝ 60×4804，所以C、D皆错。 ra2M2r1M2T1

[答案] B

(1)分析该类问题的关键是抓住“万有引力提供向心力”这一主线。

(2)定量计算时，除抓住以上主线外，有时要借助于“黄金代换式”才能顺利解决问题。

1.研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图3-3-4所示，与地球相比较，则下列说法中正确的是( )

图3-3-4

A．火星运行速度较大 B．火星运行角速度较大 C．火星运行周期较大

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D．火星运行的向心加速度较大

v2Mm4π2

2

解析：选C 根据万有引力提供向心力G2＝m＝mωr＝m2r＝ma，得v＝

rrTGM

，T＝2π r3

GM

，ω＝r

r3GM

，a＝2，由此可知，轨道半径越大，周期越大，但速度、角速度、加速度GMr

越小，因火星的轨道半径比地球的轨道半径大，故火星的周期大，但火星的速度、角速度、加速度都较小，故C正确，A、B、D错误。

2．已知地球半径R＝6.4×106 m，地面附近重力加速度g＝9.8 m/s2，计算在距离地面高为h＝2.0×106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。

解析：根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即 v2Mm

G＝m。 2R＋hR＋h知v＝

GM

。① R＋h

由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力， Mm′

即G2＝m′g，得GM＝gR2。②

R由①②两式可得 v＝

gR2

＝6.4×106× R＋h

9.8

m/s

6.4×106＋2.0×106

＝6.9×103 m/s。 2πR＋h

运动周期T＝

v

2×3.14×6.4×106＋2.0×106＝ s

6.9×103＝7.6×103 s。

答案：6.9×103 m/s 7.6×103 s

宇宙双星问题

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1．宇宙双星：相距较近仅在彼此的引力作用下围绕它们的连线上的某一固定点(圆心)做匀速圆周运动的两颗恒星。

2．双星特点

(1)两颗恒星的向心力大小相等，都是由相互作用的万有引力提供。 (2)两颗恒星的角速度、周期相同。

[典例] 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者相距L。求：

(1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比； (3)双星的运动周期。

[思路点拨] 处理双星问题的依据仍是万有引力充当向心力，但需充分利用双星模型的特点，并将其作为附加条件才能分析和求解相关问题。

[解析] 如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力，有m1m24π2

G2＝m12R1① LT

m1m24π2

G2＝m22R2② LT

R1m2(1)由①②两式相除，得＝。

R2m1v1R1m22πR

(2)因为v＝，所以＝＝。③

Tv2R2m1

(3)将①式消去“m1”，②式消去“m2”后相加得 Gm1＋m24π2

＝2(R1＋R2)④ L2T又由几何关系知R1＋R2＝L⑤ 所以由④⑤两式可得T＝2π m2m2

[答案] (1) (2) (3)2π

m1m1

L3。

Gm1＋m2L3

Gm1＋m2

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双星模型的两个重要结论

(1)双星模型中，星体运动的轨道半径和质量成反比，即r1∶r2＝m2∶m1，双星系统的转动中心离质量较大的星体近。

(2)双星系统的转动周期与双星的距离L、双星的总质量(m1＋m2)有关，即T＝2π

1.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图3-3-5所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则( )

图3-3-5

A．它们的角速度大小之比为2∶3 B．它们的线速度大小之比为3∶2 C．它们的质量之比为3∶2 D．它们的周期之比为2∶3

m1m2m1m2解析：选B 双星的角速度和周期都相同，故A、D均错；由G2＝m1ω2r1，G2＝m2ω2r2，

LL解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C错误。由v＝ωr知，v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，B正确。

2．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的质量之和。

解析：设两星质量分别为M1、M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为l1、l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：

2π2M1M2对M1：G2＝M1Tl1， R4π2R2l1所以M2＝；

GT2

2π2M1M2

对M2：G2＝M2Tl2， R4π2R2l2所以M1＝；

GT2

。

Gm1＋m2

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而R＝l1＋l2，

所以，两星的质量之和：

4π2R2l24π2R2l14π2R3

M＝M1＋M2＝＋＝。

GT2GT2GT24π2R3

答案：

GT2

1．下列说法正确的是( )

A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的

D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星

解析：选D 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C错误，D正确。

2．为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量，已知地球的半径为R，地球的质量为m，日地中心的距离为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为( )

4π2mr3

A.22 TRg4π2mgR2C.32

rT

T2R2g B.23

4πmrr3T2

D.2

4πmgR2

M日mmm′4π2

解析：选A 地球绕太阳运动有G2＝mr2，对地球表面的物体有m′g＝G2，联立

rTR4π2mr3

解得M日＝22，A正确。

TRg

3．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )

3gA. 4πRG

3g B. 4πR2G

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gC.RG g D.2

RG

Mm

解析：选A 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G2，又地球质量M＝

R3g4

ρV＝πR3ρ。代入上式化简可得ρ＝，A正确。

34πRG

4.如图1所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )

图1

v1A.＝v2

r2

r1

v1

B.＝

v2

r1 r2

v1r22C.＝ v2r1v1r12 D.＝

v2r2

GM

r。 所以对

v2GMm

解析：选A 对人造卫星，根据万有引力提供向心力2＝mr，可得v＝

rv1

于a、b两颗人造卫星有＝

v2

r2

，故选项A正确。 r1

5．(多选)科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t。若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)。则由以上物理量可以求出( )

图2

A．月球到地球的距离 C．月球受地球的引力

B．地球的质量 D．月球的质量

解析：选AB 根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，A正确；又因知2π2Mm4π2r3道月球绕地球旋转的周期T，根据G2＝mTr可求出地球的质量M＝，B正确；根据题中

rGT2数据只能计算中心天体的质量，D不对；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，C也不对。

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6．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为( )

A.pq3 C.

p

q3

B. D.

1 pq3q3p

解析：选D 火星探测器绕火星做圆周运动过程中，火星对探测器的万有引力提供向心力，即2π2M1m

G2＝mR1T1⇒T1＝ R1

R13M2

＝ R23M1

7．(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是( )

A．若v与R成正比，则环是连续物 B．若v与R成反比，则环是连续物 C．若v2与R成反比，则环是卫星群 D．若v2与R成正比，则环是卫星群

解析：选AC 若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，故v与R成正比，v2MmM

A对，B错。若环是行星的卫星群，则由G2＝mR可得v2＝GR，即v2与R成反比，C对，D错。

R

8．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )

3πg0－gA.2 GTg03πC.2 GT

3πg0

B.2

GTg0－g3πg0

D.2g

GT

4π2R13，同理可知飞船绕地球的周期T2＝ GM1

4π2R23T1

，所以＝ GM2T2

q3，D项正确。 p

2π2MmMm

解析：选B 物体在地球的两极时，mg0＝G2，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，以TRR2

3πg0

上两式联立解得地球的密度ρ＝2。故选项B正确，选项A、C、D错误。

GTg0－g

9．(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运

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动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( )

A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径

vGMm

解析：选AD 根据线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力，则有2

ωrv2v3

＝mr，整理可得M＝Gω，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知2π2GMm4π2r3道卫星的运行周期和轨道半径，则2＝mTr，整理得M＝，故选项D正确。

rGT2

10．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )

A.C.

n3T k2n2kT

B. D.

n3T knkT

解析：选B 设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，两星之间的距离为L。

由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同。由向心力公式可得：

m1m24π2

对m1：G2＝m12R1…①

LTm1m24π2

对m2：G2＝m22R2…②

LT又因为R1＋R2＝L，m1＋m2＝M 由①②式可得：T＝2π

L3 GM

所以当两星总质量变为kM，两星之间的距离变为原来的n倍，圆周运动的周期为T′＝2πnL3GkM＝n3kT，故A、C、D错误，B正确。

11．经过近7年时间，在太空中穿行35亿千米后，美航天局和欧航天局合作研究出的“卡西

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尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族，这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号土星探测器进入环绕土星上空的圆轨道飞行，已知土星半径为R，探测器离土星表面高度为h，环绕n周的飞行时间为t。求土星的质量M和平均密度ρ(球4πR3体体积公式V＝)。

3

解析：土星对探测器的引力提供探测器运行的向心力： Mm4π2G＝m2(R＋h)，

TR＋h2t

探测器运行的周期：T＝n，

4π2n2R＋h3

联立以上二式解得土星的质量为M＝，

Gt24πR3

由M＝Vρ和V＝联立解得土星的平均密度ρ为

33πn2R＋h3ρ＝。

Gt2R3

4π2n2R＋h33πn2R＋h3

答案：

Gt2Gt2R3

12．假想科学家在宇宙中观测到一个星球以角速度ω自转，如果阻止它离心“瓦解”的力是万有引力，这个星球的密度应该有一个最小值，写出这个最小值的表达式。蟹状星云中心天体的自转周期为0.33 s，则其是否可能是一种白矮星？(白矮星的密度是109～1011 kg/m3)

解析：设该星球的质量为M，半径为R，取该星球表面赤道处的一小物体作为研究对象，设其Mm

质量为m。万有引力提供向心力，为确保小物体m不飘离该星球，则有G2≥mω2R①

R

R3ω2

即M ≥

G

Mmin3ω2

所以星球的最小密度ρmin＝＝②

434πGπR3蟹状星云中心天体的自转周期T＝0.33 s 2π

角速度ω＝T③

将③代入②得蟹状星云中心天体的最小密度 ρmin≈1.3×1012 kg/m3

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由于以上密度值不在白矮星的密度范围内，所以不是白矮星。 3ω2

答案：ρmin＝ 否

4πG

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