二次函数的图像和性质

初三数学：二次函数的图像和性质

【基础知识】

一、二次函数的概念和图像 1.二次函数的概念

一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x 的二次函数。

yax2bxc(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式。

2.二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于xb2a对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①开口方向；②对称轴；③顶点。 二、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0) a>0 a<0 y y 图像 0 0 x （1）抛物线开口 （1）抛物线开口 ，无限延伸； ，并向下无限延伸； （2）对称轴是 （2）对称轴是 ，顶点，顶点坐标是 ； 坐标是 ； （3）在对称轴的左侧，即当 （3）在对称轴的左侧，即当 时，y随x的增大而 ；时 ，y随x的增大性质 在对称轴的右侧，即当 而增大 ；在对称轴时，y随x的增大而 ； 的右侧，即当 时，（4）抛物线有最低点， y随x的增大而 ； 当 时，y有最小值，（4）抛物线有最高点， 4acb2y当 时，y有最大值，最小值4a y4acb2最大值4a 2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上a<0时，抛物线开口向下

1

：对称轴为x=b与对称轴的位置有关（左同右异）

b 2ac看抛物线与y轴的交点坐标： 三、二次函数图象的平移

2. 平移规律“左加右减，上加下减”． 【典型例题】

如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值.

对应练习：

1. 二次函数yax2bxc的图象如图所示，则反比例函数y在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

a与一次函数ybxcxyyx2bxc 2. 如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过点（－1，0）， （1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ． 3. 已知二次函数yax2bxc的图像如图，其对称轴x1，给出 下列结果①b4ac②abc0③2ab0④abc0⑤abc0， 则正确的结论是（ ）

A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤ 【课堂检测】 1．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：

… … x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A． （﹣3，﹣3） B． （﹣2，﹣2） C． （﹣1，﹣3） D． （0，﹣6） 2.（2013哈尔滨）把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1

2

21-1 O1（1,-2） x

个单位，所得到的抛物线是( )．

(A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2

4.（2011重庆）已知抛物线yax2bxca0在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0

5.（2011浙江）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）

A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0 C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值 6.（2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：

①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O 其中正确的是（ ） ①③ B． ②④ D． ③④ A． 只有② C． 7.(2012重庆)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示对

1称轴为x。下列结论中，正确的是（ ）

2A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a十c<2b

8.（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）

9.（2013•内江）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的 A． B． C． D． 是（ ） A． 抛物线开口向上 B． 抛物线的对称轴是x=1 C． 当x=1时，y的最大值为﹣4 D． 抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（30） 10.（2013•攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A． B． C． D． 211.（2013济宁）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0

C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大

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12（2013泰安）二次函数ya(xm)2n的图象如图，则一次函数ymxn的图象经过（ ）

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 13.（2013陕西）已知两点A(5,y1),B(3,y2)均在抛物线yax2bcc(a0)上，点

C(x0,y0)是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是（ ）

A．x05 B．x01 C．5x01 D．2x03 14.（2013聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=到抛物线y=为（ ）

A．2 B．4

经过平移得

，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积C．8

D．16

12xbx与直线y2x交于点215.(2013浙江丽水)如图，已知抛物线yO（0，0），A（a，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、

y轴的平行线与直线OA交于点C，E。 （1）求抛物线的函数解析式；

（2）若点C为OA的中点，求BC的长；

（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），

求出m，n之间的关系式。

二次函数解析式的8种求法

二次函数的解析式的求法是数学学习的难点，不易掌握．基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：

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一、定义型：

此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件： 1、a ≠0； 2、x的最高次数为2次．

例1、若 y =( m2+ m )xm2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 二、开放型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、经过点A（0，3）的抛物线的解析式是 ． 三、平移型：

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．

151例3、二次函数 y23 的图像是由y2的图像先向 平移

222个 单位，再向 平移 个单位得到的．

这两类题目多出现在选择题或是填空题目中。 四、一般式

当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式ya2bc，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；

例4、已知二次函数图像经过（1，-4），（-1，0），（-2，5） 求这个二次函数的解析式

五、顶点式

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值（最大或最小值），则设为顶点式

yaxhk．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴方程x = h，极值为当x = h时，y2极值=k来求出相应的系数；

例5二次函数图像顶点是（-2，3），且过（-1，5），求出该二次函数解析式。

六、两根式

0，0，设二次函数的解析式为已知图像与 x轴交于不同的两点x1，x2，yaxx1xx2，根据题目条件求出a的值．

例6、图像与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过（1，-

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9）求出解析式。 2

七、翻折型（对称性）：

已知一个二次函数a2bc，要求其图象关于x轴对称（也可以说沿x轴翻折）；y轴对称

及经过其顶点且平行于x轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a( x – h)2 + k的形式．

（1）关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相反数．

（2）关于y轴对称的两个图象的顶点关于y轴对称，两个图象的形状大小不变，即a相同．

（3）关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数．

例7、把函数y=2x2-4x+1的图象绕顶点旋转180度求所得抛物线的解析式。

2y3x6x5，求满足下列条件的二次函数的解析式： 例8 已知二次函数（1）图象关于x轴对称；

（2）图象关于y轴对称；

（3）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称．

七、对话与二次函数关系式

例9、 有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明：对称轴是直线x=4； 赵同说：函数有最大值为2；

张单说：此函数的图象经过点（-3，1）关于y轴的对称点；请你根据上述对话写出满足条件的二次函数关系式．

例10、若二次函数的图像满足下列条件： （1）当x＜2时，y随x的增大而增大 （2）当x≥2时，y随x的增大而减小 则这样的二次函数解析式可以是 八、数形结合

例11.（2012临沂）

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；

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（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

练习：

1.已知：在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H 分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积。

A H G B E D F C 2.（南京市）（8分）已知二次函数yax2bxc中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

„ 1 „ 10 （1）求该二次函数的关系式； x y 0 5 1 2 2 1 3 2 4 5 „ „ （2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

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