高三数学上学期期中试题2

浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题

考生注意：1.不允许用计算器。 2.参考公式：

球的表面积公式：S=4πR2

1V=h(S1S1S2S2) 31棱锥的体积公式：V=Sh

3其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, h

其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高 表示棱台的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．定义集合Ax|f(x)x2x1，By|ylog2(22)，则ACRB（ ）

4πR3 3其中R表示球的半径 球的体积公式：V=

棱柱的体积公式：V=Sh

其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高 棱台的体积公式

A．(1,) B．[0，1] C．[0，1） 2．下列命题正确的是（ ）

A．“a29”是“a3”的充分不必要条件

B．函数f(x)x2x6的零点是（3，0）或（﹣2，0）

D．[0，2）

C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0 D．命题“若x2x60，则x3”的否命题为“若x2x60，则x3” 3．已知,是相异两平面，m,n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ） A．若m//n,m,则n B．若m,m,则// C．若m,m，则

D．若m//,n，则m//n

4．已知an为等差数列，a1a3a5105,a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )

1

a

A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 5．将函数f(x)sin(3x)(cosx2sinx)sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数28g(x)，则g(x)具有性质（ ）

A．在(0,)上单调递增，为奇函数 B．周期为，图象关于(,0)对称

44C．最大值为2，图象关于直线x2对称 D．在(2,0)上单调递增，为偶函数

6．已知f(x)ax2bxc(a0),g(x)f(f(x))，若g(x)的值域为[2,),f(x)的值域为

[k,)，则实数k的最大值为（ ）

A．0

B．1 C．2 D．4

x2y27．已知点P为双曲线221(a0,b0)右支上一

abb2点，F1,F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|，I为

a三角形PFSIPF2SIF1F2成立， 则的值为（ ） 1F2的内心，若SIPF1A．

122 2 B．231 C．21 D．21

8．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知二面角A1BDA的大小为线CC1所成的角为

，若空间一条直线l与直6，则直线l与平面A1BD所成的角的取值范围是（ ） 455] B．[,] C．[,) D．[,] A．[,1212412122二．填空题：本大题共7小题，9-11和15小题6分，,12-14小题4分，满分36分.

9. 函数f(x)x在x1处的切线l方程是______________，以直线l与y轴的交点为焦点的抛物线标准方程是_________________.

ex,x0110．设函数f(x)，则f(f()) ，

2lnx,x0方程f(f(x))1的解集 ．

1

a

11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为____________， 体积为_______________．

12．已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0),b1a11,b2a22,b3a33. 若a=1，则数列an的通项公式为______________，若数列an唯一，则a=__________.

x3y3013．已知实数x,y满足xy10则z2|x|y的取值范围是 ．

y114．在AOB中，已知OB2,AB1,AOB45,若OPOAOB,且22, 则

OA在OP上的投影的取值范围是 ．

15. 记maxp,qp,pq22，设Mx,ymaxxy1,yx1，其中x,yR，

q,pq则Mx,y的最小值是__________．

三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（14分）已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且c2,2sinA3acosC． （1）求角C的大小；

（2）若2sin2Asin(2BC)sinC，求ABC的面积．

17．（15分）如图，矩形ABCD中，

AB(1)，将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，AD且二面角CABE为直二面角． （1）求证：平面ACE平面BCE；

（2）设F是BE的中点，二面角EACF的平面角

1

a

的大小为，当[2,3]时，求cos的取值范围．

18．（15分）数列an各项均为正数，a1（1）取（2）若说明理由．

12，且对任意的nN*，都有an1anan(0)． 21an1，求证：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式； an1，是否存在nN*，使得an1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请20161x2y219．（15分）已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆

2ab3相切． 4（1）求椭圆C的方程； x2y2（2）过点(1,0)的直线l与C相交于A,B两点，在x轴上是否存在点N，使得NANB为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．

20．（15分）已知函数f(x)lnx121m2x,g(x)xx,mR，令F(x)f(x)g(x)． 22（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）若关于x的不等式F(x)mx1恒成立，求整数m的最小值；

（3）若m1，且正实数x1,x2满足F(x1)F(x2)，求x1x2的取值范围．

1

a

1

a

2015-2016学年度第二学期期末考试

高三年级数学参

一、1.B； 2.C； 3.D； 4.B； 5.A； 6.C； 7.D； 8.A.

123,1,ee； 11. 437,； 2332n1112. an(22),； 13. [1,11]； 14. (,1]； 15. .

342二、9.x2y10,x22y； 10.

三、16.解：（1）由已知得,csin A=又sin A>0,∴cos C≠0,sin C=

acos C,由正弦定理得,sin Csin A=sin Acos C.

cos C,tan C=, ∴C=. ………………………………6分 2sin 2A=sin C-sin(2B+C),

（2）由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C得,

∴4sin Acos A=sin(A+B)-sin[(π-A)+B]=sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Bcos A. 当cos A=0时,A=,此时B=，∵c=2, ∴b=

, S△ABC=bc=

.

.

当cos A≠0时,sin B=2sin A,∴b=2a. 由c2=a2+b2-2abcos C得,4=a2+b2-ab. 联立

,得a23,b43, ∴S△ABC=absin C=

33.

综上所述,△ABC的面积为………………………14分

17.证明：（1）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角， AB⊥BC，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE ∵AE⊥CE，BC∩CE=C，∴AE⊥平面BCE

∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE………..6分

解：（2）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ，

则则

，取x=1，

，设平面EAC的法向量为

， 同理设平面FAC的法

1

a

向量为∴

，

∵. …………15分

2a12218.（1）证明：,an1annan1an1anan0

an1an1(an12aaa1515)(n1)10n1,an0,n1 (为常数)， ananan2an2an115所以数列的等比数列. 是公比为

2an1115n1a1,an(). ………………………………………7分

222解：（2）∵an+1=an+can2，c=∴∴

+

∴当n=2016时，当n=2017时，2﹣

＜

+…+

+

=+…+

=

+．

+…+

=

．

，即

， ∴an+1＞an＞0．

=

，

＜1，可得a2017＜1． ＞

+

+…+

=1，可得a2018＞1．

因此存在n∈N*，使得an＞1． ………………………………………………………………………………15分 19.解：（1）∵椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线

1

a

与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3，

∴椭圆方程为. …………………………………………………………………………………6分

（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，

则有

=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=

如果要上式为定值，则必须有

验证当直线l斜率不存在时，也符合． 故存在点

满足

. …………………………………………………………15分

20. 解：（1）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）=﹣x=，（x＞0），

由f′（x）＞0，得：0＜x＜1， 所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．………4分 （2）F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣mx2+x，x＞0， 令G（x）=F（x）﹣（mx﹣1）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1， 则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．

1

a

G′（x）=﹣mx+（1﹣m）=，

①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，

又因为G（1）=ln1﹣m×12+（1﹣m）+1=﹣m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，

②当m＞0时，G′（x）=﹣，令G′（x）=0，因为x＞0，得x=，

所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0， 因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数， 故函数G（x）的最大值为：G（）=ln﹣m×令h（m）=

+（1﹣m）×+1=

﹣lnm，

﹣lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，

又因为h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0， 所以整数m的最小值为2． …………………………………………………………10分 （3）m=﹣1时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0， 由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即lnx1+整理得： =

+x1+lnx2+

+x2=0，

+（x1+x2）=x1 x2﹣ln（x1 x2），令t=x1•x2＞0，则由φ（t）=t﹣lnt，得：φ′（t）

，可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上

单调递增，所以φ（t）≥φ（1）=1， 所以

+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≤﹣

﹣1，或x1+x2≥

﹣1，

因为x1，x2为正整数，所以：x1+x2≥﹣1成立． ………………………………………………15分

文本仅供参考，感谢下载！

1