“概念图”在初中数学解题教学中的应用

谋*

概念图在初中数学解题教学中的应用野冶

筅江苏省运河中学袁健DEFC“概念图”是一种知识及知识之间关系的网络图形化表征，也是思维可视化的表征.一幅概念图一般由“节组成.概念图是一种学习策点”“链接”“有关文字标注”略，可以使用它来辅助解题.条件数学题的标准形式包括两个最基本的要素：前提）求证、求作等）（已知、，结论（未知、求解、.条件结论是问题解决的目标，问题的是问题解决的起点，关键在于，达到目标相对于问题解决者来说存在一定的障碍.，即求出数学题的答案.这解题就是“解决问题”解题就是找出题个答案在数学上也叫作“解”，所以，的解的活动.解答习题时弄清题目中的已知条件、未知条件，使用运算、推理等方式用已知求出未知.解题使用概念图作为分析答题的工具，让思路更过程中，加有条理、清晰.案例1院在直角梯形ABCD中，AB椅DC，蚁ABC=90毅，AB=2DC，对角线AC彝BD，垂足为点F，过点F作EF椅AB，交AD于点E，求理解题意院A图2

B

证：四边形ABFE是等腰梯形（如.图2）（1）弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何.条件说得很长，其实独立的有四个：条件1院四边形ABCD是直角梯形“的数.直角梯形”学含义有三个意思：AB椅DC，直线AD、BC不平行（相交），蚁ABC=蚁DCB=90毅.条件2院两底边满足AB=2DC.条件3院对角线AC彝BD（垂足为点F）.对角线的数学含义是梯形相对顶点的连线.条件4院EF椅AB.一共有几个，其数学含（2）弄清题目的结论是什么，义如何.求证四边形ABFE是等腰梯形.而文字面上结论为：“等腰梯形”不能推理，其数学含义有字语言无法运算、直线AE、三个意思：EF椅AB（条件4，已知），BF不平行（条件3，对角线BD与一腰AD相交于点D），EA=FB（或本题的关蚁EAB=蚁FBA）.由于前两条是已知的，所以，键是证EA=FB（或蚁EAB=蚁FBA）.（3）弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构（.我们通过此例来体现分析法，也就是由结论到条件的沟通）思路探求院分析法———发现多余条件.如图3，由于EF椅AB，而AEDCF一尧野概念图冶培养解题习惯袁坚持四步为了让学生能通过做一题会一类题，积累经验，（如图1）以一应万，可以让学生做一道题分四步走：回顾反思.这与罗增理解题意、思路探求、书写表达、答题、回题，儒教授总结解题的四步：看题、想题、不谋而合.科学把握好解题的四个步骤是一种良好的解并且在每题习惯.下面用连接线将节点“链接”起来，标注文字，引导学生掌握一步的“节点”用“概念图”解题的四个步骤.图1

*基金项目院本文系江苏省教育科学野十三五冶规划2018年度立项课题野耶概念图爷在初中数学课堂教学中应用的策略研究冶渊编号院D/2018/02/177冤的阶段性成果之一.初中G图3

B

71

教学

参

谋解法探究AE、BF相交于点D，所以四边形ABFE是梯形.要证梯形ABFE是等腰梯形，只需证AE=BF（或蚁EAB=蚁FBA）.要证蚁EAB=蚁FBA，只需证吟DAB是等腰三角形.为此，过点D作DG彝AB，垂足为点G.由四边形ABCD为直角梯形，且蚁ABC=90毅，得GD椅BC，且CD椅BG，则四边形BCDG为平行四边形，有BG=CD=1AB，从而AG.可见，吟DAB中，DG既是AB边上的高2BG=，又是AB边上的中线，则吟DAB是等腰三角形.这个思路没有用到对角线AC彝BD，说明这是一个多余的条件.书写表达：规范表达解题过程.证明院如图3，过点D作DG彝AB，垂足为点G.在梯形ABCD中，蚁ABC=90毅，则GD椅BC，且CD椅BG，则四边形BCDG为平行四边形，则BG=CD=1AG，则Rt吟DAGRt吟DBG，从而蚁EAB=2AB，从而BG=蚁FBA.又因为EF椅AB，AE、BF相交于点D，所以四边形ABFE是等腰梯形.回顾反思院解答本题的过程中，分两步：先证明四边形ABFE是梯形，再证明梯形ABFE是等腰梯形.使用了看题、想题、答题、回题的过程，让思考有了方向，思维可视化，解题有了模式.在证明过程中，主要使用了数形结合和转化的数学思想，积累了解题经验，强化了解题能力.二尧野概念图冶拓宽解题思路袁一题多思初一学生以形象思维为主，对刚接触逻辑推理的初一学生来说，如何将思维可视化、网络化是解题教学的重点和难点.解题过程中的“思路探求”环节，可以有多种思考路径.概念图辅助学生推理，完成由已知到未知的过程，在这个思维过程中，笔者尝试从三条路径引导学生进行分析.第一种是由已知条件逐步推理，最后求出问题，可谓综合法.第二种是由结论入手，不断向前追溯条件，最后推出要使结论成立，已知或题目中的隐含条件必须成立，可谓分析法.第三种是由已知和结论两条线推理，推出中间的共同条件成立.案例2院如图4，点C为线段AB的中点，点D在线段BC上，AD=6，DB=4，求线段CD的长度.A

CD

B

图4

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初中2019年10月案例2可用概念图（如图5）分析思考过程.已经AD、DB

求AB

求AC求CD

已经点C为线段AB的中点

已知AD

图5

结合本题用三种思路进行具体分析.第一种是由已知到问题的过程，可谓综合法.先由线段AD、DB的长求出AB的长，再添加中点的条件求出AC的长，最后由AD的长求出CD.第二种是由问题追溯已知，可谓分析法.要求CD，用AD-AC或CB-DB即可，要求AC或BC，求出AB即可，而AB=AD+DB，AD、DB是已知条件.第三种方法是由已知、结论两条线双管齐下分析，由线段AD、DB的长求出AB的长，进而利用中点的定义求出AC、BC的长.要求线段CD的长，求AD-AC或BC-DB即可.而AC、BC、AD、DB均已求出.三种思路均能分析本题.下面用规范的表达方式解答.解院因为AD=6，DB=4，所以AB=AD+DB=6+4=10.因为点C为线段AB的中点，所以AC=1AB=1伊所以CD=AD-AC=6-5=1，即线段CD的2长度是210=5.1.为了让学生的思维得到更好的训练，笔者将本题变式为下面的习题，要求学生使用概念图分析解答.变式1院如图4，点C为线段AB的中点，点D在线段BC上，AD=6，CD=1，求线段BD的长度.变式2院如图4，点C为线段AB的中点，点D在线段BC上，BD=4，CD=1，求线段AD的长度.上面的变式题不仅训练了学生用概念图分析问题，而且在解题过程中感受了互逆命题，提升了学生的解题能力，发展了学生的思维能力.三尧野概念图冶引导分析过程袁渗透数学思想《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程总目标指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验咱1暂.对于数学思想，课标要求让学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想.在探求解题思路的过程中，引导学生用概念图分析问题，体会、转化、使用数学思想，规范书写表达过程.2019年10月案例3院渊初一期末考试卷压轴题冤点A、B、C、D在数轴上的位置如图6所示，已知AB=3，BC=2，CD=4.（1）若点C为原点，则点A表示的数是.（2）若点A、B、C、D分别表示有理数a、b、c、d，则讦a-c讦+讦d-b讦-讦a-d讦=.（3）如图6，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达点B后立即按原速折返；点Q沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达点C后立即按原速折返.当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动.淤当两点停止运动时，求点P、Q之间的距离；于设运动时间为（t单位：秒），则t为何值时，PQ=5？PQ

A

B

CD

图6

图7

本题的第（3）问是难点，为了更好地思考、解答本题，笔者用概念图（如图7）分析.将第（3）问的解答过程规范表达如下：解院（3）淤由题意知，点P从点A到点B再返回到点A需要6秒，点Q从点D到点C再返回到点D需要4秒.因此当两点停止运动时，点Q与点D重合，点P运动到点B的左边1个单位长度，如P

图8，PQ=BP+CB+CD=1+Q

2+4=7.A

B

图8

C

D

PQ

A

B

CD

图9于当点P、Q相向而行，即0臆t臆2时，如图9.由AP=t，AB=3，得BP=3-t.由DQ=2t，CD=4，得CQ=4-2t.所以PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+4-2t=9-3t.因为PQ=5，所以9-3t=5.解得t=4当点P、Q同向而行，即2约t臆3时3.，如图10.由AP=t，AB=3，得BP=3-t.教解法探究学谋参

由CD=4，CD+CQ=2t，得CQ=2t-4.所以PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+2t-4=t+1.因为PQ=5，所以t+1=5.解得t=4.由于时间不符合题意，所以舍去.P

Q

A

B

C图10

D

P

Q

A

B

图C

11D

当点P、Q反向而行，即3约t臆4时，如图11由AB+BP=t，AB=3，得BP=t-3.由DC+CQ=2t，DC=4，得CQ=2t-4.所以PQ=BP+BC+CQ=t-3+2+2t-4=3t-5.因为PQ=5，所以3t-5=5.解得t=10.综上所述，t为433或103时，PQ=5.四尧关于概念图解题教学的感悟概念图能将各种概念及其关系进行加工、概括，以形象化的方式反映知识之间的逻辑关系与组织结构，帮助学生对知识有效构建，增强对知识的理解、记忆和保持.概念图的解题教学方式能把各个“节点”联系在一起，形成脉络体系，从而帮助学生“图脑思维”，从整体上促进学生认知能力和思维综合能力的发展.概念图作为一种解题的策略，可促进学生有意义的学习和创造性的学习.在教学过程中，教师引导学生灵活使用概念图解题（如图12），以“节点”为载体，以概念图构建为平台，提升学生解题能力，使学生的学与教师的教和谐统一，提高课堂教学效率.图12

参考文献院咱1暂中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准渊2011年版冤咱S暂.北京院北京师范大学出版社袁2012.咱2暂纪宏伟.概念图在优化数学教学中的有效应用咱J暂.教学与管理袁2017渊5冤.W初中73