高等代数试卷及答案一

高等代数试卷及答案一

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

一、填空题（共10题，每题2分，共20分）。

1．多项式可整除任意多项式。

2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 3．在n阶行列式D中，0的个数多于个是D0。 4．若A是n阶方阵，且秩An1，则秩A。 5．实数域上不可约多项式的类型有种。

6．若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)(k1)的重因式。 7．写出行列式展开定理及推式。 8．当排列i1i2in是奇排列时，则i1i2in可经过数次对换变成12n。

x1x2x319．方程组ax1bx2cx3d，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。

a2xb2xc2x3d221ax4bx21，则a，b。 10．若(x1)2二、判断题（共10题，每题1分，共10分）。

1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（） 3．设12n是Pn中n个向量，若Pn，有12n,线性相关，则

12n线性相关。（）

4.设是某一方程组的解向量，k为某一常数，则k也为该方程组的解向量。（）5．若一整系数多项式f(x)有有理根，则f(x)在有理数域上可约。（） 6秩(AB)＝秩A，当且仅当秩B0。（）

7．向量线性相关它是任一向量组的线性组合。（）

8．若f(x),g(x)P[x]，且(f(x),g(x))1，则(f(x)g(x),f(x)g(x))1。（）9．f(x),g(x)Z[x]，且g(x)为本原多项式，若f(x)g(x)h(x)则h(x)Z[x]。（）

10．若A,B,C,DPnn，则

ABCDADBC。（）

三、选择题（共5题，每题2分，共10分）。 1．A为方阵，则3A（）

r3AA3nAn3A若既约分数是整系数多项式f(x)的根，则下面结论那个正确（）

ssrf(1),srf(1).srf(1),srf(1) srf(1),srf(1).srf(1),srf(1)

3.n阶行列式D，当n取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（） A.4k或4k2B.4k或4k1C.4k或4k3D.4k1或4k2

a11x1a12x24．含n有个未知量n1个方程的线性方程组an1x1an2x2axaxn1,11n1,22a11（）条件是行列式

a1nxnb1annxnbnan1,nxnbn1有解的

a12a1nannan1,nb1bnbn10。

an1an2an1,1an1,2A.充要B.必要C.充分必要D.不充分不必要 5．f(x)anxnan1xn1结论正确的是（）

a1xa0Z[x]，若既约分数

p是f(x)的有理根，则下列qpan,qa0pan,qanpa0,qanpa0,qa0四、计算题（共4题，每题7分，共28分）。 1．设f(x)x43x3x24x3，g(x)3x310x22x3

求(f(x),g(x))，并求u(x),v(x)使(f(x),g(x))u(x)f(x)v(x)g(x)。 2．计算下列n阶行列式

3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。

0124．设A114，判断A是否可逆，若可逆，求A1

210五、证明题（共4题，每题8分，共32分）。

1．设A,B为nn矩阵，如果AB0，那么秩(A)＋秩(B)n。 2．如果a是f(x)的一个k重根，证明a是g(x)一个k3重根。

cos1012cos1000,s(1)

xa[f(x)f(a)]f(x)f(a)的2012cos0000002cos1000012cos1000cosn 012cos3．证明：Dn0004．设向量组1,2,的秩分别为r1,r2,r3，证明max{r1,r2}r3r1r2。

答案

一．1．零次2.充分n2n单

7．ai1Aj1ai2Aj2Dij8.奇 ainAjn0ij9.a,b,c互不相同10.a1,b2 二．1－56－10 三．CCBBC 四．1．(f(x),g(x))x3；u(x)x1,v(x)x2x

312555a1b1n2．D1n(a1a2)(b1b2)n2

0n33．一般解为x13x3x42，x3,x4为自由未知量。 x272x22x432基础解系为17212，210。

01114．A可逆，且A12421

32112五．1．证：令B(B1,B2,,Bn)，

ABi0,i1,2,,nBi是AX0的解。

秩(B1,B2,,Bn)＝秩Bn秩A。

秩A＋秩Bn。

2．证：g(a)g(a)g(a)0且a是g(x)的k1重根，根。

3．提示：Dn按最后一行展开，得证。 4．提示：取极大无关组，得证。

a是g(x)的k3重

