泸县二中高2012级2012年春期第三次学月考试(文科)

泸县二中高2012级2012年春期第三次学月考试

数 学（文科）

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。第一部分1至2页，第二部分3至4页。考生作答时，须将答案答在机读卡或答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。考试结束将本试卷、机读卡和答题卡一并收回。 参考公式：

如果事件互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4pR2

如果事件相互，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)P(A)P(B) 球的体积公式

43pR 3在n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V=kkPn(k)=Cnp(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)

第一部分 （选择题 共60分）

注意事项：

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合M={x|(x-1)(x-3)<0}，N={x|2x+1<5}，则MN=（ ） A、{x|x>3} B、{x|x>2} C、{x|x<3} D、{x|x<2} 2、函数yln(x1)(x2)的反函数是（ ）

A、yex1(x0) B、yex1(x0) C、ye1(xR) D、ye1(xR)

3、已知等差数列{an}的公差为-2，且a2,a4,a5成等比数列，则a2等于（ ） A、4 B、6 C、8 D、8 4、已知函数f(x)=cosxsinx(x R)，下列结论错误的是（ ） A、f(x)是奇函数 B、f(x)的最小正周期是p C、f(x)在区间[-xxppp,]上是增函数 D、f(x)的图象关于直线x=对称 4425、设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表

分数 [0,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人数 2 5 6 8 12 6 4 2 那么分数在[100,110)中和分数不满110分的频率和累积频率分别约为（ ） A、0.18，0.47 B、0.47，0.18 C、0.18，1 D、0.38，1

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6、如图,正ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知

A'DBGFCEAA'ED是AED绕DE旋转过程中（A'不在平面ABC上）的一个图形,现给出下列四个命题:（ ） ①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上； ②恒有平面A'GF平面BCED； ③三棱锥A'FED的体积有最大值； ④异面直线A'E与BD不可能垂直。 其中正确的命题的序号是

A、① B、①、② C、①、②、③ D、①、②、③、④ 7、“ab且cd”是“ac＞bd”的（ ）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充要 D、既不充分也不必要

x2y28、已知双曲线221(a0,b0)右支上一点P满足|PF1|3，其实轴长为1，F1、

abM F2分别是双曲线的左、右焦点，为y轴上一点，则PM(PF1PF2)（ ）1357 B、 C、 D、 22229、如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，EE、F分别为大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球上的球面距离是（ ）

A、A、

AF B、 C、 D、 322BOC10、实系数方程xax2b0的一根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是（ ）

A、(,1) B、(,1) C、(b2a114121111,) D、(,) 2422 11、在如图所示的10块地上选出6块种植A、A6等六个不同品种的蔬菜，1、A2、每块种植一种不同品种蔬菜，若A1、A2、A3必须横向相邻种在一起，A4、A5横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（ ）

A、3120 B、3360 C、5160 D、5520

12、设M是ABC中的任意一点，且ABMC23ABMA，BAC30。定义

1f(P)(m,n,p)，其中m,n,p表示MBC,MCA,MAB的面积，若f(Q)(,x,y)，

2则在平面直角坐标系中点(x,y)轨迹是（ ）

y11x12y112y1y1222

A、 B、 C、 D、

xx1x

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第二部分 （非选择题 共90分）

注意事项：

（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、已知抛物线C:y2x2的焦点为F，准线为l，以F为圆心，且与l相切的圆与C相交于A、B，则|AB|____________。

15x15、在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中

714、在二项式(x)的展开式中，含x的项的系数是____________。（用数字作答）

2心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是____________。 16、给出定义：若m11xm (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，22记作{x}，即{x}m.在此基础上给出下列关于函数f(x)|x{x}|的四个命题： ①函数yf(x)的定义域是R，值域是[0,]； ②函数yf(x)的图象关于直线xk(kZ)对称； ③函数yf(x)是周期函数，1是周期； ④ 函数yf(x)在[1211,]上是增函数。 22则其中真命题是____________。（写出真命题的序号）

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、(本小题满分12分) 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a2，

b7，B60。

（Ⅰ）求c的值及ABC的面积S； （Ⅱ）求sin(2AC)的值。

18、(本小题满分12分) 3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作。

（Ⅰ）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；

（Ⅱ）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数不少于2人的概率。

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19、(本小题满分12分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BCD90，AB//CD，又

PABBCPC1，PB2，CD2，ABPC。 D（Ⅰ）求证：PC平面ABCD； （Ⅱ）求二面角BPDC的大小。 （Ⅲ）求点B到平面PAD的距离。

CAB20、(本小题满分12分) 已知函数f(x)ax3bx2x（xR,a,b是常数），且当x1和

x2时，函数f(x)取得极值。

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若曲线yf(x)与g(x)3xm(2x0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围。

y21，21、(本小题满分12分) 已知椭圆C:x过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不4同的两点A、B。

（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上一点, 且OAOBOP(O为坐标原点). 求当|AB|3时，实数2的取值范围。

22、(本小题满分14分) 已知数列{an},a1a22,an1an2an1(n2)。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）当n2时,求证:

1113； a1a2an（Ⅲ）若函数f(x)满足：f(1)a1，f(n1)f2(n)f(n)(nN)，求证：

k1n11。

f(k)12

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泸县二中高2012级2012年春期第三次学月考试

数 学（文科）

一、选择题 2 题号 1 A 答案 C 二、填空题 13、

3 D 4 A 5 A 6 C 7 B 8 C 9 C 10 A 11 C 12 B 1 14、5 15、60 16、①②③ 217. （本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）a2，b7,B60，由余弦定理可得

b2a2c22accosB， „„„„„„„„2分

17c242c22， „„„„„„„3分 2c2c30， c3或c1（舍），

c3， „„„„„„„4分

11333acsinB322222。 „„„„„„„„6分 （Ⅱ）在ABC中，b=7，B=60 ， S72= sin60°sinA， „„„„„„„8分

sinA=217， „„„„„„9分

aA为锐角，

277， „„„„„„„„11分  A+C=180?B=120 ， cosA=sin(2A+C)=sin(120?A)=3121cosA-sinA=2214。 „12分

【命题立意】本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和与差的三角函数、正弦定理、

余弦定理，以及求三角形的面积等基础知识及基本运算能力。 18. （本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有5种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等。 „„„„„„„„„„„„„„„1分

33A设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A，则该事件共包括3种不同的

结果。 „„„„„„„„„„„„„„„„3分

33A318PA3125。 „„„„5分 5所以，

3文科数学 第 5 页 共 11 页

18 答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为125。„„„6分

（Ⅱ）解法1：设“3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数不少于2人”为事件

A，设“3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰为2人”为事件B， 设“3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰为3人”为事件C，„„7分 则B与C互斥,且ABC。

PB1C32C4C422C235368PC3125C2125,

5C413, „„„„„9分

36844PAPBCPBPC125125125。„„„„„11分

44答：3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数不少于2人的概率为125。„„„„„

12分

解法2：设“3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数不少于2人”为事件A， 设“3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰为1人”为事件B， 设“3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰为0人”为事件C，„„„7分 则B与C互斥,且A与BC对立。

112C3C4C42PBC52327PC23125C125,

5C423,„„„„„9分

2781PBCPBPC125125125,

81441PA1PBC125125。 „„„„„11分

44答：3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数不少于2人的概率为125。„„„„„

12分

【命题立意】本小题主要考查相互事件、互斥事件、对立事件的概率的概念及相关运算,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 19．（本小题满分12分）

?BCD如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，

科网

90o,AB//CD, 又学

AB=BC=PC=1,PB=2,CD=2,AB^PC。

P

（Ⅰ）求证：PC^平面ABCD；学科网 （Ⅱ）求二面角BPDC的大小；学科网 （Ⅲ）求点B到平面PAD的距离。 【解析】（Ⅰ）证明：在VPBC中，

BC=PC=1,PB=2，

D C

222 \\BC+PC=PB，

A B oPC^BC\\?PCB90 ，即，„„„„„„„„ 1分

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QAB^PC,ABIBC=B，

\\PC^平面ABCD。„„„„„„„„4分 （Ⅱ）（解法1）由（Ⅰ）知PC^BC，

又，

\\BC^平面PCD， „„„„„„„„5分 如图，过C作CM^PD于M，连接BM，

\\CM是BM在平面PCD内的射影， \\BM^PD， 又CM^PD，

\\ CMB为二面角B-PD-C的平面角。 „„„„„„„„6分

o在VPCD中, ?PCD90, PC1, CD=2，

BC^CD,PCICD=CPC2+CD2=5，

又CM^PD，\\PD?CMPC CD，

PC×CD25\\CM==PD5。„„„„„„„„7分 \\PD=在VCMB中, ?BCM90, BC1,

BC5\an?CMB=CM2,

o P

M CM=255,

D C

A B

的

大

小

为

\\二面角

BPDCarctan52。„„„„„„„„8分

（解法2）如图，在平面ABCD内，以C为原点，CD 、CB、CP分别为x、、z轴，

C(0,0,0),B(0,1,0),D(2,0,0),P(0,0,1),A(1,1,0),„5分

建立空间直角坐标系Cxyz，则

过C作CM^DP于M，连接BM，设M(x,y,z)， uuuruuuuruuur则MC=(-x,-y,-z),DM=(x-2,y,z),DP=(-2,0,1)， uuuruuurQMC^DP， uuuruuur z \\MC?DP2x-z=0； ○1 uuuuruuur P QDM,DP共线，

M x-2\\y=0,=z-2， ○2

y24,y=0,z=55， x D C 由○1○2，解得

uuuruuur242424(,0,)MB=(-,1,-)MC=(-,0,-) ， B \\M点的坐标为55，55，5 A 5 y uuuruuur44QMB?DP+0-=055,

\\MB^DP， 又CM^DP，

uuur24QMC=(-,0,-)\\ CMB为二面角BPDC的平面角。 „„„„„„„„7分55，

x=文科数学 第 7 页 共 11 页

uuur24MB=(-,1,-)55，

uuuruuurMB×MC2\\cos?CMBuuuruuur=|MB|×|MC|3，

\\二面角BPDC的大小为

（Ⅲ）设点B到平面PAD的距离为h，

QAB^BC，\\AC=AB2+BC2=2， QPC^平面ABCD，\\PC^AC，

arccos23。 „„„„„„„„8分

AC2+PC2=3，

AB=1,BC=1,CD=2，

在直角梯形ABCD中，

\\PA=\\AD=BC2+(CD-AB)2=2。

在VPAD中，QAD=2，PA=222 \\AD+PA=PD， \\?PAD90o，

3,PD=5，

\\VPAD的面积

SVPAD=1AD?PA262， „„„„„„„„10分

Q三棱锥B-PAD的体积VB-PAD=VP-ABD， 11\\鬃SVPADh=鬃SVABDPC33， „„„„„„„„11分 6?h2即

16(创11) 1h=26， ，解得

6\\点B到平面PAD的距离为6。 „„„„„„„„12分

【命题立意】本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

2f(x)3ax2bx1， ……………………………2分 20．【解析】（Ⅰ）

3a2b10,13a,b12a4b10,解得， 依题意f(1)f(2)0，即13f(x)x3x2x∴。 ……………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线yf(x)与g(x)3xm(2x0)有两个不同的交点，即1332xx2xm0在2,0上有两个不同的实数解。…5分

133213xx2xm(x)x2x2422设(x)6，则， ………7分

由(x)0的x4或x1。

当x(2,1)时(x)0，于是(x)在2,1上递增；

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当x(1,0)时(x)0，于是(x)在1,0上递减。 …………9分

1m3(2)01313(1)0m0m1212(0)0m0依题意有。 …………………11分

130m12。…………………………………12分 ∴实数m的取值范围是

【命题立意】本小题主要考查函数、函数极值的概念,考查应用导数研究函数性质的方法及

推理和运算能力。

21．【解析】（Ⅰ）解：设Ax1,y1，

因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，所以

21y132,„1分

y1279x1x1x12141， 又因为点Ax1,y1在椭圆C上,所以，即，解得

7373,),)(42，„„„„„„„„ 3分 A42则点的坐标为或

(所以直线l的方程为67x7y210或67x7y210。„„„„„„„5分 当AB的方程为x0时，|AB|43，与题意不符。„„„„„„„„6分 当AB的方程为ykx3时：

x,y

（Ⅱ）解：设直线AB的方程为ykx3或x0，Ax1,y1,Bx2,y2,P33。

ykx32y21x4AB由题设可得、的坐标是方程组的解，

22(4k)x6kx50， 消去y得

22(6k)20(4k)0,即k25， 所以

6k524x1x2,xx,yy(kx3)(kx3)121212224k4k4k2，„„ 8分 则

|AB|(x1x2)2(y1y2)23因为 ，

6k2201k2()3224k4k所以，

16k282解得13，所以5k8。„„„„„„„„10分

(x,y)(x2,y2)(x3,y3)，

因为OAOBOP，即116k24x1x20,yy0122204k4kOAOB0所以当时，由，得，

上述方程无解，所以此时符合条件的直线l不存在；„„„„„„„„ 11分

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当0时，

x3x1x2y1y26k24y(4k2)，3(4k2)，

[1246k2[]21]22P(x3,y3)在椭圆上，所以(4k)4(4k)因为点，

362224k2，因为5k8，所以34，则(2,3)(3,2). 化简得

综上，实数的取值范围为(2,3)(3,2)。„„„„„„„„12分

【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。 22.【解析】（Ⅰ）

an1an2an1,两边加an得: an1an2(anan1)(n2),

{an1an} 是以2为公比, a1a24为首项的等比数列。 an1an42n122n①，

由

an1an2an1两边减2an得:

an12an(an2an1)(n2) ，

{an12an} 是以1为公比, a22a12为首项的等比数列。

an12an2(1)n12(1)n②，

nn3a2[2(1)]， n①-②得:

2an[2n(1)n]3所以,所求通项为。„„„„5分

（Ⅱ）当n为偶数时,

1131132n12n[n1n]n1nan1an221212222n2n1132n12n32n12n311n1n()(n2)2222n1122n12n22n12n

11n111311131...(12...n)233n3a1a2an222221122； 12nna0,0an[2(1)]0n1a3n1当n为奇数时,,,又n1为偶数

1111111......3aaaaaaa2n12nn1由（Ⅰ）知, 1。„„„„„„„„10分

2f(n1)f(n)f(n)0， （Ⅲ）证明：

f(n1)f(n),f(n1)f(n)f(n1)f(1)20，

又

111112f(n1)f(n)f(n)f(n)[f(n)1]f(n)f(n)1111f(n)1f(n)f(n1)，„„12分

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，



nk11111111[][][]f(k)1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n1)1111.f(1)f(n1)f(1)2„„„„14分

【命题立意】本小题主要考查数列及不等式,考查归纳、化归、放缩、整合等数学思想以及

推理论证、分析与解决问题的能力,考查考生综合运用知识的能力。

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