【数学】湖南省株洲市第二中学2016届高三上学期第一次月考(理)

株洲市第二中学2016届高三上学期第一次月考

数学试卷（理）

时量：120分钟 分值：150分

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U＝{0，1，2}且CUA＝{2}，则集合A的真子集共有（ ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．命题p：x0,xlnx0，则p是（ ） A.x0,xlnx0 B.x0,xlnx0 C.x0,xlnx0 D.x0,xlnx0

3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) A.15

B.20 C.25 D.30

4．等差数列an中，a37,a919，则a5为（ ） A．13 B．12 C．11 D．10

5．设f（x）＝x2－2x－3（x∈R），则在区间[－π，π]上随机取一个实数x，使f（x）＜0的概率为（ ） A．

1 B．

2 C．

3 D．

3 26．已知函数f(x)(2a)x3a,x1的值域为R,则实数a的取值范围是（ ）

log2x,x1A．(1,2) B．[1,2) C．(,1] D． {1}

7．观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125， ，则52015的末四位数字为（ ） A．3125 B．5625 C．0625 D．8125

8．如图，南北方向的公路l ，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北300方向23km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、M到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元

567

A.（2+3）a B.2（3+1）a C.5a D.6a

9．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个AOnB135（n1,2,3,4,5,6），则n（ ）

A．1，6 B．2，5 C．3，4 D．2，3，4，5 10．若正数x,y满足x3y5xy,则3x4y的最小值是（ ） A.

2428 B. C.6 D.5 5511．如图，，l，A，B，A，B到l的距离分别是a和b，AB与

，所成的角分别是和，AB在，内的射影长分别是m和n，若ab，则( )

A．，mn B．，mn C．，mn D．，mn

x2y21的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的12．椭圆C:43斜率的取值范围是2,1,那么直线PA1斜率的取值范围是（ ） A．， B．， C．，1 D．，1 842424第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

c13．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2c2a2bCAB4，，且A133313则ABC的面积等于.

14．已知i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量，ami5jk,b3ijrk,若a//b则m+r_______．

15．设a1，a2，…，an，…是按先后顺序排列的一列向量，若a1(2014,13)，且anan1(1,1)，则其中模最小的一个向量的序号n ______．

x2xkx1x(aR)，若对任16．已知函数f(x)1，g(x)aln(x2)2logxx1x1123意的x1,x2x|xR,x2，均有f(x1)g(x2)，则实数k的取值范围是．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）在数列an中，a13,an2an1n-（2n2,且nn) （1）求a2,a3的值；

（2）证明：数列ann是等比数列，并求an的通项公式； （3）求数列an的前n项和Sn.

18．（本题满分12分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，

AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PAAB4，CDA120，点N在线段PB上，且PN2．

（Ⅰ）求证：MN//平面PDC； （Ⅱ）求二面角APCB的余弦值．

19．（本题满分12分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 数学偏差x 物理偏差y 1 20 6.5 2 15 3.5 3 13 3.5 4 3 1.5 5 2 0.5 6 ﹣5 ﹣0.5 7 ﹣10 ﹣2.5 8 ﹣18 ﹣3.5 （1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩． 参考数据：

xy206.5153.5133.531.520.550.5102.5183.5324iii18i8xi12i2021521323222510181256

222附：回归方程

ybxa中

^^^nn(xix)(yiy)xiyinxyi1i1n,bn2 22(xx)xnxiii1i1aybx.

20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B在直线l：x1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M． （1）求动点M的轨迹E的方程；

（2）过（1）中轨迹E上的点P (1,2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1,y1)，D(x2,y2)两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数fxlnxxx.

2（Ⅰ）求函数fx的单调递减区间； （Ⅱ）若关于x的不等式fxa21xax1恒成立，求整数a的最小值； 2

22（Ⅲ）若正实数x1,x2满足fx1fx22x1x2x1x20，证明x1x251. 2 选做题

22．（本小题满分10分）

如图，四边形ACED是圆内接四边形，AD、CE的延长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC． （Ⅰ）求证：BE＝2AD；

（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．

23．(本题满分10分)

x22t在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，

y12t以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设点M2,1，曲线C1与曲线C2交于A,B,求MAMB的值．

24．（本小题满分10分）

22已知a0,b0，且ab213sin2

9，若abm恒成立， 2（1）求m的最小值；

（2）若2x1xab对任意的a,b恒成立，求实数x的取值范围。

参

1．A 【解析】

试题分析：由U={0，1，2}，CUA{2}得A{0,1}故A的真子集个数=22-1=3，选A. 2．B 【解析】

试题分析：命题p是全称命题，对全称命题的否定为特称命题，并且将不等式加以否定，即xlnx0改为xlnx0，因此B正确 3．B 【解析】

试题分析：三个年级的学生人数比例为3:3:4，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为504．C． 【解析】

试题分析：在等差数列an中，由等差数列的通项公式及a37,a919知，

420人，故选B.

334a37a12d,，解方程组得，d2,a13．所以数列an的通项公式为a19a8d19an3(n1)22n1．所以a525111．故应选C．

5．B

【解析】由f(x)x22x30,得1x3，所以f（x）＜0的概率为6．B 【解析】

试题分析：当x1时ylog2x0,所以要使fx的的值域为R,需满足

3(1)2

()2a0x1时的值域中包含所有负数,所以 ,解得1a2,gx2ax3a在

g10故选B. 7．D

【解析】

试题分析：553125,5515625,5778125,58390625,591953125周期为4，所以52015与57后四位相同，都为8125 8．C 【解析】

试题分析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线， 根据抛物线的定义知：

欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可． 因B地在A地东偏北300方向23km处， ∴B到点A的水平距离为3（km）， ∴B到直线l距离为：3+2=5（km），

那么修建这两条公路的总费用最低为：5a（万元）．故选C． 9．C. 【解析】

试题分析：若n1或n6，显然AOnB90，若n2，则有AO2O145，

BO2O645，

∴AOnB135，根据对称性可知，若n5，AOnB135，若n3，则有

11231，又∵AOO,BOO(0,45)， tan(AO3O1BO3O6)313611123∴AO3O1BO3O645，∴AO3B135，同理根据对称性有AO4B135. 10．D. 【解析】

试题分析:由题知正数x,y满足(113)1，所以5yx11313x12y1x4y3x4y()(3x4y)(13)(1332)5，故选D.

5yx5yx5yx11．D

【解析】

试题分析：设点A在上的射影为点C，点B在

上的射影为点D，则

BAD,BCD,则sinba,sin，因为ab，所以sinsin,即ABAB;又因为AB2b2m2,AB2a2n2

，所以mn. 12．B 【解析】

试题分析：设Px,y,直线PA1,PA2的斜率的分别为,

323xyyy3334则k1k222,因为k22,1,所以k1,,故选

x2x2x4x44842B． 12．A 【解析】

试题分析：分成两类：A和C同色时有4×3×3＝36（种）；A和C不同色时4×3×2×2＝48（种），∴一共有36＋48＝84（种）． 13．23 【解析】

试题分析：因为b2c2a2bc，即b2c2-a2=bc，

b2c2-a213=-，所以sinA=所以由余弦定理得cosA=，又ACAB4，

2bc22即bccosA=-4,所以bc=8。所以S113bcsinA=8=23。 222点评：我们要注意余弦定理的形式，一般情况下，有平方关系多想余弦定理。属于基础题型。 14．

74 5【解析】

m51174试题分析：若a//b,所以 ，解得r,m15，所以mr．

31r5515．1001或1002.

【解析】

试题分析：设an(xn,yn)，∵a1(2014,13)，且anan1(1,1)，∴数列{xn}是首项

为2014，公差为1的等差数列，数列{yn}是首项为13，公差为1的等差数列，∴

xnn2015，

ynn12，∴

2∴可知当n1001或1002时，|an|(n2015)2(n12)22n24006n20152122，|an|取到最小值.

16．,

43【解析】

试题分析：由题意，当x(2,)时，

f(xm)axg(x)，由于

xlimln(x2),limln(x2),而x21x12，因此当a0时，g(x)不存2x121，ylog1x是减函数，当x123在最小值，故满足题意的只能是a0，此时g(x)min时，f(x)121112当2x1时，f(x)xxk(x)k，log11，

242231113k，所以k，k. 4424n117．(1)a26,a313；(2)证明详见解析，an2【解析】

（3）Sn2-n；

n2n2n8.

2试题分析：(1)赋值:令n2,n3；（2）涉及到等差数列，等比数列的证明问题，只需按照定义证明即可，∴利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出

ann的通

项公式，从而求出an；（3）根据通项公式求Sn，常用方法有裂项相消法，错位相减法，分组求和法，奇偶并项求和法.

试题解析：（1）令n2，a22a16,令n3,a32a2113. (2)

ann2an-2nn12,∴数列ann是首项为4，公比为2的等比数列，

an1(n1）an1n1

∴ann42n12n1,an2n1n. （3）∵数列an的通项公式an2n1-n，

2∴Sn(22.........n2n8.

223n14(12n)n(n1))(12............n)1222n218．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】

7. 7试题分析：（1）根据条件得出

BNBM,即可说明MN//PD，进而证明直线MN与平面NPMDPDC平行；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，

从而将几何问题转化为向量问题.其中灵活建系是解题的关键.（3）求出平面APC与平面

BPC的法向量，计算法向量夹角的余弦值即可得到二面角APCB的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）在正三角形ABC中，BM23 在ACD中，因为M为AC中点，DMAC， 所以ADCD，CDA120，所以DM所以BM:MD3:1

在等腰直角三角形PAB中，PAAB4,PB42， 所以BN:NP3:1，BN:NPBM:MD，所以MN//PD. 又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN//平面PDC. （Ⅱ）因为BADBACCAD90，

所以ABAD，分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立如图的空间直角坐标系，所以

23， 3B(4,0,0),C(2,23,0),D(0,43,0),P(0,0,4)． 343由（Ⅰ）可知，DB(4,,0)为平面PAC的法向量

3PC(2,23,4),PB(4,0,4)，

设平面PBC的一个法向量为n(x,y,z),

2x23y4z0nPC0则，即， 4x4z0nPB0令z3,则平面PBC的一个法向量为n(3,3,3)

设二面角APCB的大小为， 则cos7. 7nDB|n||DB|7, 7所以二面角APCB余弦值为

19．（1）【解析】

y^11x；（2）94分 42试题分析：(1)回归分析是针对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有散点图大致呈线性时，求出的回归方程才能有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义；（2）正确理解计算

（3)根据回归方程进行b和a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键；

预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值，只有具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.

试题解析：解：（1）由题意，x20151332(5)(10)(18)5， 1分

82y6.53.53.51.50.5(0.5)(2.5)(3.5)9， 2分

88ˆb所以

xyii182i18inxy2xinx593248281， 5分 12568()22ˆx9151， 8分 ˆyba8422故线性回归方程为

y4x2

^11（2）由题意，设该同学的物理成绩为w，则物理偏差为：w91.5． 10分 而数学偏差为128-120=8， 11分 ∴w91.5118， 12分 42 解得w94， 13分

所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． 14分 20．（1）y24x

（2）是定值，为-1,过程见解析． 【解析】

试题分析：对于第一问，根据线段的中垂线上的点满足的条件，可知MAMB，根据抛物线的定义，可知所求的动点的轨迹为抛物线，结合着题中所给的量，从而求得轨迹方程；对于第二问，根据题意可以确定直线CD的斜率可以用C,D两点的坐标有关，对于直线

PC,PD的倾斜角互补，可知两直线的斜率互为相反数，直线的方程与抛物线的方程联立，

可知对应的坐标为多少，再根据刚刚的条件，从而求得对应的直线的斜率为定值． 试题解析：（1）依题意，得MAMB 1分

∴动点M的轨迹E是以A(1,0)为焦点，直线l:x1为准线的抛物线， 3分 ∴动点M的轨迹E的方程为y24x． 5分 （2）∵P (1,2)，C(x1,y1)，D(x2,y2)在抛物线y24x上，

由①-②得， (y1y2)(y1y2)4(x1x2)， ∴直线CD的斜率为kCDy1y24， ③ 7分

x1x2y1y2设直PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，

y24x可设直线PC方程为y-2=k(x-1)，由得：

ykxk2,ky2-4y-4k+8=0,由2y1同理可求得y2=－∴kCD44，求得y1=-2，

kk4- 2 k441 y1y2(42)(42)kk∴直线CD的斜率为定值1 ． 12分

21．（1）(1,)；（2）2；（3）证明详见解析. 【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问，先对f(x)求导，再利用f'(x)0求出函数的递减区间；第二问，先将关于

x的不等式fxa21xax1恒成立，转化为2g(x)1lnx22ax(1a)x恒成立，对10g(x)求导，对a0和a0进行讨论，判断

函数g(x)的最小值是否小于等于0；第三问，将f(x，化简为1)f(x2)x1x20(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，再构造函数φ(t)tlnt，通过判断函数φ(t)的单

调区间单调最小值，从而得到(x1x2)2(x1x2)1，通过解不等式得到x1x2的范围. 试题解析：（Ⅰ）

12x2x1f(x)2x1(x0)xx ，

2由f(x)0，得2xx10，

又x0，所以x1.所以

f(x)的单调减区间为(1,). 3分

a1g(x)f(x)[(1)x2ax1]lnxax2(1a)x122（Ⅱ）令，

1ax2(1a)x1g(x)ax(1a)xx所以.

g(x)0.

当a≤0时，因为x0，所以

所以

g(x)在(0,)上是递增函数，

13g(1)ln1a12(1a)1a2022又因为，

a2(1)xax1f(x)x2所以关于的不等式≤不能恒成立. 5分

1a(x)(x1)ax(1a)x1ag(x)xx当a0时，，

2令

g(x)0，得

x1a.

11x(0,)x(,)g(x)0， a时，g(x)0；当a所以当时，11x(0,)x(,)g(x)在a是增函数，在a因此函数是减函数.

故函数

g(x)的最大值为

111111g()lna()2(1a)1lnaaa2aa2a. 7分 h(a)令

1lna2a，

110h(2)ln20h(a)在a(0,)是减函数. 24，，又因为

h(1)因为

所以当a≥2时，

h(a)0.

所以整数a的最小值为2. 8分

22f(x)f(x)2(xx)x1x20， 1212（Ⅲ）由

22lnxxxlnxxx2x1x20， 11122即

2(xx)(x1x2)x1x2ln(x1x2) 2从而1令

tx1x2，则由(t)tlnt得，

(t)t1t ，

可知，(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增.

所以(t)≥(1)1，

2(xx)(x1x2)≥1，又x1x20， 12所以

因此x1x2

51成立. 12分 2 选做题

22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）AD【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过题意分析可得BDEBCA,又DBECBA,可得△BDE∽

4 3BEDE，又AB2AC，可得BE2DE，又ADDE，从而BE2AD.BACA（Ⅱ）由条件得 AB2AC4，设ADt，根据割线定理得 BDBABEBC，可得△BCA，则

(4t)42t4，解出t4 即可求出. 3试题解析：（Ⅰ）证明： 因为四边形ACED为圆内接四边形,所以BDEBCA, 1分 又DBECBA,所以△BDE∽△BCA，则而AB2AC，所以BE2DE. 4分 又ADDE，从而BE2AD. 5分 （Ⅱ）由条件得 AB2AC4. 6分 设ADt，根据割线定理得 BDBABEBC， 即(ABAD)BA2AD4, 所以(4t)42t4，解得tBEDE. 3分 BACA44 ,即AD. 10分 33x28y21,（Ⅱ） 23．（I）yx1,【解析】

试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；利用xcos，ysin把极坐标方程转化为直角坐标系的普通方程；（2）根据条件将曲线方程联立所得的方程组有解，利用方程有关知识解决本题．

x2y21-----------4分 试题解析： （1）由题意可得：yx1,4

2tx22（2）将t为参数代人C2直角坐标方程得5t2122t80 y12t28-------------------10分 51524．（1）3；（2）x或x．

33t1t2【解析】

试题分析：第一问结合柯西不等式，凑成相应的形式，从而求得结果，第二问注意向最值转换．

试题解析：（1）因为(a2b2)(1212)(ab)2，所以ab3，（当且仅当

ab，即11ab32时取等号） 32又因为abm恒成立，所以m3．故m的最小值为3． （2）使2x1xab恒成立，须且只须2x1x3．

x00x1x115xx2x2x3或2x2x3或2x2x3∴3或3． ∴